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摘 要
數形结合是将数学的抽象思维理解附以图形，化无形为有形，帮助学生更为具体化的理解学习中所遇到的数学问题，以图形来还原数学的本质。利用数形结合可以锻炼数学思维，以及数学与图形相联系的能力，更容易剖析数学所要研究的本质问题，以最为简洁易于思考的方式来完成对于数学的研究。本文着重就数形结合思想在解决线性规划、解决数列、解决解析几何、解决空间几何等几个问题进行初步的探讨，以培养学生严谨的思维方式，同时帮助他们养成高尚的数学素养。
【关键词】数形结合；数学应用；思考方式
1 引言
数形结合在中职数学中有着举足轻重的位置，在中职不同阶段的学习中都会运用到数形结合的思想。学生从学习数学开始教师就培养学生数形结合的思想，最早的识数便把数字与具体而有形的食物联系到一起，再到后来的加减乘除等等。无一不是将抽象的概念具体化来研究数学的本质。随着人们对于数学的深入研究，数形结合思想更加深刻的烙印在学生的脑海中，自然便成为了学生所养成的思考方式。
2 数形结合思想的理论
数和形都是数学研究者最为古老的研究对象，二者之间存在着一定的相关性，同时在某些条件下二者可以相互转换。大部分的中职研究也是围绕着这两者而展开的。我们常把数量关系与图形关系之间的结合就称为数形结合。其实数形结合就是在数与形之间建立起某种联系，而这种联系就是数与形之间的对应关系。从实质上来讲，数形结合就是把一些抽象的数学文字转换为可见的图形语言，从而使得繁琐的问题简单化，抽象的问题直观化。数形结合思想的目的是将数学问题以最为简单直观的方式解答出来。
数形结合思想是传统的数学思想，是将数的运算结合到形的基础之上。把一些比较复杂的数学问题转化成可以操作的数学运算。数形结合思想应用的也非常的广泛，在集合、函数、不等式、三角函数、线性规划、数列、解析几何、空间几何等数学模块中都有着极高的应用率。所以利用数形结合的思想可以帮助学生解决多种类型的数学问题，使得数学更为直观化。同时数形结合的思想还能提高学生对于数学学习的兴趣，增大他们对于数学学习的热情。
数形结合思想在众多数学教育研究者心里也有着非常重要的地位。在历年的普通高职单考单招考试卷中，需要运用数形结合思想来解题的例子占据了很大的比重，这也进一步说明了数形结合思想的重要性。往往利用数形结合解决的问题都会在增加了做题效率的基础上锻炼学生思维的活跃性，这对于中职生来说是非常重要的。在中职的教学中，数形结合这样一种重要的数学思想应该介绍给中职生。这样一种思维方式的养成有助于中职生在之后的数学学习研究中，应对各式各样的数学问题都能取得事半功倍的效果。数形结合思想从本质上来讲不是针对于某一道题，而是养成一种思考方式。使得学生从问题的本身跳出来，转换一种思维方式，站在不同的角度将问题理解的更加透彻。而培养数形结合的思想不仅需要教师在平时授课时的渗透更加需要学生自身的思维转换。
数形结合思想在解题的过程中往往可以明晰思路，有很多时候，对于一道数学问题毫无头绪，采用数形结合的思想把问题转换成另一种角度来理解，或许就可以找到问题的突破口，从而便可找出解决问题的一系列条件。针对于不同的问题只要将其中存在的某种对应关系找到，就可以与图形上的点、线、面形成对应，自然而然就把问题中所对应的量找了出来。所以数形结合思想也是联想与实际之间的桥梁。
数形结合的思想也体现了数学的严密性。倘若没有数，则形也很难细致入微；倘若没有形，则数也很难直观。当我们在一道题中发掘了数量关系时，便可以思考它的几何意义所在；当我们在一道题中观察它的图形，便可以思考他的数量关系所在。数形结合思想在中职中的应用是非常广泛的，可以应用数量上的关系分析出图形上的关系。数形结合可以使数与形之间相互转换，从而培养了学生的缜密的思维方式。
在教学过程中，对于一些比较繁琐复杂的题目，教师会应用数形结合的方法来减轻学生对于题目思考负担，更能与班上的同学产生互动，增添课堂的气氛。与此同时，利用数形结合的思想传授一些比较枯燥的定理定义，可以使教学内容更加充实生动，又可以牢固学生的记忆。最为重要的是，数形结合思想的长期培养也可以养成学生自己分析的能力，以及创新能力的培养，从各个方面培养了学生的数学素养。
3 数形结合思想的应用
在数学学习中运用数形结合思想的关键是将数字与图形之间建立起某种对应关系，从而将抽象化的问题转向具体化。同时数形结合的思想也可以丰富数学的学习内容，增加学生对于数学学习的兴趣，使得学生更加直观简洁的了解数学问题。
3.1 利用数形结合思想解决线性规划问题
在针对线性规划问题的求解过程中，数形结合的思想贯穿始终，按照题意将不同的条件进行约束规划出可行域，最终通过对几何意义的分析，划定取值范围。在做线性规划这一类题型的时候，懂得运用数形结合则是解题的关键。
例题1.设二元一次不等式组
所表示的平面区域为F，求使函数的图像过区域M的的取值范围。
解析：先做出2u+v-19=0，u-v-8=0，u+2v-14=0三条函数的图象，确定其可行域。图中阴影部分的区域即为可行域，分别计算出三个定点的坐标为（8，3），（10，2），（9，1），再结合图象确定取值范围，可知。
3.2 数形结合思想解决数列问题
对于数列来说，可以把它看成是一种特殊的函数情况，数列的通项公式即可看做函数的表达式，这样就可以借助函数的图象对问题进行分析，可以比原题目的分析得更加透彻明了。
例题2.等差数列{}中，前m项的和，求的值。
解析：等差数列的前n项求和公式在中职期间是学生需要着重掌握的知识点，根据这道题中的已知条件可知，我们便可得出这样的等式： 因为，所以，
上面的方法是比较传统的解题思想，很复杂，计算量也大，容易出现计算错误。下面我们一起来看应用数形结合思想的解题步骤。
因为和a≠b，所以
。这时运用的二次函数图像就可运用数形结合的思想将问题这样理解：由，我们不妨设X<0，而z=Xp2+Yq的图像是过原点的抛物线，于是根据可知，这条抛物线的对称轴为
，自然就可以得出抛物线与x轴的一个交点为原点，另一交点横坐标为（a+b），即Sa+b=0。
通过这样一道题的两种解法的对比，一目了然的将数形结合思想在数学解题中的优势展露出来。
3.3 数形结合思想解决解析几何问题
解析几何这一类问题就是在考学生对于几何的理解与想象能力。对于学生来说，如果将数学逻辑的思维能力比作骨架的话，那么图形就是血肉。可以说，没有图形结合的解析几何解答是空洞的，也是很难完成的。所以无论是对于什么样基础的学生来说，解决解析几何问题都要建立在数形结合的思想之上，画出对应的图形就成了做题的关键。自然而然数形结合思想在这类问题上的重要性是无可厚非的。
例题3.定圆上有动点B，它关于定点E（7，0）的对称点是C，点B以A为圆心逆时针方向旋转120°后到点D，求线段CD长度的最小值和最大值。
解析：首先，根据这道题的题意可以先做出定圆A的图象，圆心A的坐标为（3，3），再分别在图中做出B，C，D这几个点。针对与这类题型可以将B点的坐标设为
，之后再分别计算出C，D两点的坐标。运用两点间的距离公式就可以将|CD|的距离表示出来，从而找出线段CD的最值。不过这样方法的计算量是非常大的，对学生计算能力也有很大的考验。
但是，如果我们仔细的观察图形就会发现E是BC中点。我们可以取BD的中点为F，连接FE，于是根据三角形中位线的性质就可得知|CD|=2|EF|。又因为F是BD的中点，连接AF，于是有AF垂直于BD，
。所以就可以得出
。动点F的运动轨迹是以A为圆心，
为半径的圆。这时对于求|CD|的最值就转化为点E点到圆距离的最值了。过点A和点E的直线交圆上两点为点H和点G，于是就有
从而就得出线段CD的最大值和最小值分别为
和。
3.4 数形结合思想解决空间几何问题
空间几何类似于解析几何，都属于几何的范围内。同样数形结合具有同等重要的地位，所以解决这一类问题单靠想象还是不可取。运用数形结合的思想来找出题与图形的对应关系就是解题的要点。
例题4：如图，在直角梯形PQRS中，∠PSR=90°，RS∥PQ，PQ=4，RS=PS=2，点A为线段PQ的中点。将△PSR沿PR折起，使平面PSR⊥平面PRQ，得到几何体S-PRQ，如图所示。
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PSR；
（Ⅱ）求二面角P-SR-A的余弦值。
（1）根据图1可知PR=QR=，所以PR2+QR2=PQ2，即PR⊥QR。
现在取PR的中点为T，并且连接ST，于是就有ST⊥PR，面PSR⊥面PQR。
面PSR∩面PQR=PR，ST面PSR，从而就有ST⊥面PQR，所以有PR⊥QR，PR⊥QR，ST∩PR=T，即QR⊥面PRS。
（2）建立如图所示的直角坐标系，
设a=（x，y，z）为面ARS的法向量，
令x=-1，可得n1=（-1，1，1）。
于是，又n2=（0，1，0）为面PRS的一个法向量，所以
所以二面角P-RS-A的余弦值为。
4 结束语
数形结合就是将数与形结合在一起，使得抽象的思维和形象的思维并存。充分的将二者之間优劣势相互互补，至此达成一种最佳的思考方式。应用数形结合的思想可以将繁琐问题简单化，抽象问题直观化，从而以最最明了的方式解决数学问题。
应用数形结合的方式并不是最终的目的，重在培养学生的思维方式。在解决实际的问题时，应该时刻运用数形结合的思想。懂得将数与形相互转换，建立一种对应关系，并且合理的应用。学生在平时的学习中应主观锻炼自身的思维方式，灵活的运用数形结合的思想。教师在传授数学知识的同时也应时时渗透数形结合的思想，培养学生严谨的思维方式，同时帮助他们养成高尚的数学素养。
参考文献
[1]关余友.再谈“数形结合”在数学解题中的作用[J].中学数学，2012（17）：94-95.
[2]毛淑萍.浅谈2011年高考题中出现的数形结合[J].中学数学，2012（03）：38.
[3]史东升.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学，2012（24）：21-22.
[4]张光成.例谈初中数学中的“数形结合” [J].中学数学，2011（24）：32-33.
[5]陈迁.数形结合妙解一道中考题[J].中学数学，2011（18）：48.
作者简介
刘军红 （1971-），男，浙江省开化县人。大学本科学历。现供职于浙江省开化县职教中心教师（中学一级职称）。研究方向为中职数学教学。
作者单位
浙江省开化县职教中心 浙江省开化县 324300
數形结合是将数学的抽象思维理解附以图形，化无形为有形，帮助学生更为具体化的理解学习中所遇到的数学问题，以图形来还原数学的本质。利用数形结合可以锻炼数学思维，以及数学与图形相联系的能力，更容易剖析数学所要研究的本质问题，以最为简洁易于思考的方式来完成对于数学的研究。本文着重就数形结合思想在解决线性规划、解决数列、解决解析几何、解决空间几何等几个问题进行初步的探讨，以培养学生严谨的思维方式，同时帮助他们养成高尚的数学素养。
【关键词】数形结合；数学应用；思考方式
1 引言
数形结合在中职数学中有着举足轻重的位置，在中职不同阶段的学习中都会运用到数形结合的思想。学生从学习数学开始教师就培养学生数形结合的思想，最早的识数便把数字与具体而有形的食物联系到一起，再到后来的加减乘除等等。无一不是将抽象的概念具体化来研究数学的本质。随着人们对于数学的深入研究，数形结合思想更加深刻的烙印在学生的脑海中，自然便成为了学生所养成的思考方式。
2 数形结合思想的理论
数和形都是数学研究者最为古老的研究对象，二者之间存在着一定的相关性，同时在某些条件下二者可以相互转换。大部分的中职研究也是围绕着这两者而展开的。我们常把数量关系与图形关系之间的结合就称为数形结合。其实数形结合就是在数与形之间建立起某种联系，而这种联系就是数与形之间的对应关系。从实质上来讲，数形结合就是把一些抽象的数学文字转换为可见的图形语言，从而使得繁琐的问题简单化，抽象的问题直观化。数形结合思想的目的是将数学问题以最为简单直观的方式解答出来。
数形结合思想是传统的数学思想，是将数的运算结合到形的基础之上。把一些比较复杂的数学问题转化成可以操作的数学运算。数形结合思想应用的也非常的广泛，在集合、函数、不等式、三角函数、线性规划、数列、解析几何、空间几何等数学模块中都有着极高的应用率。所以利用数形结合的思想可以帮助学生解决多种类型的数学问题，使得数学更为直观化。同时数形结合的思想还能提高学生对于数学学习的兴趣，增大他们对于数学学习的热情。
数形结合思想在众多数学教育研究者心里也有着非常重要的地位。在历年的普通高职单考单招考试卷中，需要运用数形结合思想来解题的例子占据了很大的比重，这也进一步说明了数形结合思想的重要性。往往利用数形结合解决的问题都会在增加了做题效率的基础上锻炼学生思维的活跃性，这对于中职生来说是非常重要的。在中职的教学中，数形结合这样一种重要的数学思想应该介绍给中职生。这样一种思维方式的养成有助于中职生在之后的数学学习研究中，应对各式各样的数学问题都能取得事半功倍的效果。数形结合思想从本质上来讲不是针对于某一道题，而是养成一种思考方式。使得学生从问题的本身跳出来，转换一种思维方式，站在不同的角度将问题理解的更加透彻。而培养数形结合的思想不仅需要教师在平时授课时的渗透更加需要学生自身的思维转换。
数形结合思想在解题的过程中往往可以明晰思路，有很多时候，对于一道数学问题毫无头绪，采用数形结合的思想把问题转换成另一种角度来理解，或许就可以找到问题的突破口，从而便可找出解决问题的一系列条件。针对于不同的问题只要将其中存在的某种对应关系找到，就可以与图形上的点、线、面形成对应，自然而然就把问题中所对应的量找了出来。所以数形结合思想也是联想与实际之间的桥梁。
数形结合的思想也体现了数学的严密性。倘若没有数，则形也很难细致入微；倘若没有形，则数也很难直观。当我们在一道题中发掘了数量关系时，便可以思考它的几何意义所在；当我们在一道题中观察它的图形，便可以思考他的数量关系所在。数形结合思想在中职中的应用是非常广泛的，可以应用数量上的关系分析出图形上的关系。数形结合可以使数与形之间相互转换，从而培养了学生的缜密的思维方式。
在教学过程中，对于一些比较繁琐复杂的题目，教师会应用数形结合的方法来减轻学生对于题目思考负担，更能与班上的同学产生互动，增添课堂的气氛。与此同时，利用数形结合的思想传授一些比较枯燥的定理定义，可以使教学内容更加充实生动，又可以牢固学生的记忆。最为重要的是，数形结合思想的长期培养也可以养成学生自己分析的能力，以及创新能力的培养，从各个方面培养了学生的数学素养。
3 数形结合思想的应用
在数学学习中运用数形结合思想的关键是将数字与图形之间建立起某种对应关系，从而将抽象化的问题转向具体化。同时数形结合的思想也可以丰富数学的学习内容，增加学生对于数学学习的兴趣，使得学生更加直观简洁的了解数学问题。
3.1 利用数形结合思想解决线性规划问题
在针对线性规划问题的求解过程中，数形结合的思想贯穿始终，按照题意将不同的条件进行约束规划出可行域，最终通过对几何意义的分析，划定取值范围。在做线性规划这一类题型的时候，懂得运用数形结合则是解题的关键。
例题1.设二元一次不等式组
所表示的平面区域为F，求使函数的图像过区域M的的取值范围。
解析：先做出2u+v-19=0，u-v-8=0，u+2v-14=0三条函数的图象，确定其可行域。图中阴影部分的区域即为可行域，分别计算出三个定点的坐标为（8，3），（10，2），（9，1），再结合图象确定取值范围，可知。
3.2 数形结合思想解决数列问题
对于数列来说，可以把它看成是一种特殊的函数情况，数列的通项公式即可看做函数的表达式，这样就可以借助函数的图象对问题进行分析，可以比原题目的分析得更加透彻明了。
例题2.等差数列{}中，前m项的和，求的值。
解析：等差数列的前n项求和公式在中职期间是学生需要着重掌握的知识点，根据这道题中的已知条件可知，我们便可得出这样的等式： 因为，所以，
上面的方法是比较传统的解题思想，很复杂，计算量也大，容易出现计算错误。下面我们一起来看应用数形结合思想的解题步骤。
因为和a≠b，所以
。这时运用的二次函数图像就可运用数形结合的思想将问题这样理解：由，我们不妨设X<0，而z=Xp2+Yq的图像是过原点的抛物线，于是根据可知，这条抛物线的对称轴为
，自然就可以得出抛物线与x轴的一个交点为原点，另一交点横坐标为（a+b），即Sa+b=0。
通过这样一道题的两种解法的对比，一目了然的将数形结合思想在数学解题中的优势展露出来。
3.3 数形结合思想解决解析几何问题
解析几何这一类问题就是在考学生对于几何的理解与想象能力。对于学生来说，如果将数学逻辑的思维能力比作骨架的话，那么图形就是血肉。可以说，没有图形结合的解析几何解答是空洞的，也是很难完成的。所以无论是对于什么样基础的学生来说，解决解析几何问题都要建立在数形结合的思想之上，画出对应的图形就成了做题的关键。自然而然数形结合思想在这类问题上的重要性是无可厚非的。
例题3.定圆上有动点B，它关于定点E（7，0）的对称点是C，点B以A为圆心逆时针方向旋转120°后到点D，求线段CD长度的最小值和最大值。
解析：首先，根据这道题的题意可以先做出定圆A的图象，圆心A的坐标为（3，3），再分别在图中做出B，C，D这几个点。针对与这类题型可以将B点的坐标设为
，之后再分别计算出C，D两点的坐标。运用两点间的距离公式就可以将|CD|的距离表示出来，从而找出线段CD的最值。不过这样方法的计算量是非常大的，对学生计算能力也有很大的考验。
但是，如果我们仔细的观察图形就会发现E是BC中点。我们可以取BD的中点为F，连接FE，于是根据三角形中位线的性质就可得知|CD|=2|EF|。又因为F是BD的中点，连接AF，于是有AF垂直于BD，
。所以就可以得出
。动点F的运动轨迹是以A为圆心，
为半径的圆。这时对于求|CD|的最值就转化为点E点到圆距离的最值了。过点A和点E的直线交圆上两点为点H和点G，于是就有
从而就得出线段CD的最大值和最小值分别为
和。
3.4 数形结合思想解决空间几何问题
空间几何类似于解析几何，都属于几何的范围内。同样数形结合具有同等重要的地位，所以解决这一类问题单靠想象还是不可取。运用数形结合的思想来找出题与图形的对应关系就是解题的要点。
例题4：如图，在直角梯形PQRS中，∠PSR=90°，RS∥PQ，PQ=4，RS=PS=2，点A为线段PQ的中点。将△PSR沿PR折起，使平面PSR⊥平面PRQ，得到几何体S-PRQ，如图所示。
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PSR；
（Ⅱ）求二面角P-SR-A的余弦值。
（1）根据图1可知PR=QR=，所以PR2+QR2=PQ2，即PR⊥QR。
现在取PR的中点为T，并且连接ST，于是就有ST⊥PR，面PSR⊥面PQR。
面PSR∩面PQR=PR，ST面PSR，从而就有ST⊥面PQR，所以有PR⊥QR，PR⊥QR，ST∩PR=T，即QR⊥面PRS。
（2）建立如图所示的直角坐标系，
设a=（x，y，z）为面ARS的法向量，
令x=-1，可得n1=（-1，1，1）。
于是，又n2=（0，1，0）为面PRS的一个法向量，所以
所以二面角P-RS-A的余弦值为。
4 结束语
数形结合就是将数与形结合在一起，使得抽象的思维和形象的思维并存。充分的将二者之間优劣势相互互补，至此达成一种最佳的思考方式。应用数形结合的思想可以将繁琐问题简单化，抽象问题直观化，从而以最最明了的方式解决数学问题。
应用数形结合的方式并不是最终的目的，重在培养学生的思维方式。在解决实际的问题时，应该时刻运用数形结合的思想。懂得将数与形相互转换，建立一种对应关系，并且合理的应用。学生在平时的学习中应主观锻炼自身的思维方式，灵活的运用数形结合的思想。教师在传授数学知识的同时也应时时渗透数形结合的思想，培养学生严谨的思维方式，同时帮助他们养成高尚的数学素养。
参考文献
[1]关余友.再谈“数形结合”在数学解题中的作用[J].中学数学，2012（17）：94-95.
[2]毛淑萍.浅谈2011年高考题中出现的数形结合[J].中学数学，2012（03）：38.
[3]史东升.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学，2012（24）：21-22.
[4]张光成.例谈初中数学中的“数形结合” [J].中学数学，2011（24）：32-33.
[5]陈迁.数形结合妙解一道中考题[J].中学数学，2011（18）：48.
作者简介
刘军红 （1971-），男，浙江省开化县人。大学本科学历。现供职于浙江省开化县职教中心教师（中学一级职称）。研究方向为中职数学教学。
作者单位
浙江省开化县职教中心 浙江省开化县 324300