本文旨在研究带转点的指数式减小交换引理和三维奇摄动系统的周期轨道和不变环面的分支.交换引理是近十年几何奇摄动理论最重要的成果之一，主要用于追踪慢流形附近的不变流形，在奇摄动系统的边值问题、具有快慢变化的同宿异宿轨道、某些偏微分方程的脉冲行波解等方面具有非常重要的作用.本文将指数式减小的交换引理推广到带转点的情况.近年来，利用动力系统的分支理论与方法来研究奇摄动系统的分支现象已得到较大的发展，由于奇摄动系统的特殊性，其分支理论与方法还有待进一步的发展和完善.本文将运用分支的相关理论和方法来研究具有两个快变量和一个慢变量的三维奇摄动的周期轨道和不变环面的分支. 全文共分五章，谨将具体内容和研究结果概述如下：第一章是本文的概述，叙述了几何奇摄动理论和奇摄动系统的的分支理论的发展过程、背景及现状，介绍了本文的工作并提出了一些待解决的问题. 在第二章讨论了带转点奇异摄动系统的指数式减小的交换引理.1994年Jones等人提出了著名的k+1交换引理，1996年Jones等人将此交换引理推广成指数式减小的交换引理，2002年Liu研究了带转点的交换引理.本章综合使用Jones等人与Liu的方法，首先将慢流形上的慢流拉直，简化了Liu建立的带转点的Fenichel规范形，并以此为基础，建立了关于外微分形式的Plüker坐标的动力学方程，并用于追踪不变流形，针对P0(ω(q00))α(q01)和α(q01)P0(ω(q00))这两种情况，将Jones等人建立的指数式减小的交换引理推广到带转点的情况，使我们能够更有效的追踪在带转点的慢流形附近的不变流形. 第三章讨论了具有两个快变量和一个慢变量自治的三维奇异摄动系统.著名的VandenPol-Duffing振子和Rayleigh数较大的Lorenz模型都具有这种形式.当快系统出现奇异Hopf点时，1998年Stiefenhofer利用直接的方法和Naimark-Sacker定理研究了具有两个快变量和一个慢变量的三维奇异摄动系统的周期轨道和不变环面.2000年Stiefenhofer利用此结果研究了快系统出现Bogdanov点的开折.在快系统出现双曲极限环时，§3.2通过推广的曲线坐标变换建立了Poincaré映射，利用隐函数定理得到了由快系统的双曲极限环产生的三维奇异摄动系统的周期轨道分支的必要条件和充分条件.当快系统的极限环非双曲时，§3.3利用曲线坐标变换和blow-up变换，使得变换后的周期系统能够使用平均方法，由平均定理得到了快系统的非双曲极限环产生周期轨道的条件.经过更进一步的计算，运用不变环面的相关理论，§3.6得到了快系统的二重极限环和三重极限环产生不变环面的条件. 第四章和第五章讨论含有两个快变量和一个慢变量具有周期扰动的非自治系统.1987年，Wiggins和Holmes指出处在反馈控制中的一些非线性弹性结构如果在控制过程中有一不可忽略的时间常数将会出现这种形式，并且在快系统x=f(x，y)是一个平面Hamilitonian系统的条件下，研究了周期轨道和亚调和解的分支. 第四章假设快系统x=f(x,y0)有一个极限环.§4.2讨论了双曲极限环产生次调和解分支的条件，通过曲线坐标变换、尺度变换和渐近分析建立了分支方程，分析了分支方程产生根的条件，利用隐函数定理得到了次调和解的鞍结点分支曲线.由于在§4.2里利用曲线坐标变换所建立的双周期系统不能直接使用平均方法，§4.3首先利用Floquet理论将某些周期系数变为常数，再根据平均方法的思想，利用概周期函数的理论寻求双周期变换，使得变换后的方程能利用推广的积分流形理论，从而得到双曲极限环产生不变环面的条件. 对于非双曲的极限环产生次调和解分支，§4.4采用与§4.2不同的方法，首先进行周期性变换ρ=e-∫0θA(s)dsr并且令φ=t-θ，从而将§4.2由曲线坐标变换得到的双周期系统变为单周期系统，利用blow-up变换以后，该系统可以利用平均方法，最后利用平均定理得到调和解分支.在§4.5里，通过曲线坐标变换和周期性变换ρ=e-∫0θA(s)dsr进行进一步的计算，在blow-up变换以后，使用平均变换的思想，对一组偏微分方程，利用概周期函数的理论求解，并讨论了某些偏微分方程的性质，从而得到一组双周期的变换，经该变换后得到的方程能够利用有关积分流形理论获得非双曲的限环产生的不变环面. 第五章假设快系统x=f(x,y0)是一个闭轨族，§5.2利用角作用变换首先将系统(1.1.4)转化为双周期系统，经尺度变换和渐进分析得到了亚跳和解的Poincaré函数，通过Poincaré函数分析了亚跳和解产生的必要条件.针对Ω′(h0)≠0和退化情形Ω(h)≡Ω(h0)分别建立分支方程，得到了亚跳和解的鞍结点分支曲线.最后§5.3利用在§4.5里的方法，通过更进一步的计算，得到了快系统中的可积系统产生不变环面的条件.