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本文共分四章:第一章为引言,给出了本文要研究的方程模型的推导和要用到的记号;第二章研究一类n维广义修正Benney-Luke方程的Cauchy问题局部解的存在性和惟一性;第三章研究了β≤0时其Cauchy问题整体解的存在性和惟一性;第四章讨论了β>0时其Cauchy问题整体解的存在惟一性与在一定条件下解的blow-up. 具体内容如下:在第二章中,我们研究如下n维广义修正BL方程的Cauchy问题其中μ,ε,α,β,a,b,A,B和p是正常数,u(x,t)为未知函数,下标t,x分别表示对t,x求导,且p满足如下条件:为此,我们将(1)等价变形为其中然后利用压缩映射原理证明Cauchy问题(1),(2)局部解的存在性和惟一性. 主要结果如下:定理1设φ∈H3,ψ∈H2,则Cauchy问题(1),(2)存在惟一的局部解u∈C([0,T];H3)∩C1([0,T];H2),T∈(0,T0),其中[0,T0)是解u(x,t)存在的最大时间区间,且当时,T0=∞.第三章首先构造能量守恒式,然后在此基础上证明了β≤0时Cauchy问题(1),(2)整体解存在惟一性. 主要结果如下:定理2设φ∈H3,ψ∈H2,β≤0,则Cauchy问题(1),(2)存在惟一的整体解u∈C([0,∞);H3)∩C1([0,∞);H2)∩C2([0,∞);H1). 第四章讨论了β>0时Cauchy问题(1),(2)整体解的存在惟一性与在一定条件下解的blow-up.我们先构造函数:定义稳定集和不稳定集:通过构造位势井得到如下结果:定理3设φ∈H3,ψ∈H2,β>0,E(0)0或▽ψ=0,则Cauchy问题(1),(2)存在惟一的整体解u∈C([0,∞);H3)∩C1([0,∞);H2)∩C2([0,∞);H1). 定理4设α=0,β>0,φ∈H3,ψ∈H2,E(0)
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