近几年来,无界区域问题越来越受到人们的关注.通常,解决此类问题的最简单方法是首先取定某个人工边界,并给出适当的人工边界条件,然后在相应的有界区域中来数值求解,然而,这种截断必然会带来相应的误差.为此,人们提出了多种解决办法.例如：直接利用Hermite及Laguerre等无界区域上的正交多项式作为基函灵敏进行数值逼近;以及通过某种变换把无界区域问题转换成相应的有界区域问题,再用Jacobi多项式进行数值逼近等.该文讨论了另一种行之有效的方法--有理逼近.其基本思想是：通过某种有理变换把有界区域上的多项式函数转换成无界区域上的有理函数,再用这些有理函数来对无界区域问题进行数值逼近.首先,我们构造了一些加权正交的有理函数空间,并建立了相应的逼近理论.其次,针对一些波动方程,我们构造了一些不带权正交的有理函数空间,并建立了相应的逼近理论.在第七章中,我们建立了全直线上不带权的Legendre有理谱逼近,并以Dirac方程作为实例,证明了谱格式的守恒性和收敛性.数值结果表明了算法是有效的.在第八章中,我们给出了全直线上不带权的Chebyshev有理谱逼近,并以Korteweg-de Vries方程为例,证明了谱格式的守恒性和收敛性.数值结果同样表明算法是稳定、收敛的.值得一提的是,文中所涉及的方法及证明技巧也同样适用于其它的偏微分方程.