【摘 要】
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线性方程组的求解问题是数值代数领域中研究和讨论的一个重要课题.由于很多实际问题都可以转化为线性方程组的求解问题,这使得求解线性方程组的新方法层出不穷.现有的大部分求解方法都是利用线性方程组的系数矩阵的列信息或整个系数矩阵的信息通过直接或迭代的方式来求解线性方程组.Kaczmarz独辟蹊径,提出了行迭代的Kaczmarz方法.该方法每次迭代仅利用线性方程组的一个方程的信息,极大地减少了运算量.但是该
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线性方程组的求解问题是数值代数领域中研究和讨论的一个重要课题.由于很多实际问题都可以转化为线性方程组的求解问题,这使得求解线性方程组的新方法层出不穷.现有的大部分求解方法都是利用线性方程组的系数矩阵的列信息或整个系数矩阵的信息通过直接或迭代的方式来求解线性方程组.Kaczmarz独辟蹊径,提出了行迭代的Kaczmarz方法.该方法每次迭代仅利用线性方程组的一个方程的信息,极大地减少了运算量.但是该方法的收敛速率严重依赖于线性方程组中方程的排列次序.为了解决这一问题,随机Kaczmarz方法应运而生.在此基础上,用于求解线性方程组稀疏解的随机稀疏Kaczmarz方法也被深入研究.已有论文证明,由随机Kaczmarz方法生成的点列和由随机稀疏Kaczmarz方法生成的点列在期望意义下分别线性收敛到线性方程组的最小二范数解和稀疏解.遗憾的是,两种方法的收敛性均未得到证明且已有文献对随机稀疏Kaczmarz方法收敛速率的分析并不精确.同时考虑两种方法作为Kaczmarz方法的变体具有何种联系?如果两种方法具有联系,那么两种方法的收敛速率又有何种关系呢?这都是本文所探讨的内容.基于此,本文证明了随机Kaczmarz方法和随机稀疏Kaczmarz方法的几乎确定收敛性,也就是说,由随机Kaczmarz方法生成的点列和由随机稀疏Kaczmarz方法生成的点列收敛到线性方程组的解的概率均为1.另外,本文重新分析了随机稀疏Kaczmarz方法的收敛速率,这些结论为两种方法求解线性方程组提供了理论支撑.同时本文针对已有文献对随机稀疏Kaczmarz方法收敛速率结果的分析做出了相应的纠正.最后,本文指出在一定条件下,随机稀疏Kaczmarz方法退化为随机Kaczmarz方法,但两种方法的收敛速率不相容,即随机稀疏Kaczmarz方法的收敛速率慢于随机Kaczmarz方法的收敛速率.
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