安徽省2010年学业水平测试数学试卷第18题：已知函数y=■+■的最小值为m，最大值为M，则■的值为（）。
　　A.■ B.■ C.■ D.■。
　　此题本质是求函数值域，方法较多，下面介绍两种常用的方法。
　　方法1：函数式两边平方得y2=4+2■(-2≤x≤2)，所以有4≤y2≤8，又y>0，故2≤y≤2■，这样函数值域为[2，2■]，选C。
　　方法2：令μ=■，v=■，问题转化为求二元线性目标函数的值域，这里u，v满足u2+v2=4，u≥0，v≥0。在直角坐标系uov内，满足上述约束条件点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆落在第一象限部分的一段圆弧AB（包括端点），如图1。易知，直线l:u+v=t过点A（2，0）时，即x=2时y取最小值，ymin=2；当直线l与弧AB相切时，y取最大值，ymax=2■，此时u=v=■，x=0。所以函数值域为[2，2■]，选C。
　　对于此题，方法1较简单，考虑到题目的推广，方法2更具一般性，可以认为是求解此类函数值域的通法。
　　形如y=m■+n■，m,n为非零常数，f(x),g(x)为关于x的一次函数，且总能通过对解析式的变形，使其含x项的系数绝对值为1，对于这种类型的函数，下面通过具体的实例介绍其值域的求法。
　　一、m■与n■单调性相同
　　例1：求函数y=2■-3■的值域。
　　解析：函数定义域为[1，2]，由于2■-3■与单调性相同（都是增函数），所以函数y=2■-3■在[1，2]内是单调递增函数，当x=1时，y取最小值，ymin=-3；当x=2时，y取最大值，ymax=2。故函数值域为[-3，2]。
　　二、m■与n■单调性相反
　　例2：求函数y=2■+3■的值域。
　　解析：令u=■，v=■下面来求目标函数y=2u+3v的值域，这里u，v满足：u2+v2=1,u≥0，v≥0，在平面直角坐标系uov内，满足这些约束条件的M(u,v)的轨迹是单位圆周上的一段圆弧AB（位于第一象限的部分，包括端点），如图2。易知直线l:2u+3v=t过A(1,0)时y取最小值，即x=2时，ymin=2；直线l和圆AB弧相切时y取最大值，容易求出当u=■，即x=■时，ymax=■。所以函数值域为[2,■]。
　　 例3：求函数y=2■-3■的值域。
　　解析：令u=■，v=■,u,v满足u2-v2=1,u≥0，v≥0,在平面直角坐标系uov内，满足这些约束条件的M(u,v)的轨迹是等轴双曲线（渐近线方程为y=±x）位于第一象限的部分（包括点A（1，0）），如图3。由于直线束2u-3v=t的斜率■小于渐近线的斜率1，故当直线过A（1，0）时，目标函数y=2u-3v取最大值2，又t∈(-∞,2)时直线与曲线总有交点（为什么？），所以函数值域为(-∞,2)。
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　　总之，对于形如y=m■+n■的函数，m,n为非零常数，f(x),g(x)为关于x的一次函数（斜率为±1），当m■与n■与单调性相同时，利用函数单调性容易求出其值域；当n■与n■单调性相反时，可以通过换元转化为求二元线性目标函数y=mu+nv（m,n为非零常数）在给定条件下（满足条件的点的轨迹为一段圆弧或等轴双曲线的一部分）的值域问题，利用数形结合，轻松解题。
　　
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