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【摘要】初中阶段对几何图形的研究体现了数学的系统性，从三角形的研究历程让学生感悟到研究几何图形从一般到特殊的步骤；研究几何图形的套路与方法体现了几何图形研究的系统性，通过类比三角形让学生得出平行四边形的研究思路，有利于提高学生的系统思维能力，发展学生核心数学素养.
【关键词】几何研究；系统性；核心素养
数学在基础教育课程体系中的特殊地位，在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维能力的主要学科.数学教育发展到今天，人们越来越清楚地认识到：数学学科的最大用处是育人，它不仅能培养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼心智、培育理性精神上也是不可替代的.
众所周知，平面几何因其基本概念的明确性和推理论证的严密性，历来是培养学生的理性思维和逻辑推理能力的最好载体.对初中学生来讲，无论是几何直观能力的培养和训练，还是其中涉及的很严谨的逻辑推理能力的训练，都是非常重要的.同时，由于几何研究具有高度的系统性，其研究思路及研究方法具有高度的相似性，所以，在课堂教学中，要以认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会系统地思考，从而发展学生的核心数学素养.
下面我以人教版“18.1.1平行四边形的性质”（第1课时）为例，来谈谈我对这方面的思考.
一、主要教学过程设计
问题1 观察这些图片，你能否看到熟悉的图形？并能进行简单的分类吗？
设计意图：通过图片展示，让学生真切感受生活中大量存在平行四边形的形象.进而从实际背景中抽象出几何图形—平行四边形、三角形、六边形等，让学生感受将实物抽象为图形的过程.
问题2 我们前面已经研究过了许多有关三角形的知识，积累了很多研究三角形的经验，在这一章里，我们将要研究的是一类特殊的四边形——平行四边形，在小学里，我们对平行四边形有了一定的认识，你能说说你对平行四边形有哪些印象吗？
追问1 在你的生活中出现有平行四边形的例子吗？
设计意图：强调定义的两方面作用，一是可以判定一个四边形是不是平行四边形，二是平行四边形具有两组对边分别平行的性质.
（二）概括证明——探究性质
问题3 我们前面已经研究过了许多有关三角形的知识，积累了很多研究三角形的经验，在这一章里，我们将要研究的是一类特殊的四边形——平行四边形，我们如何研究平行四边形？
设计意图：著名数学家拉普拉斯曾经说过：在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比.类比三角形，等腰三角形的研究历程，渗透类比思想，进一步明确四边形，平行四边形的本质属性与定义形式，也为后续研究特殊平行四边形埋下伏笔，学生对本章知识梗概有个整体的了解，对研究方法、研究思路有整体的把握.
问题4 对平行四边形，从定义出发，你能进一步得出它的其他性质吗？能证明这些结论的正确性吗？
设计意图：猜想结论并不困难，主要是对猜想的结论（小学里的常识）应当进行证明，只有经过证明才能成为定理，这是追问设计的意图所在.
追问 通过解决以上问题，你能归纳解决四边形问题的一般方法吗？
设计意图：归纳环节的设计是对探究过程中形成的思想策略和得到的结论（知识）进行回顾与整理.这有助于学生理解定理，体会通过构造图形把四边形问题转化为全等三角形问题的基本想法.
（三）应用知识，解决问题
例题略.
设计意图：设置基础和有一定挑战性的问题，调动上中下层次的学生学习积极性，激发思维，培养分析能力，对难题的设置，对学困生也可以在听懂思路的过程中有所收获.
（四）归纳小结与展望
可以围绕以下几方面进行：
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.通过本节的学习和过去三角形的学习经历，你觉得对一个几何图形的研究通常是怎样进行的？
3.你还对平行四边形的哪些方面感兴趣，觉得有必要進一步研究思考的呢？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心，通过问题3，大致和学生介绍本章知识框架与脉络，在学生展望的过程中逐步出示下面的框图，让学生对本章的知识有一个整体的了解，对本章知识脉络有一个整体性的了解，同时对数学研究一个几何图形的套路有整体的认识，做到心中有数.
（五）布置作业
略.
二、注重几何研究的系统性，发展学生核心素养
（一）类比思想——建立知识系统之间关联的纽带
当前教学中仍存在的几个问题：如教师教学就事论事，对学科课程整体理解不够，导致学生以知识获取为主，对学科核心思想思考的不够；教师对课时教学改进多，对单元整体性设计研究不够，导致学生获取知识再现为主，关注迁移解决新问题不够.新课标在“教学建议”中也指出：数学活动经验的积累是提高学生核心素养的重要标志.
我们知道，数学知识系统之间往往是关联的，数学材料的逻辑组织化，不仅仅停留在不同的局部内容的逻辑组织，还需要通过逻辑构建，建立不同的局部知识系统之间的关联，把已经建立的知识系统及其学习经验运用于新的内容的学习中，类比是建立类似的知识系统之间的关联的纽带.
对三角形的研究思路整理可以知道，我们先从一般的三角形开始研究其性质，了解其要素及相关要素，再研究这些要素及相关要素之间的关系，谓之性质；然后再研究一些特殊的三角形，如等腰三角形，直角三角形，体现出从一般到特殊的数学思想，在研究任何一种特殊的图形中，我们都研究了其性质及判定，并且性质与判定之间呈现出一种互逆的关系，所以研究判定我们只要写出性质的逆命题加以证明即可，这点在勾股定理及其逆定理中加以明示，这些都是研究一个图形的套路与方法. 而在平行四边形中延续了这种思路与方法，如我们研究平行四边形，再研究特殊的平行四边形，即矩形，菱形，正方形，研究任何一种特殊的四边形时，都研究其性质与判定，且都遵循着这种互逆的方式.这体现了平面几何研究的系统性与整体性.
本节课中，通过回顾整理三角形的研究历程，发现研究图形过程的共性，进而类比得出平行四边形研究的思路与方法，通过类比旧知识的活动经验，得出研究图形的思路与方法，整个过程，运用类比思想，学生完全自主构建，教师做引导者和合作者.在最后的小结中，教师通过循循善诱，引导学生将边，角分别进行特殊化，从而构建出本章的知识体系，对提高学生系统地思考问题的能力起到很好的引导作用.
（二）推理是数学的核心素养之一
数学的核心素养，必须体现数学学科的本质，体现数学学科本质的无疑是数学的基本思想：抽象、推理和模型，这三种基本思想涵盖了数学的产生与发展.另外，数学的三大特征：高度的抽象性、逻辑的严谨性和广泛的应用性，与三种基本数学思想高度对应.因而，三大基本数学思想在数学发展历程中起着关键的核心作用，在教学中应时刻关注这三大核心数学素养的发展.
在本节课的教学中，对平行四边形的性质的研究，教师没有采用以往通过“实验、观察、猜想、论证”的步骤进行，而是通过直接通过“观察猜想，论证”两个步骤得出其性质，这是实现从“实验几何”到“论证几何”的进步.在八年级上册之前，学生对逻辑推理的经验还需要通过实验几何进行猜想，而此时，学生通过了大量逻辑推理训练，已经具备论证推理的基础，也可以说，平行四边形的性质的得出是实验几何与论证几何的分界线，从此，学生基本告别实验来推理，而进入论证推理的时代.同时，将论证几何的方法进一步应用到本章特殊的平行四边形的研究中，多次的重复的巩固应用，将论证推理的思想方法进一步内化，形成一种习惯，即是核心数学素养所需要的.
（三）构建知识网络，整体设计教学
在整体教学、系统逻辑构建的教学思想下，先引导学生立足整体内容提出问题，规划研究的思路和方法，制订研究计划，然后，完成研究内容.在这种整体逻辑构建的教学设计中，是先有整体视野，聚焦数学观念和思想方法，再根据需要对各种子问题进行研究，可以给学生宏观的数学视野，在见森林的基础上再见树木，这符合大脑信息加工的从整体到部分、从粗略到精细、从定性到定量的规律.
在平行四边形的教学中，利用小结的契机，对平行四边形的整章的内容加以展望，利用系统性思维，对平行四边形的两大要素，即边和角进行特殊化，再对边角同时特殊化，得出今后研究的内容与方向，初步形成了本章的知识框架，从而对本章的知识概貌有了初步的認识，这种认识对整体性了解本章知识起到了重要的作用，使得在以后的学习中有了方向，对平行四边形整块研究的内容构建了网络，从而做到心中有数.
整体把握知识之间的内在联系，构建知识网络，不仅能深化对每个部分的理解和应用，而且还能从中提炼出数学思想，这样的学习方式，不仅有助于掌握知识、技能和方法，提升学习效率，而且加深了数学中通性通法的认识，提升学生学习和研究数学的水平，提升数学思维的能力.同时，也是发展学生核心素养的必要举措.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]吴增生.用数学发展思维——基于脑、适于脑、发展脑的数学教学策略[M].南昌：江西教育出版社，2016：151-157.
[3]章建跃.使学生在逻辑连贯的学习过程中学会思考[J].数学通报，2013（6）：5-8.
[4]王杰航.“旋转（第1课时）”教学设计[J].中国数学教育，2014（12）：33-38.
【关键词】几何研究；系统性；核心素养
数学在基础教育课程体系中的特殊地位，在于它是发展学生的智力、培养逻辑思维能力的主要学科.数学教育发展到今天，人们越来越清楚地认识到：数学学科的最大用处是育人，它不仅能培养学生的几何直观能力、运算能力、逻辑推理能力、数据处理能力等，而且在锻炼心智、培育理性精神上也是不可替代的.
众所周知，平面几何因其基本概念的明确性和推理论证的严密性，历来是培养学生的理性思维和逻辑推理能力的最好载体.对初中学生来讲，无论是几何直观能力的培养和训练，还是其中涉及的很严谨的逻辑推理能力的训练，都是非常重要的.同时，由于几何研究具有高度的系统性，其研究思路及研究方法具有高度的相似性，所以，在课堂教学中，要以认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会系统地思考，从而发展学生的核心数学素养.
下面我以人教版“18.1.1平行四边形的性质”（第1课时）为例，来谈谈我对这方面的思考.
一、主要教学过程设计
问题1 观察这些图片，你能否看到熟悉的图形？并能进行简单的分类吗？
设计意图：通过图片展示，让学生真切感受生活中大量存在平行四边形的形象.进而从实际背景中抽象出几何图形—平行四边形、三角形、六边形等，让学生感受将实物抽象为图形的过程.
问题2 我们前面已经研究过了许多有关三角形的知识，积累了很多研究三角形的经验，在这一章里，我们将要研究的是一类特殊的四边形——平行四边形，在小学里，我们对平行四边形有了一定的认识，你能说说你对平行四边形有哪些印象吗？
追问1 在你的生活中出现有平行四边形的例子吗？
设计意图：强调定义的两方面作用，一是可以判定一个四边形是不是平行四边形，二是平行四边形具有两组对边分别平行的性质.
（二）概括证明——探究性质
问题3 我们前面已经研究过了许多有关三角形的知识，积累了很多研究三角形的经验，在这一章里，我们将要研究的是一类特殊的四边形——平行四边形，我们如何研究平行四边形？
设计意图：著名数学家拉普拉斯曾经说过：在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比.类比三角形，等腰三角形的研究历程，渗透类比思想，进一步明确四边形，平行四边形的本质属性与定义形式，也为后续研究特殊平行四边形埋下伏笔，学生对本章知识梗概有个整体的了解，对研究方法、研究思路有整体的把握.
问题4 对平行四边形，从定义出发，你能进一步得出它的其他性质吗？能证明这些结论的正确性吗？
设计意图：猜想结论并不困难，主要是对猜想的结论（小学里的常识）应当进行证明，只有经过证明才能成为定理，这是追问设计的意图所在.
追问 通过解决以上问题，你能归纳解决四边形问题的一般方法吗？
设计意图：归纳环节的设计是对探究过程中形成的思想策略和得到的结论（知识）进行回顾与整理.这有助于学生理解定理，体会通过构造图形把四边形问题转化为全等三角形问题的基本想法.
（三）应用知识，解决问题
例题略.
设计意图：设置基础和有一定挑战性的问题，调动上中下层次的学生学习积极性，激发思维，培养分析能力，对难题的设置，对学困生也可以在听懂思路的过程中有所收获.
（四）归纳小结与展望
可以围绕以下几方面进行：
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.通过本节的学习和过去三角形的学习经历，你觉得对一个几何图形的研究通常是怎样进行的？
3.你还对平行四边形的哪些方面感兴趣，觉得有必要進一步研究思考的呢？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心，通过问题3，大致和学生介绍本章知识框架与脉络，在学生展望的过程中逐步出示下面的框图，让学生对本章的知识有一个整体的了解，对本章知识脉络有一个整体性的了解，同时对数学研究一个几何图形的套路有整体的认识，做到心中有数.
（五）布置作业
略.
二、注重几何研究的系统性，发展学生核心素养
（一）类比思想——建立知识系统之间关联的纽带
当前教学中仍存在的几个问题：如教师教学就事论事，对学科课程整体理解不够，导致学生以知识获取为主，对学科核心思想思考的不够；教师对课时教学改进多，对单元整体性设计研究不够，导致学生获取知识再现为主，关注迁移解决新问题不够.新课标在“教学建议”中也指出：数学活动经验的积累是提高学生核心素养的重要标志.
我们知道，数学知识系统之间往往是关联的，数学材料的逻辑组织化，不仅仅停留在不同的局部内容的逻辑组织，还需要通过逻辑构建，建立不同的局部知识系统之间的关联，把已经建立的知识系统及其学习经验运用于新的内容的学习中，类比是建立类似的知识系统之间的关联的纽带.
对三角形的研究思路整理可以知道，我们先从一般的三角形开始研究其性质，了解其要素及相关要素，再研究这些要素及相关要素之间的关系，谓之性质；然后再研究一些特殊的三角形，如等腰三角形，直角三角形，体现出从一般到特殊的数学思想，在研究任何一种特殊的图形中，我们都研究了其性质及判定，并且性质与判定之间呈现出一种互逆的关系，所以研究判定我们只要写出性质的逆命题加以证明即可，这点在勾股定理及其逆定理中加以明示，这些都是研究一个图形的套路与方法. 而在平行四边形中延续了这种思路与方法，如我们研究平行四边形，再研究特殊的平行四边形，即矩形，菱形，正方形，研究任何一种特殊的四边形时，都研究其性质与判定，且都遵循着这种互逆的方式.这体现了平面几何研究的系统性与整体性.
本节课中，通过回顾整理三角形的研究历程，发现研究图形过程的共性，进而类比得出平行四边形研究的思路与方法，通过类比旧知识的活动经验，得出研究图形的思路与方法，整个过程，运用类比思想，学生完全自主构建，教师做引导者和合作者.在最后的小结中，教师通过循循善诱，引导学生将边，角分别进行特殊化，从而构建出本章的知识体系，对提高学生系统地思考问题的能力起到很好的引导作用.
（二）推理是数学的核心素养之一
数学的核心素养，必须体现数学学科的本质，体现数学学科本质的无疑是数学的基本思想：抽象、推理和模型，这三种基本思想涵盖了数学的产生与发展.另外，数学的三大特征：高度的抽象性、逻辑的严谨性和广泛的应用性，与三种基本数学思想高度对应.因而，三大基本数学思想在数学发展历程中起着关键的核心作用，在教学中应时刻关注这三大核心数学素养的发展.
在本节课的教学中，对平行四边形的性质的研究，教师没有采用以往通过“实验、观察、猜想、论证”的步骤进行，而是通过直接通过“观察猜想，论证”两个步骤得出其性质，这是实现从“实验几何”到“论证几何”的进步.在八年级上册之前，学生对逻辑推理的经验还需要通过实验几何进行猜想，而此时，学生通过了大量逻辑推理训练，已经具备论证推理的基础，也可以说，平行四边形的性质的得出是实验几何与论证几何的分界线，从此，学生基本告别实验来推理，而进入论证推理的时代.同时，将论证几何的方法进一步应用到本章特殊的平行四边形的研究中，多次的重复的巩固应用，将论证推理的思想方法进一步内化，形成一种习惯，即是核心数学素养所需要的.
（三）构建知识网络，整体设计教学
在整体教学、系统逻辑构建的教学思想下，先引导学生立足整体内容提出问题，规划研究的思路和方法，制订研究计划，然后，完成研究内容.在这种整体逻辑构建的教学设计中，是先有整体视野，聚焦数学观念和思想方法，再根据需要对各种子问题进行研究，可以给学生宏观的数学视野，在见森林的基础上再见树木，这符合大脑信息加工的从整体到部分、从粗略到精细、从定性到定量的规律.
在平行四边形的教学中，利用小结的契机，对平行四边形的整章的内容加以展望，利用系统性思维，对平行四边形的两大要素，即边和角进行特殊化，再对边角同时特殊化，得出今后研究的内容与方向，初步形成了本章的知识框架，从而对本章的知识概貌有了初步的認识，这种认识对整体性了解本章知识起到了重要的作用，使得在以后的学习中有了方向，对平行四边形整块研究的内容构建了网络，从而做到心中有数.
整体把握知识之间的内在联系，构建知识网络，不仅能深化对每个部分的理解和应用，而且还能从中提炼出数学思想，这样的学习方式，不仅有助于掌握知识、技能和方法，提升学习效率，而且加深了数学中通性通法的认识，提升学生学习和研究数学的水平，提升数学思维的能力.同时，也是发展学生核心素养的必要举措.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]吴增生.用数学发展思维——基于脑、适于脑、发展脑的数学教学策略[M].南昌：江西教育出版社，2016：151-157.
[3]章建跃.使学生在逻辑连贯的学习过程中学会思考[J].数学通报，2013（6）：5-8.
[4]王杰航.“旋转（第1课时）”教学设计[J].中国数学教育，2014（12）：33-38.