随着科学技术的发展，在天体物理学、量子力学等众多领域，科学家们建立了越来越多的非线性微分方程模型，对其求解方法的研究也取得了丰硕的成果．本文研究了非线性微分方程求解的加速搜索延拓方法和新外推瀑布式多重网格法． 本文首先提出了非线性微分方程多解问题的加速搜索延拓方法，此方法的算法为：第一步，在粗网格上用陈传淼和谢资清两位教授提出的搜索延拓法求解得υh；第二步，在细网格上利用粗网格上得到的解υh把非线性问题线性化，求解得eH，从而υh+eH把粗网格上得到的解υh进行第一次校正；第三步，在粗网格上再利用前两层网格上求得的解υh，eH，把非线性问题再次线性化，求解得eh，从而υh+eH+eh使粗网格上得到的解uh进行第二次校正．本文对一维半线性椭圆型方程多解计算进行了数值实验，将区域剖分为4096等分，对其中一个解的计算分别用加速搜索延拓方法和搜索延拓法，当达到相同的误差精度时，比较了两种方法的耗时，结果表明加速搜索延拓方法在网格很密时，效率非常高。对于二维半线性椭圆型方程多解问题，本方法能很快算出1-4重特征值情形的多个解。 本文还研究了一类具有唯一解的半线性椭圆型方程的新外推瀑布式多重网格方法，其算法为：第一步，在第一层均匀网格上用有限元离散得到非线性方程组，再用牛顿迭代法计算其解；第二步，将网格均匀加密一倍，用前一层网格同样的方法计算其解；第三步，将网格再均匀加密一倍，用前一层网格上的解将非线性问题线性化，再以前两层网格上的解作新外推，得到一个好的初值，再进行迭代求解；第四步，再继续加密和利用前两层网格得到的解作新外推，再迭代。本文在第三步中，分别用线性插值方法、传统外推法、新外推法得到初值，再用瀑布式多重网格法计算了一类半线性椭圆型方程的解，数值结果表明新外推方法具有非常明显的优势．