随机系统的研究已受到越来越多的关注并应用到了许多领域，上世纪末德国数学家Ludwig Arnold领导的Bremen小组从随机方程发展了随机动力系统的基本理论，并完善了有限维随机动力系统的线性理论，无穷维随机动力系统的研究目前还是初级阶段，本论文主要从轨道几乎处处的渐近行为和分布的渐近行为两个方面研究了无穷维随机动力系统的动力学。 第一章简单介绍了随机动力系统、随机吸引子和Markov半群的基本理论。后面部分具体研究了一些无穷维随机系统的动力行为。更详细地，研究了以下几个方面。 第二章首先研究了随机影响下的海洋热盐循环系统．证明了在白噪声影响下的海洋热盐循环的渐近行为可由具有有限自由度的随机吸引子描述。通过引入依赖一控制参数的辅助过程，运用能量估计的方法证明了全局随机吸引子的存在性。由于正则性不高，利用概率意义下的决定函数得到随机吸引子的有限自由度。 其次研究了一类无界格点上乘性白噪声驱使的动力系统。P.Bates, K.N.Lu&B.X.Wang和P.Bates,H.Lisei&K.N.Lu对非线性项的限制排斥了行波解的存在。本文在通常的耗散条件下构造加权Sobolev空间，引入（Z<,u>，Z<,ρ>）随机吸引子的概念。利用能量估计和加权空间的嵌入定理，无需证明系统的渐近紧性，得到（Z<,u>，Z<,ρ>）随机吸引子的存在性。进一步证明了随机吸引子对噪声的上半连续性。目前对随机格点系统还没有其他类似结果。我们希望在将来的工作中能够得到格点随机吸引子的有限维逼近的结论。 2．轨道分布的动力行为 第三章改进了耦合方法研究无穷维随机系统的指数混合性质。首先研究白噪声驱使的局部和非局部的Swift-Hohenberg流体对流系统。本文证明了系统若有足够多的Fourier频率受噪声激励，则存在唯一的不变测度且所有解都以分布指数收敛到此测度。文中的证明不需要引入如S.B.Kuksin&A.Shirikyan［75］中的Kantorovich泛函，大大简化了步骤．另外值得注意的是保证局部Swift-Hohenber系统遍历的噪声作用频率数仅仅依赖于Rayleigh数，而不依赖于噪声强度本身；保证具有正核函数的非局部Swift-Hohenberg系统遍历的噪声作用频率数不仅依赖于Rayleigh数，还要依赖于核函数的上下界以及噪声的强度。 本章接下来研究了无穷格点上一类白噪声驱使的非耗散系统．此时系统不具有一个全局吸收集，但是利用耦合方法仍然得到唯一的不变测度且所有解都以分布指数收敛到该测度．另一方面，量子力学中的旋系统（spin systems）的Gibbs测度的存在对应着某个无界格点上白噪声驱使的系统的不变测度的存在．而在经典的旋系统，全局作用的有限维限制是负定的，从而对应的格点系统是耗散的．因此本文推广了G.Da Prato ＆ J.Zabczyk［39］中的结果。 不变测度刻划了系统的统计平衡态，其结构、性质以及与随机吸引子的关系都是亟待解决的问题。 3．随机动力系统的中心流形 不变流形是研究吸引子结构的重要工具．最后一章构造了Banach空间上一随机时滞发展方程生成的随机动力系统的中心流形．首先将系统变为一随机系数的积分方程，得到Banach空间上的一随机动力系统．其次引入一族赋予随机范数的Banach空间，利用指数三分性质和Lyapunov-Perron方法构造了随机范数下的中心流形．由文中证明易见不仅线性算子的谱距和非线性部分影响中心流形的存在，时滞项也起了关键作用．这方面的结果还未见于其他的文献． J.Q.Duan，K.N.Lu ＆ B.SchmalfuB在中证明了无时滞的随机偏微分方程确定状态的不变流形的存在性．本文在处理过程中，由于时滞的影响，引入了随机范数得到不变流形的存在性．我们希望以后的工作能够得到确定状态的不变流形，并且对其光滑性质做进一步的研究。