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安徽省2010年学业水平测试数学试卷第18题:已知函数y=■+■的最小值为m,最大值为M,则■的值为()。
A.■ B.■ C.■ D.■。
此题本质是求函数值域,方法较多,下面介绍两种常用的方法。
方法1:函数式两边平方得y2=4+2■(-2≤x≤2),所以有4≤y2≤8,又y>0,故2≤y≤2■,这样函数值域为[2,2■],选C。
方法2:令μ=■,v=■,问题转化为求二元线性目标函数的值域,这里u,v满足u2+v2=4,u≥0,v≥0。在直角坐标系uov内,满足上述约束条件点的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆落在第一象限部分的一段圆弧AB(包括端点),如图1。易知,直线l:u+v=t过点A(2,0)时,即x=2时y取最小值,ymin=2;当直线l与弧AB相切时,y取最大值,ymax=2■,此时u=v=■,x=0。所以函数值域为[2,2■],选C。
对于此题,方法1较简单,考虑到题目的推广,方法2更具一般性,可以认为是求解此类函数值域的通法。
形如y=m■+n■,m,n为非零常数,f(x),g(x)为关于x的一次函数,且总能通过对解析式的变形,使其含x项的系数绝对值为1,对于这种类型的函数,下面通过具体的实例介绍其值域的求法。
一、m■与n■单调性相同
例1:求函数y=2■-3■的值域。
解析:函数定义域为[1,2],由于2■-3■与单调性相同(都是增函数),所以函数y=2■-3■在[1,2]内是单调递增函数,当x=1时,y取最小值,ymin=-3;当x=2时,y取最大值,ymax=2。故函数值域为[-3,2]。
二、m■与n■单调性相反
例2:求函数y=2■+3■的值域。
解析:令u=■,v=■下面来求目标函数y=2u+3v的值域,这里u,v满足:u2+v2=1,u≥0,v≥0,在平面直角坐标系uov内,满足这些约束条件的M(u,v)的轨迹是单位圆周上的一段圆弧AB(位于第一象限的部分,包括端点),如图2。易知直线l:2u+3v=t过A(1,0)时y取最小值,即x=2时,ymin=2;直线l和圆AB弧相切时y取最大值,容易求出当u=■,即x=■时,ymax=■。所以函数值域为[2,■]。
例3:求函数y=2■-3■的值域。
解析:令u=■,v=■,u,v满足u2-v2=1,u≥0,v≥0,在平面直角坐标系uov内,满足这些约束条件的M(u,v)的轨迹是等轴双曲线(渐近线方程为y=±x)位于第一象限的部分(包括点A(1,0)),如图3。由于直线束2u-3v=t的斜率■小于渐近线的斜率1,故当直线过A(1,0)时,目标函数y=2u-3v取最大值2,又t∈(-∞,2)时直线与曲线总有交点(为什么?),所以函数值域为(-∞,2)。
■
总之,对于形如y=m■+n■的函数,m,n为非零常数,f(x),g(x)为关于x的一次函数(斜率为±1),当m■与n■与单调性相同时,利用函数单调性容易求出其值域;当n■与n■单调性相反时,可以通过换元转化为求二元线性目标函数y=mu+nv(m,n为非零常数)在给定条件下(满足条件的点的轨迹为一段圆弧或等轴双曲线的一部分)的值域问题,利用数形结合,轻松解题。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
A.■ B.■ C.■ D.■。
此题本质是求函数值域,方法较多,下面介绍两种常用的方法。
方法1:函数式两边平方得y2=4+2■(-2≤x≤2),所以有4≤y2≤8,又y>0,故2≤y≤2■,这样函数值域为[2,2■],选C。
方法2:令μ=■,v=■,问题转化为求二元线性目标函数的值域,这里u,v满足u2+v2=4,u≥0,v≥0。在直角坐标系uov内,满足上述约束条件点的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆落在第一象限部分的一段圆弧AB(包括端点),如图1。易知,直线l:u+v=t过点A(2,0)时,即x=2时y取最小值,ymin=2;当直线l与弧AB相切时,y取最大值,ymax=2■,此时u=v=■,x=0。所以函数值域为[2,2■],选C。
对于此题,方法1较简单,考虑到题目的推广,方法2更具一般性,可以认为是求解此类函数值域的通法。
形如y=m■+n■,m,n为非零常数,f(x),g(x)为关于x的一次函数,且总能通过对解析式的变形,使其含x项的系数绝对值为1,对于这种类型的函数,下面通过具体的实例介绍其值域的求法。
一、m■与n■单调性相同
例1:求函数y=2■-3■的值域。
解析:函数定义域为[1,2],由于2■-3■与单调性相同(都是增函数),所以函数y=2■-3■在[1,2]内是单调递增函数,当x=1时,y取最小值,ymin=-3;当x=2时,y取最大值,ymax=2。故函数值域为[-3,2]。
二、m■与n■单调性相反
例2:求函数y=2■+3■的值域。
解析:令u=■,v=■下面来求目标函数y=2u+3v的值域,这里u,v满足:u2+v2=1,u≥0,v≥0,在平面直角坐标系uov内,满足这些约束条件的M(u,v)的轨迹是单位圆周上的一段圆弧AB(位于第一象限的部分,包括端点),如图2。易知直线l:2u+3v=t过A(1,0)时y取最小值,即x=2时,ymin=2;直线l和圆AB弧相切时y取最大值,容易求出当u=■,即x=■时,ymax=■。所以函数值域为[2,■]。
例3:求函数y=2■-3■的值域。
解析:令u=■,v=■,u,v满足u2-v2=1,u≥0,v≥0,在平面直角坐标系uov内,满足这些约束条件的M(u,v)的轨迹是等轴双曲线(渐近线方程为y=±x)位于第一象限的部分(包括点A(1,0)),如图3。由于直线束2u-3v=t的斜率■小于渐近线的斜率1,故当直线过A(1,0)时,目标函数y=2u-3v取最大值2,又t∈(-∞,2)时直线与曲线总有交点(为什么?),所以函数值域为(-∞,2)。
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总之,对于形如y=m■+n■的函数,m,n为非零常数,f(x),g(x)为关于x的一次函数(斜率为±1),当m■与n■与单调性相同时,利用函数单调性容易求出其值域;当n■与n■单调性相反时,可以通过换元转化为求二元线性目标函数y=mu+nv(m,n为非零常数)在给定条件下(满足条件的点的轨迹为一段圆弧或等轴双曲线的一部分)的值域问题,利用数形结合,轻松解题。
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