本文主要研究了几类半线性椭圆型方程（组）解的存在性、非存在性以及其它定性性质,包括对称性、类共形不变性、一致有界性等.全文共分四章.第一章研究一类半线性椭圆型系统在Rn中正解的存在性与非存在性,其中n≥3,p,q>0,max{p,q} ≥ 1.我们得到了在次临界情形该问题的正解以及在超临界情形该问题的稳定解的不存在性,临界情形能够对解进行分类的充分必要条件,以及局部稳定解存在的Joseph-Lundgren 型条件.第二章研究一类加权拉普拉斯方程—Δu+μ/|x|2u=uq,u>0在Rn\{0}中正解的存在性与不存在性,其中μ≥-（n-2）2/4,q>1.我们证得了在次临界情形该问题的正解以及在超临界情形该问题的稳定解的不存在性,临界情形的分类结果和类共性不变性质,同时还建立了稳定解存在的Joseph-Lundgren 型条件.第三章研究一类Chern-Simons-Higgs型椭圆方程解的先验估计.我们得到了半线性方程古典解的一致有界性,以及分数阶方程可积解的一致有界性.我们证明了在Rn中|u|≤11,这一结论在研究这些方程的量子化效应时起到重要作用.第四章研究的是几类非局部不等式的最佳函数,主要包括Hardy-Littlewood-Sobolev不等式,分数阶Gagliardo-Nirenberg不等式,非局部Gagliardo-Nirenberg不等式和Coulomb-Sobolev不等式.首先我们推导出它们满足的Euler-Lagrange方程.其次我们考察这些方程具有某种可积性的古典解的存在性,其中Pohozaev恒等式起到关键作用.第一章研究的耦合方程组的一个特点是右端项关于u和v是齐次的,于是我们认为解的定性性质接近于熟知的Lane-Emden方程.第二章研究的含Hardy-Leray位势的方程有类共形不变性,这也应该与Lane-Emden方程的相关性质很接近,于是我们通过研究验证了这两类问题在刻画存在性的临界指标方面是一致的.在处理临界情形解的分类时,我们引入了牛顿位势,并将微分方程化为积分方程来研究.事实上,这一思想可以用来处理含有非局部Laplace算子的方程.作为应用,我们在第三章考察一个分数阶Chern-Simons-Higgs方程解的先验估计.作为对比,我们应用比较原理给出一个含有2阶Laplace算子的Chern-Simons-Higgs方程的先验估计.第四章,我们考虑含有Riesz位势的非局部方程.显然,Riesz位势是牛顿位势的分数阶推广,它们均与非局部的Gagliardo-Nirenberg不等式的最佳函数有关.我们推导出它们的含有非局部项的Euler-Lagrange方程,并给出解存在的必要条件,这与第一章和第二章次临界的Liouville定理相对应.