本文主要研究了一类由差分方程定义的正交多项式的渐近性质，内容包括：广义Pollaczek正交多项式及其零点的渐近性质，两个不同的单位圆上的正交多项式序列的组合仍是单位圆上的正交多项式序列的一个充分必要条件，以及由差分方程定义的复正交多项式(其定义参看(1.18))的渐近零点分布。本文共分为六章。　　 第一章简单地给出渐近分析的历史背景及一些基本知识，包括基本的定义，正交多项式和特殊函数Airy函数的一些性质，以及一些经典渐近分析方法的简单介绍。　　 第二章我们引入由下面差分方程所定义的多项式(n+1)Pλn+1(x;a,b)=2[x(n+λ+a)+b]Pλn(x;a,b)-(n+2λ-1)Pλn-1(x;a,b)，n=1,2…,(1)初始条件为Pλ0(x;a,b)=1,Pλ1(x;a,b)=2x(λ+a)+2b.当a＞|b|，λ＞0时，由(1)所定义的多项式是通常意义下的Pollaczek正交多项式，其权函数的支集是区间[-1，1].而在别的情况下，比如b≥0且a≤b，此时由(1)所定义的多项式称为广义Pollaczek正交多项式，其权函数的支集是由连续部分[-1，1]和离散部分(可数点集)组成.所以从权函数的支集来看，广义Pollaczek正交多项式与通常意义下的Pollaczek正交多项式的性质会有所不同.但令人惊讶的是在此之前，广义Pollaczek正交多项式的研究并不多。　　 首先，不失一般性，我们从差分方程(1)的一个特殊情况(λ=1，a=0，b=-b，b＞0)出发，得出Pn(x)的积分表达式。然后，利用积分法求出Pn(x)在整个实轴上的一致渐近展开，特别地，在关键点βn～1+b-n+…处的一致处理是从未遇到过的一种新情况.最后，利用Pn(x)的渐近结果得出其极端零点和αn，βn附近零点的渐近展开，并用表格给出了在关键点αn，βn，x1=√1+b2，和x2=√1+b2/4附近Pn(x)的零点的真实值与渐近值的比较。　　 第三章直接从差分方程出发，我们首先得到了Pn(x)在区间[-1，1]和区域C[-1，1]内的紧子集上的一致渐近展开，然后详细分析了在关键点αn，βn处Pn(x)的一致渐近展开.我们得到的结果与第二章的结果吻合，从而在某种程度上说明了从积分和差分方程两个不同出发点所得出的结果的一致性和统一性。　　 第四章，我们的主要动机是用Riemann-Hilbert(简写为R-H)方法得出Pn(x)的渐近展开，这里出现的新情况是权函数w(x)是由区间[-1，1]和点集xn=√1+b2/n2，n=1，2，…组成.据我们所知，这种情况的R-H问题的研究还没有出现。首先，我们选择一个简单的例子，即权函数的支集是S(μ)=[-1，1]∪{2}的情况.目的是阐释整个分析的过程及找出其与权函数支集是S(μ)=[-1，1]这种情况的不同之处.然后给出Pn(x)的R-H问题刻划，但整个问题的分析还要继续探讨。这是因为虽然我们已经知道在αn，βn处的拟基本解涉及到Airy函数，但是，怎样求出平衡测度和怎样进行变换仍然是一个有待解决的问题.这也是作者在未来的工作中将要考虑的问题之一。　　 第五章给出组合apn(x)+bqn(x)仍是单位圆上正交多项式的充分必要条件，其中pn(x)，qn(x)都是单位圆上的不同正交多项式序列，他们的权函数都是定义在单位圆上的正波雷尔测度。　　 第六章给出由差分方程所定义的复正交多项式的渐近零点分布，利用得到的结论，我们先给出一些前人通过其他方法所得出的结果，比如含有非标准参数的Jacobi，Laguerre多项式的渐近零点分布.然后给出一些新的结果。