论文部分内容阅读
本文研究同阶子群个数之集合对群结构的影响.设 G是一个有限群. n(G)表示群 G中所有同阶子群的个数组成的集合.本文得出了当n(G)={1,3,4}时 G的所有Sylow子群的结构，以及当G为内幂零群时群G的结构.主要得到了下述定理： 引理2.6设 P是一个非交换p群, H=〈h〉是 P的循环极大子群且|H|= pn.假设 H在 P中有补A=〈a〉，则其p阶子群的个数有如下结果： (1)当 p=2且 P=〈a, b|a2n= b2=1, b- l ab= a-1〉时，其2阶子群有2n+1个； (2)当p=2, n≥3且 P=〈a, b|a2n= b2=1, b- l ab= a-l+2"1〉时,其2阶子群有2n_i+1个； (3)当 p=2, n≥3且 P=〈a, b|a2n= b2=1, b- l ab= al+2"1〉时,其2阶子群有3个； (4)当 p=3且 P=〈a, b|a3n= b3=1, b- lab= al+3"-1〉时,其3阶子群有4个. 定理3.1设 G为有限群，且|G|=2≥3nqa i说2…π,其中 q为大于3的素数, a, p为非负整数, ai, n均为正整数.如果n(G)={1,3,4},则a＞0,/3＞0且 G的Sylow-2子群 P2和 Sylow-3子群 P3不能都正规且具有如下性质： (a)当 P2循环时，G的 Sylow2-子群只有3个； 当 P2不循环时，P2＜G且具有如下结构： 如果 a=2,则 P2= C2 x C2； 如果 a=3,则 P2= C4 x C2或 P2=〈a, b|a4=1, b2= a2, b- l ab= a-1〉; 如果a≥4,则 P2= C2a-i x C2或 P2=〈a, b|a2a1= b2=1, b- l ab= a l+2a2〉.(b)当 P3循环时，G的 Sylow3-子群有4个； 当 P3不循环时，P3< G且具有如下结构：（此处公式省略） 或（此处公式省略） (c) G的 Sylow qi-子群 Q i循环且 Q i＜G, i=1,2,…, n. 定理4.1若 G为内幂零群，且n(G)={1,3,4},则 G必与下列群同构： (1) G=(a, ci, C2a3=1, cl= c2=1, ci c2= c2 ci,C f= c2,c％= ci C2〉; (2) G=(a, b, ca3卢=1, b4=1, b2= c2, b-1 cb= c-1, a-1 ba= c, a-1 ca= bc〉.