【摘 要】
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论文摘要：本文恒设D是整环,K=qf（D）是D的商域,（?）是D的整闭包,X是D上的一个未定元.在本文的引言中我们概述了本文的研究背景与本文的主要成果.在第一章中我们引入APVMD的概念并主要研究了APVMD的基础理论,比如：APVMD的整闭包,APVMD的扩环,APVMD的多项式环,APVMD与几类重要整环之间的关系,APVMD的经典复合多项式环D+XK[X]等.同时,在这一章中我们继续讨论了A
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论文摘要：本文恒设D是整环,K=qf（D）是D的商域,（?）是D的整闭包,X是D上的一个未定元.在本文的引言中我们概述了本文的研究背景与本文的主要成果.在第一章中我们引入APVMD的概念并主要研究了APVMD的基础理论,比如：APVMD的整闭包,APVMD的扩环,APVMD的多项式环,APVMD与几类重要整环之间的关系,APVMD的经典复合多项式环D+XK[X]等.同时,在这一章中我们继续讨论了AGCD整环的性质.主要证明了整环D是AGCD整环当且仅当D是APVMD且具有挠的t类群.也证明了整环D是AGCD整环当且仅当D是具有挠的t类群的UMT整环且环扩张D（?）（?）是根扩张.本文的第二章继续对第一章所研究的特殊的复合多项式环D+XK[X]进行推广,讨论了更为一般的复合多项式环D+XDS[X],其中S是整环D中的任意浸润乘法集.在讨论这一问题的过程中,我们引入了一种新的研究方法,称为几乎t分裂集,并对几乎t分裂集的基础性质进行了讨论.得出了这一章中的主要结果：复合多项式环D+XDS[X]是APVMD当且仅当D+XDS[X]是well-behaved,D与DS都是APVMD同时S是几乎t分裂集.最后,我们也分别讨论了AP整环和AB整环上的复合多项式环D+XDS[X].证明了若S是D的任意浸润乘法集,则D+XDS[X]是AP整环（AB整环）当且仅当D是AP整环（AB整环）且Ds=K.在第三章我们研究了APVMD上的拉回图的性质,对四种不同类型的拉回图进行了讨论.主要证明了在（△M）型中,R是APVMD当且仅当D和T都是APVMD,TM是AV整环且qf（D）（?）T/M是根扩张.也证明了在（△M*）型中,R是APVMD当且仅当D和T都是APVMD且TM是AV整环.其次,证明了在（△’）型中,假设T是AV整环,则R是APVMD当且仅当D是APVMD且qf（D）（?）T/I是根扩张.最后,主要证明了在（△*）型中,记T=（Iv:Iv）,则R是APVMD当且仅当T是APVMD且TI是AV整环,并对D中任意非零素理想（?）,或者（1）D（?）和Tφ-1（D\（?））都是AV整环,或者（2）存在D中一有限生成理想A使得A（?）P,A-1∩E=D以及（φ-1（P）T）t=T.根据（t,v）-Dedekind整环是APVMD,因此,在第四章我们主要研究（t,v）-Dedekind整环的局部化问题以及在分次环中的应用.从这些性质当中我们观察到（t,v）-Dedekind整环与APVMD之间的联系与差异.我们主要证明了D是（t,v）-Dedekind整环当且仅当对任意乘法集S（?）Nv,D[X]S是（t,v）-Dedekind整环.我们证明了D是t局部（t,v）-Dedekind整环当且仅当D[X]是t局部（t,v）-Dedekind整环,当且仅当D[X]Nv是t局部（t,v）-Dedekind整环,当且仅当D[X]Nv是局部（t,v）-Dedekind整环.我们也证明了若R=（?）α∈ΓRα是分次整环,则R是（t,v）-Dedekind整环当且仅当R是分次（t,v）-Dedekind整环.利用这些性质,我们最后讨论了（t,v）-Dedekind整环上的群环和半群环.证明了若R是整环,则群环R[X;G]是（t,v）-Dedekind整环当且仅当R是（t,v）-Dedekind整环且G具有型（0,0,…）.也证明了半群环R[Γ]是（t,v）-Dedekind整环当且仅当R是（t,v）-Dedekind整环且Γ是（t,v）-Dedekind半群.上面各章的讨论都是在特定的星算子（比如v-算子,t-算子,w-算子）下讨论整环.在第五章我们就把特定的星算子的研究推广到一般星算子上,并引入了AP*MD和A*GCD整环的概念.得出了整环D是AP*MD当且仅当D是APVMD且*s=t.主要证明了D是AP*MD且Cl*s（D）是挠的当且仅当D是A*GCD整环.同时我们也得出了一些推广性的结果,并为APVMD的继续发展提供了新的研究思路.第ⅲ页,共58页
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