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【摘要】用好课本习题是轻负高质、废止题海战术、提高中考复习效率的有效方法.本文笔者选取一道“三年知识一题统领”的课本习题，通过几种演变训练，唤起学生对三年来所学数学知识的系统回顾，灵活综合利用数学知识解决问题，凸显数学思考，提高数学素养.
【关键词】融会贯通； 知识整合； 能力； 思维； 数学思考； 素养【中图分类号】G426 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）21-0267-02
课本例题习题是经过筛选的题目之精华，潜力大，功效多.为减轻学生“铺天盖地”的试卷作业负担，克服老师“好题”讲不完的负担，用好课本习题是轻负高质、废止题海战术、提高复习效率的有效方法.在中考复习教学中，教师要以教材为重点，摸透教材，对一些典型性和示范性的例习题进行适当地、全面地剖析，通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，帮助学生将分散的、零碎的三年知识进行系统整理，把所有知识串成一线，使课本知识有效地浓缩，加深知识的理解与内化，融会贯通，克服思维定势，发散学生思维，更重要的是可以激活学生强烈的求知欲和学习积极性.“三年知识一题统领”， 让学生体验到数学习题的千变万化，万变不离其宗.下面以一道课本习题予以剖析：
（原题展示）如图（1），分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG.求证：BG=CE.
【剖析】本题源于浙教版八下课本第147页作业题第3题，考查正方形、三角形全等的知识，使学生掌握几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能.笔者根据此题作出以下演变来回顾初中三年的知识：
1內外图形不变，增加探索结论
题1
（1）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想.
（2）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？
（3）EC与BG交于点M，EC与AB交于点N，如图（2），求证：AN·BN=EN·MN
（4）若AB=11，AC=7，连结EG，求BC2+EG2的值.
【剖析】本题在图形和条件不变下探索新结论，（1）复习线段或直线的位置关系及其垂直的证明；（2）复习图形变换的识别及其表述；（3）把线段的乘积形式转化为比例形式，从而利用三角形相似予以证明；（4）连接AB、GC，运用勾股定理知识，渗透了转化思想，使学生经历获得通过观察、猜想到验证的解决问题方法.
2外围图形旋转，渗透运动观点
题2
（1）若线段BC取消，将正方形ACFG绕点A逆时针方向旋转，使AG与AE重合时如图（3），原来BG与CE关系的两个结论是否成立？
（2）继续将正方形ACFG绕点A逆时针方向旋转，如图（4），上述两个结论是否成立？
（3）如图（4），连结DF，求CE：DF：BG的值.
（4）将题中正方形改为矩形如图（5）-（7），且BD=a，AB=b，AC=ka，AG=kb（a≠b，k>0），第（2）小题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图（6）为例简要说明理由.
【剖析】本题让条件与图形“动”起来，形成“一图多变”的系列化问题，克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维，揭示利用全等和相似知识证明的本质，由全等到相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，培养学生用运动变换的观点和由特殊图形到一般图形去观察、研究几何图形的性质，熟练地应用知识和技能，准确把握解题方向，培养学生思维的准确性.
3外围图形演变，挖掘内在联系
题3
（1）如图（8）-（10），在ΔABC中，分别以AB，AC为边，向ΔABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O.
①如图（8），求证：ΔABE≌ADC；
②探究：如图（8），∠BOC=；如图（9），∠BOC=；
如图（10），∠BOC=.
（2）如图（11），已知是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边.的延长相交于点.
①猜想：如图（11），∠BOC=°（用含的式子表示）；
②根据图（11）证明你的猜想.
【剖析】本题把向外作正方形改为正三角形、正五边形……正边形，但本质还是通过证明，万变不离其宗，使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力.（2）的证明可以通过三角形、四边形内角和知识进行多种方法探究，培养学生发散思维.
4内外图形的演变，凸显数学思考
题4 如图（12），在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE和BCF.
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当△ABC满足什么条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在？
【剖析】本题改为由三边在边一侧向外作正三角形，回顾平行四边形、矩形、菱形以及三角形等知识.培养学生分析问题和综合运用知识解决问题的能力；（2）根据结论探索条件，渗透运动观点，培养学生总结归纳能力和逆向思维，第③容易误解为“ABC为正三角形”，这里运用圆周角的知识，正确答案为“∠BAC=60°”，体现思维的严密性和全面性.
5外围图形面积探究，体会数形结合
题5
（1）在直线l上依次摆放着七个正方形如图（13），斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=. （2）如图（14），△ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、BCE和ACF.
①当△ABC是Rt△时，写出外围三个三角形的面积关系；
②当△ABC是正三角形时，写出外围三个三角形的面积关系；
③当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你探索S△ABC、S△ABD、S△BCE和S△ACF的数量关系.
【剖析】本题探索外围三个图形或四个图形的面积关系，充分渗透数形结合思想和转化思想.启发学生在复杂的图形中寻找基本图形，利用基本图形解题，培养图形识别和观察能力，提高学生解决问题能力.
6外围图形的滚动，树立分类思想
题6
（1）如图（15），等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置，沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了圈.
（2）如图（16），正三角形ABC的边长为63，⊙O的半径为r，当圆心O从点A出发，沿着线路AB-BC-CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.
①若r=3，求⊙O首次与BC边相切时，AO的长；
②在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数；
③设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部、⊙O未经过的部分的面积为S，在S>0时，求S关于r的函数解析式，并写出自变r的取值范围.
【剖析】本题把外围静止图形变为动态图形，（1）求自身的圈数，圆心经过的路线有两种情况；（2）是直线与圆的位置关系，渗透分类讨论思想.
7添加背景材料，注重知识整合
题7 如图（17），在Rt△ABC中，∠BAC=90°∠ACB=30°，BC=2，四边形ABDE和ACFG均为正方形.
（1）以点C为坐标原点，BC与x轴重合，画出直角坐标系，并求点E、F、G的坐标.
（2）在（1）的图形中，如果点A是一次函数y=12x+2 上的一个动点，点A运动到什么位置时，正方形ABCD和AOEF的面積和最小？最小面积是多少？
（3）在（2）的情况下，求经过A、B、O三点的抛物线的解析式.
【剖析】本题添加直角坐标系，与函数结合，既是代数与几何的综合题，又是动态的问题，充分运用数形结合和建立函数模型求面积和的最小值，训练学生对知识的灵活和综合运用，同时要求学生画图，培养学生动手操作能力.
感悟与反思
在中考复习中，以一道课本习题为载体，通过这一系列的变式训练，复习了初中三年的全部知识，《标准》和《细则》所规定的能力、思维要求都得到培养，数形结合、分类、转化、建模、方程等多种数学思想方法得到了渗透，多种解题方法也得到训练，这样的一道题目就能够完成中考复习.
具有较强代表性和典型性的教材例习题或中考题是数学问题的精华，是中考复习选题的重点，教师要善于“借题发挥”，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的情况下变式，添加探索结论；改变条件；改变问题形式；图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；添加背景材料……，加深对学过的知识的理解与内化，使知识达到融会贯通，在知识网络的交汇点设计试题，渗透多种数学思想方法，整合思维模式，培养学生复合思维，真正理解数学，揭示数学的本质，凸显数学思考，提高数学素养，走出题海战术，真正做到轻负高质.同时对激发学生复习的兴趣，培养学生良好的思考习惯和思维品质，增强学生应考心理的稳定性有很好的作用.
参考文献
[1]郭思乐 《教育走向生本》 人民教育出版社 2001年6月版
[2]史宁中. 《数学课程标准解读（2011版）》 北京师范大学出版社 2012
[3]《2012年杭州市各类高中招生文化考试命题实施细则》 杭州市普通教育教研室编 2012年1月
[4]胡余建 《初中数学教例剖析与教案研制》 广西教育出版社 2005年1月版
【关键词】融会贯通； 知识整合； 能力； 思维； 数学思考； 素养【中图分类号】G426 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）21-0267-02
课本例题习题是经过筛选的题目之精华，潜力大，功效多.为减轻学生“铺天盖地”的试卷作业负担，克服老师“好题”讲不完的负担，用好课本习题是轻负高质、废止题海战术、提高复习效率的有效方法.在中考复习教学中，教师要以教材为重点，摸透教材，对一些典型性和示范性的例习题进行适当地、全面地剖析，通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，帮助学生将分散的、零碎的三年知识进行系统整理，把所有知识串成一线，使课本知识有效地浓缩，加深知识的理解与内化，融会贯通，克服思维定势，发散学生思维，更重要的是可以激活学生强烈的求知欲和学习积极性.“三年知识一题统领”， 让学生体验到数学习题的千变万化，万变不离其宗.下面以一道课本习题予以剖析：
（原题展示）如图（1），分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG.求证：BG=CE.
【剖析】本题源于浙教版八下课本第147页作业题第3题，考查正方形、三角形全等的知识，使学生掌握几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能.笔者根据此题作出以下演变来回顾初中三年的知识：
1內外图形不变，增加探索结论
题1
（1）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想.
（2）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？
（3）EC与BG交于点M，EC与AB交于点N，如图（2），求证：AN·BN=EN·MN
（4）若AB=11，AC=7，连结EG，求BC2+EG2的值.
【剖析】本题在图形和条件不变下探索新结论，（1）复习线段或直线的位置关系及其垂直的证明；（2）复习图形变换的识别及其表述；（3）把线段的乘积形式转化为比例形式，从而利用三角形相似予以证明；（4）连接AB、GC，运用勾股定理知识，渗透了转化思想，使学生经历获得通过观察、猜想到验证的解决问题方法.
2外围图形旋转，渗透运动观点
题2
（1）若线段BC取消，将正方形ACFG绕点A逆时针方向旋转，使AG与AE重合时如图（3），原来BG与CE关系的两个结论是否成立？
（2）继续将正方形ACFG绕点A逆时针方向旋转，如图（4），上述两个结论是否成立？
（3）如图（4），连结DF，求CE：DF：BG的值.
（4）将题中正方形改为矩形如图（5）-（7），且BD=a，AB=b，AC=ka，AG=kb（a≠b，k>0），第（2）小题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图（6）为例简要说明理由.
【剖析】本题让条件与图形“动”起来，形成“一图多变”的系列化问题，克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维，揭示利用全等和相似知识证明的本质，由全等到相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，培养学生用运动变换的观点和由特殊图形到一般图形去观察、研究几何图形的性质，熟练地应用知识和技能，准确把握解题方向，培养学生思维的准确性.
3外围图形演变，挖掘内在联系
题3
（1）如图（8）-（10），在ΔABC中，分别以AB，AC为边，向ΔABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O.
①如图（8），求证：ΔABE≌ADC；
②探究：如图（8），∠BOC=；如图（9），∠BOC=；
如图（10），∠BOC=.
（2）如图（11），已知是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边.的延长相交于点.
①猜想：如图（11），∠BOC=°（用含的式子表示）；
②根据图（11）证明你的猜想.
【剖析】本题把向外作正方形改为正三角形、正五边形……正边形，但本质还是通过证明，万变不离其宗，使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力.（2）的证明可以通过三角形、四边形内角和知识进行多种方法探究，培养学生发散思维.
4内外图形的演变，凸显数学思考
题4 如图（12），在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE和BCF.
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当△ABC满足什么条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在？
【剖析】本题改为由三边在边一侧向外作正三角形，回顾平行四边形、矩形、菱形以及三角形等知识.培养学生分析问题和综合运用知识解决问题的能力；（2）根据结论探索条件，渗透运动观点，培养学生总结归纳能力和逆向思维，第③容易误解为“ABC为正三角形”，这里运用圆周角的知识，正确答案为“∠BAC=60°”，体现思维的严密性和全面性.
5外围图形面积探究，体会数形结合
题5
（1）在直线l上依次摆放着七个正方形如图（13），斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=. （2）如图（14），△ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、BCE和ACF.
①当△ABC是Rt△时，写出外围三个三角形的面积关系；
②当△ABC是正三角形时，写出外围三个三角形的面积关系；
③当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你探索S△ABC、S△ABD、S△BCE和S△ACF的数量关系.
【剖析】本题探索外围三个图形或四个图形的面积关系，充分渗透数形结合思想和转化思想.启发学生在复杂的图形中寻找基本图形，利用基本图形解题，培养图形识别和观察能力，提高学生解决问题能力.
6外围图形的滚动，树立分类思想
题6
（1）如图（15），等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置，沿等边三角形的三边做无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了圈.
（2）如图（16），正三角形ABC的边长为63，⊙O的半径为r，当圆心O从点A出发，沿着线路AB-BC-CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.
①若r=3，求⊙O首次与BC边相切时，AO的长；
②在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数；
③设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部、⊙O未经过的部分的面积为S，在S>0时，求S关于r的函数解析式，并写出自变r的取值范围.
【剖析】本题把外围静止图形变为动态图形，（1）求自身的圈数，圆心经过的路线有两种情况；（2）是直线与圆的位置关系，渗透分类讨论思想.
7添加背景材料，注重知识整合
题7 如图（17），在Rt△ABC中，∠BAC=90°∠ACB=30°，BC=2，四边形ABDE和ACFG均为正方形.
（1）以点C为坐标原点，BC与x轴重合，画出直角坐标系，并求点E、F、G的坐标.
（2）在（1）的图形中，如果点A是一次函数y=12x+2 上的一个动点，点A运动到什么位置时，正方形ABCD和AOEF的面積和最小？最小面积是多少？
（3）在（2）的情况下，求经过A、B、O三点的抛物线的解析式.
【剖析】本题添加直角坐标系，与函数结合，既是代数与几何的综合题，又是动态的问题，充分运用数形结合和建立函数模型求面积和的最小值，训练学生对知识的灵活和综合运用，同时要求学生画图，培养学生动手操作能力.
感悟与反思
在中考复习中，以一道课本习题为载体，通过这一系列的变式训练，复习了初中三年的全部知识，《标准》和《细则》所规定的能力、思维要求都得到培养，数形结合、分类、转化、建模、方程等多种数学思想方法得到了渗透，多种解题方法也得到训练，这样的一道题目就能够完成中考复习.
具有较强代表性和典型性的教材例习题或中考题是数学问题的精华，是中考复习选题的重点，教师要善于“借题发挥”，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的情况下变式，添加探索结论；改变条件；改变问题形式；图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；添加背景材料……，加深对学过的知识的理解与内化，使知识达到融会贯通，在知识网络的交汇点设计试题，渗透多种数学思想方法，整合思维模式，培养学生复合思维，真正理解数学，揭示数学的本质，凸显数学思考，提高数学素养，走出题海战术，真正做到轻负高质.同时对激发学生复习的兴趣，培养学生良好的思考习惯和思维品质，增强学生应考心理的稳定性有很好的作用.
参考文献
[1]郭思乐 《教育走向生本》 人民教育出版社 2001年6月版
[2]史宁中. 《数学课程标准解读（2011版）》 北京师范大学出版社 2012
[3]《2012年杭州市各类高中招生文化考试命题实施细则》 杭州市普通教育教研室编 2012年1月
[4]胡余建 《初中数学教例剖析与教案研制》 广西教育出版社 2005年1月版