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【摘 要】 分部积分法是不定积分方法当中很重要的一种计算方法.本文对不定积分的被积函数的构造作了三种形式的分类,并分别进行了探求解答,特别对于第二种形式下的积分还总结出了规律,并提出了许多变式形式的反思.
【关键词】 分部积分 凑微分
分部积分法是不定积分方法中的一种间接积分方法,它主要是利用分部积分公式 udv = uv- vdu,来求解不定积分 udv.
1. 如果u = x2,v = x,则I = udv = x2dx = x2•x -xd(x2) = x3 -x(x2)′dx = x3 - 2 x2dx = x3 - 2I,故I =x2dx = + c.
嗨!何必多此一举,利用直接积分法不也能求出 x2dx = + c吗?
但是,如果u =,v = x,那么对于dx显然不能直接积分. 再用分部积分法试一试吧!
I =dx = x- xd=
x - x• dx=
x - dx =
x -dx +dx =
x- I + arcsin x.
I = dx =x+arcsin x + c.
成功了!类似地,还可以解 ln xdx, arctan xdx,等等.
2. 如果u = f(x)•g(x),v = x且f(x)与g(x)是两个不同的基本初等函数,怎么求 f(x)•g(x)dx呢?
我们知道基本初等函数有幂函数､指数函数､对数函数､三角函数､反三角函数,在这五类中任取两类,将它们的乘积作为被积函数去求不定积分,则有以下10种类型的不定积分:
(1) x•exdx;(2)x•cos xdx;(3)x•ln xdx;
(4)x•arctan xdx;(5) ex cosx dx;(6)ex ln xdx;
(7) ex arctan xdx;(8)ln x•cos xdx;
(9) ln x •arctan xdx;(10) sin x•arctan xdx.
下面逐一进行探求:
(1) 求 x•ex dx.
x•ex dx = ex d(x2) =exx2 - x2exdx.
上式中 x2exdx的被积函数中的x2的幂指数比要求的 x•exdx的被积函数中的x的幂指数高了一次. 如果继续采用“先凑幂函数的微分,后用分部积分公式的方法”,尽管没有错,但仍然求不出结果,即被积函数的原函数不能表示为初等函数.
再换一条路子尝试一下:
x•exdx =xd(ex) = x•ex - exdx = x•ex - ex + c. 解此类型的题归结为“幂指凑指”,即当不定积分的被积函数是由幂函数与指数函数的乘积构成时,可以先凑指数函数的微分,然后再利用分部积分公式.
反思一 求 xnexdx,(n∈N).
I(n)= xnexdx= xnd(ex)=xnex-n xn-1exdx = xnex-n•I•(n-1),得出递推公式.
反思二 求 x-1exdx.
x -1exdx =d(ex) = - exd= + dx = +x-2exdx,x -1exdx 中的被积函数看似简单却求不出结果.
反思三 求 x•eaxdx,a∈R.
当a = 0时, x•eaxdx = xdx = + c;
当a ≠ 0时, x•eaxdx = xd(eax) =x•eax - eaxdx =x•eax - eaxd(ax) =x•eax -eax + c.
综上所述, x•eaxdx = + c,a = 0; x•eax -eax + c,a ≠ 0.
反思四 求 xneaxdx,n∈N,a∈R.
仿照反思三,可以求出结果.
(2) 求 x•cos xdx.
与(1)的求法类似,若将x•cos x中的幂函数x先凑微分,必积不出结果,故 x•cos xdx =xd(sin x)= x•sin x - sin xdx = x•sin x + cos x + c.
总结规律:“幂三凑三”.
反思一:求 xn cos xdx(n∈N),解略.
反思二:求 x-1 cos xdx,求不出结果.
反思三:求 x•cos(ax)dx(a∈R),解略.
反思四:求 x•sin xdx,解略.
反思五:求 x•sec xdx,不可解.
反思六:求 x•sec2 xdx,解略.
反思七:求 x•sec2n xdx,n∈N,解略.
反思八:求 x•cos2 xdx,解略.
反思九:求 x•cosn xdx(n∈N),解略.
(3)求 x•ln xdx.
因为ln x无法凑微分,故只能这样解
x•ln xdx = ln xd(x2) =x2 ln x - x2d(ln x) =x2 ln x - x2• dx =x2 ln x -x2 + c.
规律:“幂对凑幂”.
反思一:求 x-1 ln xdx.
反思二:求 x-2 ln xdx.
x-2 ln xdx = - ln xd= - +dx = - + c.
反思三:求 xlnxdx,解略.
反思四:求 x-n ln xdx (n∈N),解略.
反思五:求 x•ln (ax)dx(a > 0),解略.
反思六:求 x(ln x)ndx(n∈N),解略.
(4)求 x•arctan xdx.
因为arctan x很难凑微分,只有对被积函数中的幂函数x凑微分,故有 x•arctan xdx = arctan xd(x2) =x2 arctan x -dx =x2arctan x - 1 -dx =x2 arctan x -x +arctan x + c.
规律:“幂反凑幂”.
反思一:求 xn arctan xdx,(n∈N),解略.
反思二:求 x-1 arctan xdx,解不出结果.
反思三:求 x(arctan x)2dx,解略.
反思四:求 x(arctan x)3dx,解不出结果.
反思五:求 x•arcatan xdx,解略.
(5)求 ex cos xdx.
始终如一地对ex凑微分,则有
I =cos xd(ex) = ex cos x - exd(cos x) = ex cos x +ex sin xdx = ex cos x + sin xd(ex) = ex cos x + ex sin x -exd sin x = ex cos x + ex sin x - ex cos xdx = ex cos x + ex sin x - I,I =ex(sin x + cos x) + c.
若始终如一地对三角函数凑微分,也同样可以求出I =ex(sin x + cos x) + c.
故总结出规律:“指三任(意)凑”.
反思一:求 eax cos xdx(a∈R),解略.
反思二:求 2x cos xdx,解略.
反思三:求 ex cos(ax)dx(a∈R),解略.
反思四:求 ex sin xdx,解略.
反思五:求 ex cosn xdx(n∈N),解略.
分别探求(6),(7),(8),(9),(10),都求不出结果!
3. 在 udv中,如果u = f(x)•g(x)•h(x),v = x,且f(x),g(x),h(x)是两两互不相同的基本初等函数. 如何求f(x)•g(x)•h(x)dx呢?
由前面2中的分析可知,在幂函数､指数函数､对数函数､三角函数､反三角函数中任取3类函数构成初等函数,共有10种不同类型的表达式,经过探索计算后,得出结论:这10种不同类型的表达式当中,只有其中一种类型的表达式作为被积函数来求不定积分才是可以求出结果的,它就是 xex cos xdx.
经过复杂的运算之后,终于求出:
xex cos xdx =ex cos x +ex(x - 1)sin x + c.
【参考文献】
[1] 冯翠莲. (工程数学)新编经济数学基础. 北京:北京大学出版社,2005.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】 分部积分 凑微分
分部积分法是不定积分方法中的一种间接积分方法,它主要是利用分部积分公式 udv = uv- vdu,来求解不定积分 udv.
1. 如果u = x2,v = x,则I = udv = x2dx = x2•x -xd(x2) = x3 -x(x2)′dx = x3 - 2 x2dx = x3 - 2I,故I =x2dx = + c.
嗨!何必多此一举,利用直接积分法不也能求出 x2dx = + c吗?
但是,如果u =,v = x,那么对于dx显然不能直接积分. 再用分部积分法试一试吧!
I =dx = x- xd=
x - x• dx=
x - dx =
x -dx +dx =
x- I + arcsin x.
I = dx =x+arcsin x + c.
成功了!类似地,还可以解 ln xdx, arctan xdx,等等.
2. 如果u = f(x)•g(x),v = x且f(x)与g(x)是两个不同的基本初等函数,怎么求 f(x)•g(x)dx呢?
我们知道基本初等函数有幂函数､指数函数､对数函数､三角函数､反三角函数,在这五类中任取两类,将它们的乘积作为被积函数去求不定积分,则有以下10种类型的不定积分:
(1) x•exdx;(2)x•cos xdx;(3)x•ln xdx;
(4)x•arctan xdx;(5) ex cosx dx;(6)ex ln xdx;
(7) ex arctan xdx;(8)ln x•cos xdx;
(9) ln x •arctan xdx;(10) sin x•arctan xdx.
下面逐一进行探求:
(1) 求 x•ex dx.
x•ex dx = ex d(x2) =exx2 - x2exdx.
上式中 x2exdx的被积函数中的x2的幂指数比要求的 x•exdx的被积函数中的x的幂指数高了一次. 如果继续采用“先凑幂函数的微分,后用分部积分公式的方法”,尽管没有错,但仍然求不出结果,即被积函数的原函数不能表示为初等函数.
再换一条路子尝试一下:
x•exdx =xd(ex) = x•ex - exdx = x•ex - ex + c. 解此类型的题归结为“幂指凑指”,即当不定积分的被积函数是由幂函数与指数函数的乘积构成时,可以先凑指数函数的微分,然后再利用分部积分公式.
反思一 求 xnexdx,(n∈N).
I(n)= xnexdx= xnd(ex)=xnex-n xn-1exdx = xnex-n•I•(n-1),得出递推公式.
反思二 求 x-1exdx.
x -1exdx =d(ex) = - exd= + dx = +x-2exdx,x -1exdx 中的被积函数看似简单却求不出结果.
反思三 求 x•eaxdx,a∈R.
当a = 0时, x•eaxdx = xdx = + c;
当a ≠ 0时, x•eaxdx = xd(eax) =x•eax - eaxdx =x•eax - eaxd(ax) =x•eax -eax + c.
综上所述, x•eaxdx = + c,a = 0; x•eax -eax + c,a ≠ 0.
反思四 求 xneaxdx,n∈N,a∈R.
仿照反思三,可以求出结果.
(2) 求 x•cos xdx.
与(1)的求法类似,若将x•cos x中的幂函数x先凑微分,必积不出结果,故 x•cos xdx =xd(sin x)= x•sin x - sin xdx = x•sin x + cos x + c.
总结规律:“幂三凑三”.
反思一:求 xn cos xdx(n∈N),解略.
反思二:求 x-1 cos xdx,求不出结果.
反思三:求 x•cos(ax)dx(a∈R),解略.
反思四:求 x•sin xdx,解略.
反思五:求 x•sec xdx,不可解.
反思六:求 x•sec2 xdx,解略.
反思七:求 x•sec2n xdx,n∈N,解略.
反思八:求 x•cos2 xdx,解略.
反思九:求 x•cosn xdx(n∈N),解略.
(3)求 x•ln xdx.
因为ln x无法凑微分,故只能这样解
x•ln xdx = ln xd(x2) =x2 ln x - x2d(ln x) =x2 ln x - x2• dx =x2 ln x -x2 + c.
规律:“幂对凑幂”.
反思一:求 x-1 ln xdx.
反思二:求 x-2 ln xdx.
x-2 ln xdx = - ln xd= - +dx = - + c.
反思三:求 xlnxdx,解略.
反思四:求 x-n ln xdx (n∈N),解略.
反思五:求 x•ln (ax)dx(a > 0),解略.
反思六:求 x(ln x)ndx(n∈N),解略.
(4)求 x•arctan xdx.
因为arctan x很难凑微分,只有对被积函数中的幂函数x凑微分,故有 x•arctan xdx = arctan xd(x2) =x2 arctan x -dx =x2arctan x - 1 -dx =x2 arctan x -x +arctan x + c.
规律:“幂反凑幂”.
反思一:求 xn arctan xdx,(n∈N),解略.
反思二:求 x-1 arctan xdx,解不出结果.
反思三:求 x(arctan x)2dx,解略.
反思四:求 x(arctan x)3dx,解不出结果.
反思五:求 x•arcatan xdx,解略.
(5)求 ex cos xdx.
始终如一地对ex凑微分,则有
I =cos xd(ex) = ex cos x - exd(cos x) = ex cos x +ex sin xdx = ex cos x + sin xd(ex) = ex cos x + ex sin x -exd sin x = ex cos x + ex sin x - ex cos xdx = ex cos x + ex sin x - I,I =ex(sin x + cos x) + c.
若始终如一地对三角函数凑微分,也同样可以求出I =ex(sin x + cos x) + c.
故总结出规律:“指三任(意)凑”.
反思一:求 eax cos xdx(a∈R),解略.
反思二:求 2x cos xdx,解略.
反思三:求 ex cos(ax)dx(a∈R),解略.
反思四:求 ex sin xdx,解略.
反思五:求 ex cosn xdx(n∈N),解略.
分别探求(6),(7),(8),(9),(10),都求不出结果!
3. 在 udv中,如果u = f(x)•g(x)•h(x),v = x,且f(x),g(x),h(x)是两两互不相同的基本初等函数. 如何求f(x)•g(x)•h(x)dx呢?
由前面2中的分析可知,在幂函数､指数函数､对数函数､三角函数､反三角函数中任取3类函数构成初等函数,共有10种不同类型的表达式,经过探索计算后,得出结论:这10种不同类型的表达式当中,只有其中一种类型的表达式作为被积函数来求不定积分才是可以求出结果的,它就是 xex cos xdx.
经过复杂的运算之后,终于求出:
xex cos xdx =ex cos x +ex(x - 1)sin x + c.
【参考文献】
[1] 冯翠莲. (工程数学)新编经济数学基础. 北京:北京大学出版社,2005.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”