论文部分内容阅读
本文讨论Sylow定理逆命题：给定素数p，是否对于任意的非负整数k，存在一个有限群恰有kp+1个p阶子群?本文所证明的就是，在一些特殊情况下定理的逆命题是成立的。利用群的扩张理论和数论的基础知识本文证明了当p＝2时定理的逆命题是正确的，即对于2k+l(k=0,1，2……)，存在群具恰有2k+1个2阶子群，这种群就是正2k+l，(k=0,1，2……)边形的对称群D2k+1；当pn-1/p-1=kp+1(n为正数)时，逆命题是成立的，即存在pn阶的有限生成Abel群，使得它的p阶元素的个数恰好为(p-1)(kp+1)；当kp+1(P为奇素数)恰好为素数时，逆命题也成立，即总存在p(kp+1)阶的群，使得它恰好有(kp+1)个p阶子群，且不同子群的P阶元素不交换。本文也讨论了若一个群恰好有7个3阶子群，其中一个子群的3阶元素和另外子群的3阶元素是否交换的问题，但没有得出明确的结果，只是得出以下结论：
1、若存在群恰好有7个3阶子群，那么这些不同子群的3阶元素一定不都交换。
2、若存在群恰好有7个3阶子群，有4个子群的3阶元素互相交换，但没有另外的3阶元素与它们交换，这样的群是不存在的。