经典几何现在被推广为关联几何，它其中包含最为基础的射影几何与仿射几何，很多文献中使用不同的公理化定义，而且证明这些不同的公理化定义的等价性是困难的，这给理解与应用成果带来麻烦.目前关联几何的发展趋势之一是研究环上几何，以及“较弱条件下的几何变换问题”，即简化几何基本定理的条件使之更完美和便于应用.上世纪九十年代以来，国外几位学者刻画了较弱条件下的射影几何基本定理，即刻画了两个体上射影几何之间的将直线映射到直线之内的映射.本文将在此基础上，进一步讨论与完善射影几何与仿射几何理论.　　 本文共分三章.第一章简要介绍课题背景，研究内容和主要结果.　　 本文第二章，给出了射影几何公理化定义，讨论了射影几何的等价定义，射影几何的基本性质，射影几何与向量空间的关联，射影几何之间的态射，除环上左（右）向量空间之间的半线性映射.上世纪九十年代之后，国外几何学家证明了较弱条件下的射影几何基本定理，本文对这个重要基本定理的证明进一步的整理与修改，使之更容易阅读与理解.在第二章的最后一节，讨论了Bezout整环上射影几何理论.主要结果是应用环论中的局部化方法，证明了Bezout整环上射影几何基本定理，内容如下:设R，R是两个Bezout整环，(R)是R的分式除环，V=RRn，V=RRn，(V)=(R)(R)n，n≥3.设g:P(V)→P(V)是一个非退化的射影态射，则存在标准态射(τ)(:)V→(V)使得(τ)og是从P(V)到P（(V)）的非退化的（射影）态射，并且(τ)og()=，(∨)x∈V，其中P∈(R)n×n是固定的，σ(:)R→(R)是环同态且1Rσ=1(R)，0Rσ=0(R).　　 本文第三章，介绍了仿射几何理论，讨论了仿射几何之间的态射和加权半仿射映射理论.我们知道下述的较弱条件下的仿射几何基本定理:设V,V分别为维数≥2的除环D，D上左或右向量空间，其中|D|≥4，则每个非退化的仿射态射f:V→V是加权半仿射映射.这是一个很重要的结果，但文献中对它的讲述还不是很详细，因此本文对这个定理的证明进行了整理与修改，还给出了加权半仿射映射的具体公式，以便于容易理解和应用.