广义逆理论在很多领域中发挥着重要的作用,因此吸引了许多学者从复矩阵,Banach代数,Banach空间上的有界线性算子,C*-代数,环和半群等角度进行深入研究,并取得了显著的成果.由于研究一般环上的广义逆有一定的难度,因此很多问题有待进一步探讨.本硕士论文利用环论的相关理论,给出了带有对合的环上的偏序等距元的等价刻画以及偏序等距元与某些特定方程的解之间的等价关系,这是从一个新颖的视角研究偏序等距元.本文主要分为三个部分.第一部分简要概述了广义逆的起源与发展历程,包括广义逆在生产实践中的应用前景,同时陈述了环上广义逆的一些基本概念及本文将要用到的基本知识和相关引理.第二部分主要给出了在一定条件下元素为偏序等距元的等价刻画.首先我们讨论了元素为Moore-Penrose可逆元的前提下,其为偏序等距元一些新的等价条件,例如:在a ∈R+时,则a是偏序等距元当且仅当a=aa*a或a*=a*aa*.同时我们借助幂零元、幂等元以及Jacobson根等的性质刻画了偏序等距元,例如:当a是偏序等距元当且仅当aa*是幂等元且aa*-aa+是幂零元.其次我们考虑元素既为Moore-Penrose可逆元又为群可逆元的条件下,其为偏序等距元的若干刻画,例如:在a∈R#∩R+时,若a是偏序等距元当且仅当a*a+=a+a+或a+a*a+,从而丰富了 D.Mosic与 D.S.Djordjevic的结论.第三部分我们通过剖析偏序等距元的相关性质,构造一些相应的方程,考虑了偏序等距元与这些方程组的解之间的关系,主要证明了如下结论:在a∈R#∩R+时,a是偏序等距元当且仅当下列方程之一在给定集合χa中至少有一个解.1)xa=x(a+)*;2)aa*x=aa+x;3)a*ax=a+ax;4)a*xa=a+xa;5)x=xaa*.其中χa={a,a*,a+,a#(a#)*,(a)*}.