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方程思想在数列中有着广泛的应用,尤其是在解决数列中由递推关系求通项公式的某些问题时,若先由已知的递推关系寻找出an+1和an新的关系式,再把an+1和an看作未知数,则能通过解方程组求出的表达式—通项公式。这种以方程思想为指导的方法简捷且程序性强,易于操作。
类型I an+1=Man+f(n)(其中M为不等于1的常数,f(n)是关于n的函数式)
此类题目,可由an+1=Man+f(n)和an=Man-1+f(n-1)运算得到an+1和an的另一关系式,再视n为已知数,an+1和an为未知数,通过解方程组求出an的表达式。
例1:已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+4求数列{an}通项公式。
解:因为an+1=3an+4,an=3an-1+4(n>1),
所以an+1-an=3(an-an-1),
所以{an+1-an}是以a2-a1=2a1+4=8为首项,以3为公比的等比数列。
解an+1-an=8·3n-1an+1=3an+4得an=4·3n-1-2.
所以数列{an}通项公式为an=4·3n-1-2.
例2:已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2n+3,求数列{an}通项公式。
解:因为an+1=3an+2n+3,an=3an-1+2(n-1)+3(n>1),
所以an+1-an=3(an-an-1)+2.
令bn=an+1-an,则bn=3bn-1+2,且b1=9.
利用题目1的解法可得;bn=10·3n-1-1,
即an+1-an=10·3n-1-1.
解an+1-an=10·3n-1-1an+1=3an+2n+3得an=5·3n-1-n-2
所以数列{an}通项公式为an=5·3n-1-n-2.
例3:已知数列{an}满足a1=■,且对任意正整数n都有an+1=■an+(■)n+1,求数列{an}通项公式。
解:因为an+1=■an+(■)n+1,
所以an=■an-1+(■)n(n>1),
所以■an=■·■an-1+(■)n+1,
于是得an+1-■an=■(an-■an-1),
所以数列{an-■an-1}是以a2-a1=-■为首项,■为公比的等比数列。
所以an+1-■an=■·(■)n.
解an+1-■an=■·(■)n+1an+1=■an+(■)n+1得an=3·(■)n-2·(■)n,
所以数列{an}的通项公式为an=3·(■)n-2(■)n.
类型II an+1=Tan+San-1(T、S是常數且T≠1).
例4:已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且对任意正整数n都有an+2=2an+1+3an求数列{an}通项公式。
此类题目可由an+1=Tan+San-1变形得到an+1和an的两个不同的关系式,再视n为已知数,an+1和an为未知数,通过解方程组求出an的表达式。
解:an+2=2an+1+3an可变形为an+2+an+1=3(an+1+an),
容易求得数列{an+1+an}的通项公式an+1+an=3n.
an+2=2an+1+3an又可变形为an+2-3an+1=-(an+1-3an),
容易求得数列{an+1-3an}的通项公式an+1-3an=(-1)n.
解an+1+an=3nan+1-3an=(-1)n得an=■.
所以数列{an}的通项公式为an=■.
上述方法中,方程思想起到了关键作用,在探寻解题方法的时候,合理运用数学思想,能够拓宽解题视野,提高解题能力。
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类型I an+1=Man+f(n)(其中M为不等于1的常数,f(n)是关于n的函数式)
此类题目,可由an+1=Man+f(n)和an=Man-1+f(n-1)运算得到an+1和an的另一关系式,再视n为已知数,an+1和an为未知数,通过解方程组求出an的表达式。
例1:已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+4求数列{an}通项公式。
解:因为an+1=3an+4,an=3an-1+4(n>1),
所以an+1-an=3(an-an-1),
所以{an+1-an}是以a2-a1=2a1+4=8为首项,以3为公比的等比数列。
解an+1-an=8·3n-1an+1=3an+4得an=4·3n-1-2.
所以数列{an}通项公式为an=4·3n-1-2.
例2:已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2n+3,求数列{an}通项公式。
解:因为an+1=3an+2n+3,an=3an-1+2(n-1)+3(n>1),
所以an+1-an=3(an-an-1)+2.
令bn=an+1-an,则bn=3bn-1+2,且b1=9.
利用题目1的解法可得;bn=10·3n-1-1,
即an+1-an=10·3n-1-1.
解an+1-an=10·3n-1-1an+1=3an+2n+3得an=5·3n-1-n-2
所以数列{an}通项公式为an=5·3n-1-n-2.
例3:已知数列{an}满足a1=■,且对任意正整数n都有an+1=■an+(■)n+1,求数列{an}通项公式。
解:因为an+1=■an+(■)n+1,
所以an=■an-1+(■)n(n>1),
所以■an=■·■an-1+(■)n+1,
于是得an+1-■an=■(an-■an-1),
所以数列{an-■an-1}是以a2-a1=-■为首项,■为公比的等比数列。
所以an+1-■an=■·(■)n.
解an+1-■an=■·(■)n+1an+1=■an+(■)n+1得an=3·(■)n-2·(■)n,
所以数列{an}的通项公式为an=3·(■)n-2(■)n.
类型II an+1=Tan+San-1(T、S是常數且T≠1).
例4:已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且对任意正整数n都有an+2=2an+1+3an求数列{an}通项公式。
此类题目可由an+1=Tan+San-1变形得到an+1和an的两个不同的关系式,再视n为已知数,an+1和an为未知数,通过解方程组求出an的表达式。
解:an+2=2an+1+3an可变形为an+2+an+1=3(an+1+an),
容易求得数列{an+1+an}的通项公式an+1+an=3n.
an+2=2an+1+3an又可变形为an+2-3an+1=-(an+1-3an),
容易求得数列{an+1-3an}的通项公式an+1-3an=(-1)n.
解an+1+an=3nan+1-3an=(-1)n得an=■.
所以数列{an}的通项公式为an=■.
上述方法中,方程思想起到了关键作用,在探寻解题方法的时候,合理运用数学思想,能够拓宽解题视野,提高解题能力。
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