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该文研究的内容涉及复可分Hilbert空间H上一般有界线性算子k-数值域的基本性质,紧算子的k-数值域和正交投影算子对.这些内容都是算子理论界较为关注的问题.全文分四章,就这三个方面的问题进行了研究.该文的第一章给出了将要讨论问题所需要的部分预备知识.该文的第二章将从文[16]中著名的Hausdorff-Toeplitz定理出发,详细讨论了算子k-数值域的基本性质,得到了它们一些很好的性质.进一步在第二章第二部分讨论了算子k-数值域的端点,结合端点的部分特殊性质给出了算子k-数值域端点的刻画.该文的第三章第一部分从紧算子的特殊性质出发着重讨论了B(H)中紧算子k-数值域的基本性质,以k-数值域为条件分别给出了紧算子和迹类算子的刻画,证明了:(1)若T∈B(H),则T是紧算子的充分必要条件是∩<,k><∞>=1-W<,k>(T)={0};(2)若T∈B(H),则T是迹类算子的充分必要条件是∪<,k=1><+∞>-W<,k>(T)={0}是有界的.M.T.Chien,Shu-Hsien Tso和Pei Yuan Wu在文[7]中给出了二次算子(满足T<2>+aT+bI=0,(a,b∈C))中两类算子(幂零算子和幂等算子)的k-数值域的几何性质.在此基础上,该文的第三章第二部分给出了正交投影算子的k-数值域描述.正交投影算子是一种特殊的有界线性算子,而且它有着广泛的应用背景.正交投影算子在数值分析(如最佳逼近理论),矩阵理论等学科中都有广泛的应用.近几年来,一大批学者如J.Avron,R.Drnovesk,J.Grob和J.Baksalary等,先后在文[2][4][8]和文[14]等其它文献中对有限维Hilbert空间上正交投影算子对的乘积和正交投影算子对的交换子进行了深入地研究.在该文第三章中,我们研究了复可分Hilbert空间上正交投影算子对的乘积和正交投影算子对的交换子,刻画了复可分Hilbert空间上正交投影算子对的交换子,并且证明了:(1)设P<,1>和P<,2>均属于P(H).若P<,(m,l)>是(P<,1>,P<,j>)(l≠j,1 ≤ l,j≤2)的m-次乘积,其中P<,l>是第一个因子且P<,1>和P<,2>交替出现,则下列条件相互等价:(i)存在m,n≥2且l,j=1,2使得P<,(m,l)>=P<,(n,j)>(当m=n且j=l时的平凡情况除外);(ii)P<,1>P<,2>=P<,2>P<,1>;(iii)对任意m,n≥2且l,j=1,2都有P<,(m,l)>=P<,(n,j)>成立.