无论是连续谱问题还是离散谱问题都可分为两类:一类是定义在有限闭区间上且系数具有良好性质的称为正则谱问题，否则称为奇异谱问题.正则谱问题的研究已经形成相对比较完善的理论体系.与正则谱问题相比，奇异谱问题的研究还不是那么全面，还有很多非常重要的问题有待研究.　　众所周知，一个正则谱问题的谱仅由特征值构成，而一个奇异谱问题的谱可能同时由本质谱和特征值构成[5,48,81,92]，因此，研究起来比较复杂和困难.一个奇异谱问题的谱能否由一列正则谱问题的特征值来逼近呢？显然，研究奇异谱问题的正则逼近无论在理论上还是在实际应用上都具有重要意义.　　奇异微分算子谱的正则逼近问题已经得到了广泛和深入的研究并得到了许多很好的结果，包括谱包含和谱准确[6,7,16,52,77,78,91,95,96].在1993年，Bailey, Everitt和Weidmamnn[6]研究了奇异微分Sturm-Liouville问题谱的正则逼近.首先，对于任给的一个奇异Sturm-Liouville问题，他们构造了一列正则问题.然后证明了这列正则问题关于该奇异问题在极限圆型下是谱准确的和在极限点型下仅是谱包含的.此外，在极限点型下，当谱是下方有界时，给出了本质谱下方的谱准确的结果.随后，Stolz，Weidmann和Teschl[77,78,91,95,96]研究了一般的奇异常微分算子谱的正则逼近问题.除了得到了类似于[6]中的结果外，还得到了本质谱间隙内谱准确的结果.特别地，Brown，Greenberg和Marletta[16]对给定的奇异四阶对称微分算子，构造了一列正则问题，证明了当端点为正则或极限圆型时，该奇异问题本质谱下方第k个特征值恰是这列正则问题的第k个特征值的极限.此外，[6,39,101]对一个奇异微分Sturm-Liouville问题构造了一列正则问题，并且证明了当至少有一端点为极限点型时，该奇异问题本质谱下方第k个特征值恰是这列正则问题的第k个特征值的极限.　　随着信息技术的飞速发展和电子计算机的广泛应用，涌现出了越来越多的离散系统，并且吸引了大量学者对它们进行研究.对于正则差分方程基本理论的研究已经有很长的历史，并且它们的谱理论已经形成比较完善的理论体系，例如特征值、特征函数的正交性以及展开定理[1,5,14,15,35,48,50，67,68,70，81,90，92].而对于奇异差分方程，在1964年，Atkinson[5]最早对其进行了研究.随后，取得了一些重要进展[10，11,12,13,22,28,46,57,59,60，62,63,64,65,71,75,76,86,87,97].特别地，奇异对称二阶线性差分方程和奇异离散线性Hamilton系统引起了人们的很大的兴趣，并得到了许多好的结果（参考文献[19,20，21,23,47,48,60，64,65,69,71,79,82,83,84,85,86,87,88,102]，以及它们的参考文献）.在1995年，Jirari在文献[48]中对二阶Sturm-Liouville差分方程和正交多项式做了系统的研究.在2004年，陈景年和史玉明在文献[19]中建立了奇异二阶线性差分方程的极限圆型和极限点型的判定原理.同年，綦建刚和陈绍著对奇异离散Hamilton系统做了研究，给出了纯点谱的存在性和谱的下界的判定条件[60].在2006年，史玉明[71]对一端奇异离散Hamilton系统建立了Weyl-Titchmarsh理论.随后，她和任国静对奇异离散Hamilton系统的亏指数和确定性条件进行了研究，并在此基础上给出了其自伴子空间扩张的完全刻画[64,65].最近，郑召文在[102]中给出了奇异离散Hamilton系统在有界扰动下其最大和最小亏指数的不变性的结果.对于奇异对称二阶线性差分方程和奇异离散线性Hamilton系统，还有很多问题有待研究解决.本文我们主要想研究它们谱的正则逼近问题.显然地，该问题的研究在数值分析和应用中都非常重要.　　众所周知，对于一个对称线性微分方程，只要相关的确定性条件成立，它的最大算子是良好定义的和最小算子是个对称算子，即一个稠定的Hermite算子，并且最小算子的伴随等于最大算子.因此，人们可以利用对称算子的谱理论对其进行研究.然而对一个对称线性差分方程，其最小算子有可能是非稠定的并且最小和最大算子有可能是多值的.详细讨论可参考文献[64,72,75].因此，一般不能用对称算子的谱理论来研究奇异差分方程的谱问题.例如，经典的von Neumann理论及其推广理论[24,34,93,94]以及适用于对称算子的亏指数稳定性理论[9,30，36,51,53,54,55,98,100]对其都不在适用.　　随着对算子理论的深入研究（有关线性算子理论的书籍，可参考[2,17,34,40，41,45,49,58,61,66,89,93,94])，人们发现了越来越多的多值算子和非稠定算子.例如，不满足确定性条件的连续线性Hamilton系统生成的算子和一般的离散线性Hamilton系统生成的算子[55,64,65,75].为了研究这一类算子同时也是为了进一步完善算子理论，亟待建立多值算子和非稠定Hermite算子理论.　　幸运的是，这一大难题可以用线性子空间理论（线性关系）来解决.在1961年，Arens[4]最早对线性关系进行了研究.一个线性关系实际上是相应乘积空间中的一个子空间，因此显然包含多值和非稠定的算子.随后，Cod-dington，Dijksma，Hassi，Snoo和其他学者成功地将对称算子的一些概念和结果推广到了Hermite子空间[3,8,18,24,25,26,27,29,31,32,33,42,43,44].特别地，Coddington和他的合作者成功地将经典的有关对称算子的von Neu-mann理论推广到了Hermite子空间，证明了Hermite子空间具有自伴子空间扩张当且仅当其正负亏指数相等[24,25,26,27].紧接着，史玉明将经典的Glazman-Krein-Naimark理论推广到了Hermite子空间[72]，并且在此基础上，她和她的合作者孙华清和任国静分别给出了二阶对称线性差分方程和一般的线性离散Hamilton系统在正则和奇异情形下的自伴扩张的完全刻画[75,65].随后，她与邵春梅和任国静研究了自伴子空间谱的性质[74].最近，在上面这些工作的基础上，我们研究了自伴子空间序列的预解收敛及谱逼近[73]，其中给出了几个判定自伴子空间序列强预解收敛和依范数预解收敛的充要条件;以及建立了一些自伴子空间序列谱包含和谱准确的判定原理.这些结果为研究奇异差分方程谱的正则逼近问题奠定了基础.　　据我们所知，目前有关奇异差分方程谱的正则逼近的结果还较少.在本文中，我们将利用线性子空间理论来分别研究奇异二阶对称线性差分方程和奇异离散线性Hamilton系统谱的正则逼近问题.　　本文分为三章.第一章是预备知识.介绍线性子空间的一些基本概念和结果以及奇异二阶对称线性差分方程和离散线性Hamilton系统的一些结果.　　第二章主要考虑奇异二阶对称线性差分方程的谱的正则逼近.首先，对给定的相应最小子空间的一个自伴子空间扩张，给出其诱导的正则自伴子空间扩张.然后，证明了当每个端点为正则或极限圆型时，给定的自伴子空间扩张的第k个特征值恰是诱导的正则自伴子空间扩张的第k个特征值的极限.特别地，我们首次研究了特征值逼近的误差估计，并且在这种情形下利用方程的系数给出了特征值逼近的误差估计.当至少有一端点为极限点型时，对给定的相应最小子空间的一个自伴子空间扩张，我们首先来构造特定的诱导的正则自伴子空间扩张.然后，在这种情形下证明了新的诱导的正则自伴子空间扩张序列关于预先给定的自伴子空间扩张在其本质谱间隙内是谱准确的.此外，在这种情形下证明了，给定的自伴子空间扩张，当其谱下方有界时，其本质谱下方的第k个特征值恰是新构造的诱导的正则自伴子空间扩张的第k个特征值的极限.　　第三章考虑奇异离散线性Hamilton系统谱的正则逼近.首先，对任意给定的自伴子空间扩张，我们构造了其诱导的正则自伴子空间扩张.然后，研究了如何将一个真子区间上的基础空间乘积空间中的一个子空间延展为整个区间上的基础空间乘积空间中的子空间，即如何做零延展.这个问题在连续情形下很容易解决，而在离散情形下则非常困难.更多地，给出了延展后空间的谱性质的不变性.因此，作为直接推论，我们得到了诱导的正则自伴子空间扩张到最初Hilbert空间乘积空间的子空间的延展.然后，我们研究了奇异离散线性Hamilton系统谱的正则逼近.在极限圆型时，证明了诱导的正则自伴子空间扩张关于给定的自伴子空间扩张是谱准确的.更进一步地，在这种情形下证明了给定的自伴子空间扩张的第k个特征值恰是其诱导的正则自伴子空间扩张的第k个特征值的极限.此外，在这种情形下我们利用方程的系数首次给出了特征值逼近的误差估计.最后，在极限点型和中间亏指数型下得到了谱包含的结果.也许由于中间亏指数型研究起来非常复杂和困难，据我们所知，无论在连续情形下还是离散情形下，已有文献中目前还没有有关中间亏指数型下谱的正则逼近问题的研究结果.因此，本文是首次对离散Hamilton系统在中间亏指数型下谱的正则逼近问题做了研究并给出了谱包含的逼近结果.