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数学教学要实现学生课堂的“真学习”，就要落实学生为中心的教学观念。“循环-差异教学”课堂结构中的三轮循环学习，为课堂以学生为中心的建立提供充分的保障。“个体自学”给学生充分的学习时间和空间，教师领导课堂，对学生的学习进行有针对性的指导；“同伴互导”学习小组就刚学过的知识进行沟通，各自说出对所学知识的认识、学习的思路、自己的想法，形成小组对习得结果的统一认识；“教师解难”则将学生的认识向高层次推进，对学生所学的知识进行总结和归纳，以利于学生同化或顺应新知识。
“循环-差异教学”的数学课堂能最大限度地让每位学生投入学习，让更多的学生经历真正的学习。传统的班级课堂教学，教师围绕着知识进行讲授，无暇顾及对学生的学习管理，导致部分学生人在心不在。课堂被奴化为弱智的形式，数学思想、数学素养烟消云散。因此解决班级教学中每个学生个体的差异学习，让每个学生的思维都能得到真发展，是数学课堂发展的关键所在。基于标准的“循环-差异教学”以教师精心准备的学案为载体，给出学生课堂学习的具体任务及完成任务具体操作方案，依靠学生个体自学、同伴讨论、教师讲解等多种方式，让学生获得知识和方法，然后再依靠自主学习、自我反思和在教师或同伴帮助下的自我评价，实现对获得信息的感知，由教师的教到学生的学，由学生的学到学会知识，开创性地实现课本知识到有个性思想的个体知识的两次信息转换。教师编写“循环-差异教学”的学案，要对照课程标准中的相关要求，应用课程标准分解技术，确定所学课时内容的学习目标，在设定至少三分之二的学生能实现共同目标的基础上，通过个体学习、同伴互导、教师释疑解难等三次整体的循环学习，以及练习检测和课外的补充学习，实现有差异的个性化学习，最大限度地使每个学生课堂的“真学习”得以实现。
现以苏科版数学七年级10.3解二元一次方程组（2）为例，来说明基于标准的“循环-差异教学”的“真学习”是如何在数学课堂中得到有效落实的。
一、科学地确定学习目标
本节课为《解二元一次方程组》新授课第二课时，内容分为两个部分，第一部分是理解加减消元法，第二部分是用加减消元法解二元一次方程组。本课的学习包括以下几点：1.发现加减消元法；2.尝试认识加减消元法；3.理解加减消元法；4.会用加减消元法解二元一次方程组。
本节课是在学生已经学习过用代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种解二元一次方程组的方法——加减消元法。通过上节课的学习，学生知道解二元一次方程组的基本思路，即首先把“二元”转化为“一元”，其次解一元一次方程，进而实现解二元一次方程组的目标。本节课学生学习的重点应放在用加减消元法把“二元”转化为“一元”上，而把方程先做适当变形再进行加减消元应当是学习的重点和难点。
《义务教育数学课程标准》明确指出，掌握加减消元法，能解二元一次方程组。我们对本节课所涉及的课程标准要求作如下分解：
在此基础上，结合以上教材分析、学情分析及教学经验，最后确定本课的学习目标：
1.通过小组讨论，理解加减消元法，会用加减消元法消元。
2.通过训练，能熟练运用加减消元法解二元一次方程组。
3.经历未知数系数转化与二元到一元转化的过程，进一步感受转化的数学思想。（见下表）
课堂上教师要求学生认真阅读目标定向，用有色笔圈画关键字、词，学生能初步理解目标，知晓本课需要完成的任务，经历的学习过程。这一环节安排教学时间要短，2分钟左右。学生首次接触学习目标，有初步的印象就行，教师不做更多的解释、补充，不搞形式主义，也不走过场，学生知晓本课的学习任务和目标，有的放矢才是目的。
二、三轮循环学习落实学习目标
首先个体自学部分由三个活动组成，这三个活动涵盖本节课的所有知识点，是学案的重要组成部分，三个活动紧紧围绕学习目标，密切联系、循序渐进，具有较强的可操作性，充分体现学生课堂的主体地位。
活动一知识回顾是这样安排的：第1题复习上节课代入消元法的概念，设计两个填空，第一空填“转化为解一元一次方程”；第二空填“代入消元法”。第2题用代入消元法解一个具体的二元一次方程组，但这个方程组中某个未知数（比如y）的系数必须设计成互为相反数，为后继的学习打下伏笔。这样安排的目的是复习解二元一次方程组的第一种方法——代入消元法，学生进一步明确解二元一次方程组的思路就是“消元”，把“二元”转化为“一元”，把“未知”转化为“已知”，为本课的学习做铺垫，落实目标3。
活动二观察、发现是这样安排的：观察上述二元一次方程组，两方程中未知数y的系数有什么关系？两方程相加得什么？这样做就达到消去什么的目的？让学生填空。同理，仅把上述方程组中未知数y的系数变化为相等。接着提出类似的问题：两方程中未知数y的系数有什么关系？两方程相减得什么？这样做就达到消去什么的目的？再让学生填空。然后得出结论：当方程组中的两个方程同一未知数的系数相等或互为相反数时，两方程可以直接相减或相加，达到消去这个未知数的目的。这样安排的目的是在活动一的基础上观察、发现“消元”的另一种方法，而且相同未知数系数设计的是互为相反数和相等的情况，易作手、便操作，落实目标1和目标3。
活动三尝试、理解是这样安排的：第1题就是课本101页例3，方程组中同一未知数的系数既不相等也不互为相反数，在学案中设计这样的问题让学生思考：如何消去y？如何设法使两个方程中未知数y的系数相等？请试一试。第2题就例3再提出问题：如何消去x？第3题在第1、2题学生达成共识的基础上班级分成两组分别完成解方程组的过程，以便相互交流。第4题是加减消元法的概念及用加减消元法解二元一次方程组的步骤，设计关键词填空。这样安排的目的是在活动二的基础上进一步尝试、理解加减消元法，这一活动中第1题与第2题是学生学习的重点和难点，这当然也是同伴互导的重点，教师解难的内容之一。第3题完整地用加减消元法解二元一次方程组，这也是很必要的。第4题得到概念、归纳步骤。整个活动三是个体自学的重要组成部分，旨在进一步落实目标1、目标2、目标3。 课堂上教师要保证学生有足够的个体自学时间，一般15分钟左右，营造学习氛围，认真督促巡视，收集学情。要关注全体学生特别是班级后三分之一学生，弄清他们的学习困难所在，进行有针对性的指导，发现有价值的新问题，为后继的教学提供资源。学生个体则对照课本独立进行学习，产生疑难及时做好标记，尽量不要相互讨论，避免相互干扰。
其次同伴互导阶段，教师围绕本课的学习目标提出讨论的重点：1.相同未知数的系数具备什么特征可直接加减消元？2.相同未知数的系数不同（或不互为相反数）时，应如何转化？3.用加减消元法解二元一次方程组主要步骤是什么？
课堂上同学之间相互帮助，相互启发，相互协调，取长补短，展示自我，获得自信；同时充分暴露学习中的问题与错误，生成有价值的问题，以便教师解难时主动向教师提出问题。同伴互导一般分为三个阶段：①组内一对一，一般是A类生与B类生、B类生与C类生间交流，不可以A类生与C类生间交流；②组内一对多，组长带领全组同学一起交流，力求形成共识；③以组为单位进行班级展示、互批。教师平时要加强学习小组的建设，明确各位组员的职责，设立小组共同目标，促进学生以小组为单位展开学习竞赛。同时要保证学生有足够的合作学习的时间，保证有真正的同伴互导，时间10分钟左右。
另外教师解难阶段，教师主要以解决在个体自学、同伴互导阶段教师发现的、学生生成的问题为主，拓展和推进学生对知识的认识层次，要有针对性；另外要抓住本课学习的重点、难点，适时归纳小结，析疑解难。教师解难应该采用启发式教学，对分析问题的思路、解决问题的方法不是和盘托出，而是精准点拨，学生此时则集中注意力听教师的讲解、同学的解答，准确理解及时记录重点内容，时间10分钟左右。
通过上述三轮的循环学习，即学生自己学、互相学、教师助学，学生必能最大限度地达成学习目标，实现学习的增值。这里要注意每一轮学习必须紧紧围绕目标，不能偏离目标。
三、练习检测评价学习目标达成度
练习检测的内容是这样安排的：第1题用加减消元法解二元一次方程组，设计这样三个小题——可以直接加减消元的、同一未知数系数必须先要转化为相等或互为相反数的、两个未知数字母相互错位的，当然，未知数字母也不局限于x和y。第2题设计一个选择题，用加减消元法解某个二元一次方程组，选项是：只能先消去未知数x、只能先消去未知数y、既可以先消去未知数x也可以先消去未知数y、以上说法都不对。这样安排的目的是紧扣学习目标，做到学什么、练什么、测什么，切实做到教、学、评的一致性。题1用加减消元法解二元一次方程组，落实目标1、目标2、目标3，突出本课学习重点。题2理解加减消元法，进一步落实目标1、目标3。
练习检测一般应当课内完成，时间7分钟左右，学生要认真独立完成检测内容，结束后和小组内同学，也可以在教师的组织下和全班同学核对答案，对本课目标达成情况有所反思，知晓存在的主要问题。一般情况下，练习检测完成后，教师应当再次展示学习目标，学生则对照目标评价自己的目标达成情况。
四、补充学习强化学习目标
本课补充学习的内容是这样安排的：第1题用加减消元法解二元一次方程组，把相同未知数的系数设计成既不相等也不互为相反数，而且通过两个方程直接相加、相减可以得到x y、
x - y的情形；第2题设计为已知两个代数式的绝对值的和等于零，求一个新代数式的值。这样安排的目的仍然是呼应学习目标，同时要区分托底要求与拓展提升，以适应一般与优秀两类学生的需求。第1题就是用加减消元法解二元一次方程组，应该是本节课的基本学习要求；其他方法本节课不宜多讲，让学生自己感悟，进一步加强通解通法的训练。题2实质还是解二元一次方程组，只是做一点适当的拓展，以适应较优秀学生的学习需求。
补充学习内容要体现一定的层次性，教师可适当安排提示或求助途径，将学生课内、课外学习进行联通与衔接，提高学生学习效率，提升学生学习质量。不同层次的学生可以有所取舍地完成这一内容。
“循环-差异教学”实施的主体是学生，只有学生成为课堂的主体，“循环-差异教学”才能得以有效实施，教师是学生课堂学习的服务者。要使学生真正成为课堂的主体，体现“在学习、真学习”，教师必须精心准备学案，以优质的学案为载体，构建课本与学生、学生与学生、教师与学生交流的桥梁，高效引领学生学习。劣质的学案只会使学生无效学习。所以教师备课时必须精心准备学案，同时严格按“循环-差异教学”安排课堂流程，进行课堂管理，分配课堂时间。这样做的最终目的是让更多的学生走出课堂时能达成学习目标，实现学习增值。
（滕卫军，淮安市淮安区教研室，223001）
责任编辑：颜莹
“循环-差异教学”的数学课堂能最大限度地让每位学生投入学习，让更多的学生经历真正的学习。传统的班级课堂教学，教师围绕着知识进行讲授，无暇顾及对学生的学习管理，导致部分学生人在心不在。课堂被奴化为弱智的形式，数学思想、数学素养烟消云散。因此解决班级教学中每个学生个体的差异学习，让每个学生的思维都能得到真发展，是数学课堂发展的关键所在。基于标准的“循环-差异教学”以教师精心准备的学案为载体，给出学生课堂学习的具体任务及完成任务具体操作方案，依靠学生个体自学、同伴讨论、教师讲解等多种方式，让学生获得知识和方法，然后再依靠自主学习、自我反思和在教师或同伴帮助下的自我评价，实现对获得信息的感知，由教师的教到学生的学，由学生的学到学会知识，开创性地实现课本知识到有个性思想的个体知识的两次信息转换。教师编写“循环-差异教学”的学案，要对照课程标准中的相关要求，应用课程标准分解技术，确定所学课时内容的学习目标，在设定至少三分之二的学生能实现共同目标的基础上，通过个体学习、同伴互导、教师释疑解难等三次整体的循环学习，以及练习检测和课外的补充学习，实现有差异的个性化学习，最大限度地使每个学生课堂的“真学习”得以实现。
现以苏科版数学七年级10.3解二元一次方程组（2）为例，来说明基于标准的“循环-差异教学”的“真学习”是如何在数学课堂中得到有效落实的。
一、科学地确定学习目标
本节课为《解二元一次方程组》新授课第二课时，内容分为两个部分，第一部分是理解加减消元法，第二部分是用加减消元法解二元一次方程组。本课的学习包括以下几点：1.发现加减消元法；2.尝试认识加减消元法；3.理解加减消元法；4.会用加减消元法解二元一次方程组。
本节课是在学生已经学习过用代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种解二元一次方程组的方法——加减消元法。通过上节课的学习，学生知道解二元一次方程组的基本思路，即首先把“二元”转化为“一元”，其次解一元一次方程，进而实现解二元一次方程组的目标。本节课学生学习的重点应放在用加减消元法把“二元”转化为“一元”上，而把方程先做适当变形再进行加减消元应当是学习的重点和难点。
《义务教育数学课程标准》明确指出，掌握加减消元法，能解二元一次方程组。我们对本节课所涉及的课程标准要求作如下分解：
在此基础上，结合以上教材分析、学情分析及教学经验，最后确定本课的学习目标：
1.通过小组讨论，理解加减消元法，会用加减消元法消元。
2.通过训练，能熟练运用加减消元法解二元一次方程组。
3.经历未知数系数转化与二元到一元转化的过程，进一步感受转化的数学思想。（见下表）
课堂上教师要求学生认真阅读目标定向，用有色笔圈画关键字、词，学生能初步理解目标，知晓本课需要完成的任务，经历的学习过程。这一环节安排教学时间要短，2分钟左右。学生首次接触学习目标，有初步的印象就行，教师不做更多的解释、补充，不搞形式主义，也不走过场，学生知晓本课的学习任务和目标，有的放矢才是目的。
二、三轮循环学习落实学习目标
首先个体自学部分由三个活动组成，这三个活动涵盖本节课的所有知识点，是学案的重要组成部分，三个活动紧紧围绕学习目标，密切联系、循序渐进，具有较强的可操作性，充分体现学生课堂的主体地位。
活动一知识回顾是这样安排的：第1题复习上节课代入消元法的概念，设计两个填空，第一空填“转化为解一元一次方程”；第二空填“代入消元法”。第2题用代入消元法解一个具体的二元一次方程组，但这个方程组中某个未知数（比如y）的系数必须设计成互为相反数，为后继的学习打下伏笔。这样安排的目的是复习解二元一次方程组的第一种方法——代入消元法，学生进一步明确解二元一次方程组的思路就是“消元”，把“二元”转化为“一元”，把“未知”转化为“已知”，为本课的学习做铺垫，落实目标3。
活动二观察、发现是这样安排的：观察上述二元一次方程组，两方程中未知数y的系数有什么关系？两方程相加得什么？这样做就达到消去什么的目的？让学生填空。同理，仅把上述方程组中未知数y的系数变化为相等。接着提出类似的问题：两方程中未知数y的系数有什么关系？两方程相减得什么？这样做就达到消去什么的目的？再让学生填空。然后得出结论：当方程组中的两个方程同一未知数的系数相等或互为相反数时，两方程可以直接相减或相加，达到消去这个未知数的目的。这样安排的目的是在活动一的基础上观察、发现“消元”的另一种方法，而且相同未知数系数设计的是互为相反数和相等的情况，易作手、便操作，落实目标1和目标3。
活动三尝试、理解是这样安排的：第1题就是课本101页例3，方程组中同一未知数的系数既不相等也不互为相反数，在学案中设计这样的问题让学生思考：如何消去y？如何设法使两个方程中未知数y的系数相等？请试一试。第2题就例3再提出问题：如何消去x？第3题在第1、2题学生达成共识的基础上班级分成两组分别完成解方程组的过程，以便相互交流。第4题是加减消元法的概念及用加减消元法解二元一次方程组的步骤，设计关键词填空。这样安排的目的是在活动二的基础上进一步尝试、理解加减消元法，这一活动中第1题与第2题是学生学习的重点和难点，这当然也是同伴互导的重点，教师解难的内容之一。第3题完整地用加减消元法解二元一次方程组，这也是很必要的。第4题得到概念、归纳步骤。整个活动三是个体自学的重要组成部分，旨在进一步落实目标1、目标2、目标3。 课堂上教师要保证学生有足够的个体自学时间，一般15分钟左右，营造学习氛围，认真督促巡视，收集学情。要关注全体学生特别是班级后三分之一学生，弄清他们的学习困难所在，进行有针对性的指导，发现有价值的新问题，为后继的教学提供资源。学生个体则对照课本独立进行学习，产生疑难及时做好标记，尽量不要相互讨论，避免相互干扰。
其次同伴互导阶段，教师围绕本课的学习目标提出讨论的重点：1.相同未知数的系数具备什么特征可直接加减消元？2.相同未知数的系数不同（或不互为相反数）时，应如何转化？3.用加减消元法解二元一次方程组主要步骤是什么？
课堂上同学之间相互帮助，相互启发，相互协调，取长补短，展示自我，获得自信；同时充分暴露学习中的问题与错误，生成有价值的问题，以便教师解难时主动向教师提出问题。同伴互导一般分为三个阶段：①组内一对一，一般是A类生与B类生、B类生与C类生间交流，不可以A类生与C类生间交流；②组内一对多，组长带领全组同学一起交流，力求形成共识；③以组为单位进行班级展示、互批。教师平时要加强学习小组的建设，明确各位组员的职责，设立小组共同目标，促进学生以小组为单位展开学习竞赛。同时要保证学生有足够的合作学习的时间，保证有真正的同伴互导，时间10分钟左右。
另外教师解难阶段，教师主要以解决在个体自学、同伴互导阶段教师发现的、学生生成的问题为主，拓展和推进学生对知识的认识层次，要有针对性；另外要抓住本课学习的重点、难点，适时归纳小结，析疑解难。教师解难应该采用启发式教学，对分析问题的思路、解决问题的方法不是和盘托出，而是精准点拨，学生此时则集中注意力听教师的讲解、同学的解答，准确理解及时记录重点内容，时间10分钟左右。
通过上述三轮的循环学习，即学生自己学、互相学、教师助学，学生必能最大限度地达成学习目标，实现学习的增值。这里要注意每一轮学习必须紧紧围绕目标，不能偏离目标。
三、练习检测评价学习目标达成度
练习检测的内容是这样安排的：第1题用加减消元法解二元一次方程组，设计这样三个小题——可以直接加减消元的、同一未知数系数必须先要转化为相等或互为相反数的、两个未知数字母相互错位的，当然，未知数字母也不局限于x和y。第2题设计一个选择题，用加减消元法解某个二元一次方程组，选项是：只能先消去未知数x、只能先消去未知数y、既可以先消去未知数x也可以先消去未知数y、以上说法都不对。这样安排的目的是紧扣学习目标，做到学什么、练什么、测什么，切实做到教、学、评的一致性。题1用加减消元法解二元一次方程组，落实目标1、目标2、目标3，突出本课学习重点。题2理解加减消元法，进一步落实目标1、目标3。
练习检测一般应当课内完成，时间7分钟左右，学生要认真独立完成检测内容，结束后和小组内同学，也可以在教师的组织下和全班同学核对答案，对本课目标达成情况有所反思，知晓存在的主要问题。一般情况下，练习检测完成后，教师应当再次展示学习目标，学生则对照目标评价自己的目标达成情况。
四、补充学习强化学习目标
本课补充学习的内容是这样安排的：第1题用加减消元法解二元一次方程组，把相同未知数的系数设计成既不相等也不互为相反数，而且通过两个方程直接相加、相减可以得到x y、
x - y的情形；第2题设计为已知两个代数式的绝对值的和等于零，求一个新代数式的值。这样安排的目的仍然是呼应学习目标，同时要区分托底要求与拓展提升，以适应一般与优秀两类学生的需求。第1题就是用加减消元法解二元一次方程组，应该是本节课的基本学习要求；其他方法本节课不宜多讲，让学生自己感悟，进一步加强通解通法的训练。题2实质还是解二元一次方程组，只是做一点适当的拓展，以适应较优秀学生的学习需求。
补充学习内容要体现一定的层次性，教师可适当安排提示或求助途径，将学生课内、课外学习进行联通与衔接，提高学生学习效率，提升学生学习质量。不同层次的学生可以有所取舍地完成这一内容。
“循环-差异教学”实施的主体是学生，只有学生成为课堂的主体，“循环-差异教学”才能得以有效实施，教师是学生课堂学习的服务者。要使学生真正成为课堂的主体，体现“在学习、真学习”，教师必须精心准备学案，以优质的学案为载体，构建课本与学生、学生与学生、教师与学生交流的桥梁，高效引领学生学习。劣质的学案只会使学生无效学习。所以教师备课时必须精心准备学案，同时严格按“循环-差异教学”安排课堂流程，进行课堂管理，分配课堂时间。这样做的最终目的是让更多的学生走出课堂时能达成学习目标，实现学习增值。
（滕卫军，淮安市淮安区教研室，223001）
责任编辑：颜莹