最优控制是现代控制理论的重要构成部分.最优控制在航天航空和军事等领域有十分重要应用.工业系统中也有较多最优控制问题的应用,如生物工程系统中细菌数量的控制以及电力控制系统和油田污水处理中的最优控制等.因此,最优控制问题因其在工程最优设计和控制方面的广泛应用而一直受到人们的关注[58, 84].近二十年里,最优控制问题在控制工程、航天和制导等领域中[42, 62, 64, 73]的研究有了非常迅速的发展.谱方法是求解微分方程的重要数值方法.它的主要优点是对于光滑问题有可能获得高精度,这使得该方法与有限差分法、有限元法一起成为求解微分方程的三大数值方法.用谱方法解最优控制问题的早期的工作出现在20世纪的八、九十年代[16, 19],近几年该领域的相关研究发展迅速. Ross等将拟谱方法应用于求解最优控制问题,发展了最优控制问题的Chebyshev谱方法[26]、Legendre谱方法[70, 71]和谱配点法[74].使用谱方法求解光滑的最优控制问题可达到高精度.然而对于某些约束问题,控制解往往会在局部发生较大的变形,对此类问题采用区域分裂法以及谱元法能构造更加有效的计算方法.随着谱方法的不断发展及其在微分方程数值解中的广泛应用,一些学者已经尝试用相应的方法寻求解决不同最优控制问题的途径.其中比较有代表性的工作是Fahroo和Ross提出的“谱拼接法”[65].该方法的一个好处是在每个子区间上可以用阶数相对较低的多项式去逼近该时间区域上的控制和状态函数,能够在局部对配置点进行加密,使算法有较大灵活性.本文的主要工作:在现有工作基础上,提出用Chebyshev–Legendre（CL）方法求解最优控制问题.尽管Chebyshev–Legendre方法在偏微分方程数值求解方面已有许多工作[51, 52, 78],但之前没有学者发展最优控制问题的Chebyshev–Legendre方法.我们用Legendre多项式作为基函数并且使用Chebyshev–Gauss–Lobatto （CGL）点作为配置节点,通过合理运用快速Legendre变换（FLT: Fast Legendre Transform）,节约了CPU的运行时间,该方法也同样具有高精度.这是本文的一个工作.在第三章,首先针对线性—二次型（LQ:Linear Quadratic）最优控制问题进行研究,给出了该类问题矩阵表示的一个简便而且有效的求解格式,数值实验结果表明该方法实现简便并且具有高精度.在第四章中,先给出了CL方法处理一类基本最优控制问题的谱格式,并针对工程界中的某些最优控制问题得到了简便的解决方法.在工程计算中,有效减少计算时间是人们关注的焦点.在现有方法的基础上,我们对某些最优控制问题发展了Chebyshev–Legendre谱方法,使计算时间有一定程度的减少同时又不失高精度.谱方法直接求解非光滑问题的效果较差,在本文的第五章,我们将Chebyshev–Legendre方法和区域分解方法的思想相结合,提出分段Chebyshev–Legendre方法,采用一系列技巧,在一定程度上减少了数值求解中的误差,得到好的结果.由于谱方法的特点,处理不光滑的问题时会遇到较大困难,为解决这一难题,谱元法和区域分裂法是一个比较好的选择.我们提出的分段CL方法也是基于区域分裂方法的思想,在解的光滑段取次数较高的插值多项式,而在含有弱间断点的部分则取次数比较低的插值多项式,取较少个数的配置点.我们给出了方法的格式,数值结果表明方法的有效性.第六章中,我们在现有工作的基础上给出了一种求解微分方程最优控制问题的改进Chebyshev拟谱方法.该方法是在Chebyshev–Legendre方法基础上的进一步发展.给出了方法的具体实现过程,数值实验结果表明方法的有效性和高精度.我们将Chebyshev展开式的系数作为未知量,运用基于快速Fourier变换的快速余弦变换具体实施,节省了计算时间.选取的配置点是形式简单且便于得到的CGL点.分别对一般形式的最优控制问题和工程中讨论比较多的最优控制问题进行求解.第七章对两阶线性椭圆方程最优控制问题给出了Chebyshev–Legendre拟谱离散格式,对方法进行了分析,给出了该方法的先验误差估计.