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因式分解是初中数学的重要内容，也是中考的热点题型。在近几年的中考试题中，除了一些常见的基础题外，命题者设计了许多形式多样、新颖别致的试题，现举例分析如下。
一、开放题
例1 多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，则整数p的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可）。
分析 要使给定的多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，只要能探索出整数p的值，此题目具有开放性，答案不唯一，但只要将常数项12分解即可找到相应的结果。
解 由于12＝1×12＝－1×（－12）＝3×4＝－3×（－4）＝2×6＝－2×（－6），所以p＝±7，p＝±8，p＝±13，即p可以取其中的任一个即可。
点评 由于（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，那么反过来就有x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）。这就是说，对于二次三项式x2＋px＋q，如果常数项q可分解为两个因数a、b的积，并且a＋b＝p，ab=q，那么x2＋px＋q就可分解为（x＋a）（x＋b）。
二、题目自编题
例2 请写出一个二次三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解，你编写的二次三项式是_________，分解因式的结果是_______________。
解析 编题的要求有3个：①是二次三项式；②先提公因式；③再运用公式。根据题意，可写出如下式子：2x2＋4xy＋2y2和－3a2＋24ab－48b2等，它们分解因式的结果分别是2（x＋y）2和－3（a－4b）2等。
点评 此类题不仅要求同学们会解课本上的题目，而且要能够借助课本内容的思维方法编拟习题，有一定的思考价值和开放性。
三、阅读理解题
例3 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式x4－y4因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018 162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：__________（写出一个即可）。
分析 这是一道富有创意的阅读理解题。解题时，先认真阅读材料，正确理解其方法，然后类比迁移运用。
解 因4x3－xy2＝x（4x2－y2）＝x（2x＋y）（2x－y），则当x＝10，y＝10时，2x＋y＝30，2x－y＝10。依据乘法交换律，对因式分解的结果及各因式的值可以任意交换位置，故应填103 010，或301 010，或101 030。
点评 本题是一道阅读理解且具有一定开放性的好题，有效地考查了同学们的阅读理解能力、类比迁移能力、创新能力。
四、新定义题
例4 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数。
（1）28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k 2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
分析 （1）可以通过所给的特殊的例子探究规律，判断28和2 012是否是神秘数；（2）利用因式分解对（2k 2）2-（2k）2进行分解，再判断；（3）设两个连续奇数为2n 1和2n-1，则（2n 1）2-（2n-1）2=8n，再根据神秘数定义判断。
解 （1）找规律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，……
2 012=4×503=5042-5022，所以28和2 012都是神秘数。
（2）因为（2k 2）2-（2k）2=4（2k 1），因此由这两个连续偶数2k 2和2k构造的神秘数是4的倍数。
（3）由（2）知，神秘数可以表示成4（2k 1），因为2k 1是奇数，因此神秘数是4的倍数但不一定是8的倍数，另一方面，设两个连续奇数为2n 1和2n-1，则（2n 1）2-（2n-1）2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数，因此不是神秘数。
点评 本题的类型可以归结为新定义题，这样的考题对同学们的学习能力、领悟能力提出了新的挑战。
一、开放题
例1 多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，则整数p的值是＿＿＿＿＿（写出一个即可）。
分析 要使给定的多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，只要能探索出整数p的值，此题目具有开放性，答案不唯一，但只要将常数项12分解即可找到相应的结果。
解 由于12＝1×12＝－1×（－12）＝3×4＝－3×（－4）＝2×6＝－2×（－6），所以p＝±7，p＝±8，p＝±13，即p可以取其中的任一个即可。
点评 由于（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，那么反过来就有x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）。这就是说，对于二次三项式x2＋px＋q，如果常数项q可分解为两个因数a、b的积，并且a＋b＝p，ab=q，那么x2＋px＋q就可分解为（x＋a）（x＋b）。
二、题目自编题
例2 请写出一个二次三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解，你编写的二次三项式是_________，分解因式的结果是_______________。
解析 编题的要求有3个：①是二次三项式；②先提公因式；③再运用公式。根据题意，可写出如下式子：2x2＋4xy＋2y2和－3a2＋24ab－48b2等，它们分解因式的结果分别是2（x＋y）2和－3（a－4b）2等。
点评 此类题不仅要求同学们会解课本上的题目，而且要能够借助课本内容的思维方法编拟习题，有一定的思考价值和开放性。
三、阅读理解题
例3 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式x4－y4因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018 162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：__________（写出一个即可）。
分析 这是一道富有创意的阅读理解题。解题时，先认真阅读材料，正确理解其方法，然后类比迁移运用。
解 因4x3－xy2＝x（4x2－y2）＝x（2x＋y）（2x－y），则当x＝10，y＝10时，2x＋y＝30，2x－y＝10。依据乘法交换律，对因式分解的结果及各因式的值可以任意交换位置，故应填103 010，或301 010，或101 030。
点评 本题是一道阅读理解且具有一定开放性的好题，有效地考查了同学们的阅读理解能力、类比迁移能力、创新能力。
四、新定义题
例4 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数。
（1）28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k 2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
分析 （1）可以通过所给的特殊的例子探究规律，判断28和2 012是否是神秘数；（2）利用因式分解对（2k 2）2-（2k）2进行分解，再判断；（3）设两个连续奇数为2n 1和2n-1，则（2n 1）2-（2n-1）2=8n，再根据神秘数定义判断。
解 （1）找规律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，……
2 012=4×503=5042-5022，所以28和2 012都是神秘数。
（2）因为（2k 2）2-（2k）2=4（2k 1），因此由这两个连续偶数2k 2和2k构造的神秘数是4的倍数。
（3）由（2）知，神秘数可以表示成4（2k 1），因为2k 1是奇数，因此神秘数是4的倍数但不一定是8的倍数，另一方面，设两个连续奇数为2n 1和2n-1，则（2n 1）2-（2n-1）2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数，因此不是神秘数。
点评 本题的类型可以归结为新定义题，这样的考题对同学们的学习能力、领悟能力提出了新的挑战。