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摘 要：“对数函数及其性质”是学生认识函数与研究函数的又一载体. 抓住对数与指数之间运算的互逆关系，并结合函数的概念，促进学生对对数函数概念的理解. 抓住两者间坐标的对称关系，探究对数函数的图象与性质，不仅发挥指数函数内容在学习对数函数内容上的作用，更能促进学生理解对数函数与指数函数之间“互逆”的本质关系，从而更有效的掌握对数函数的图象与性质.
关键词：对数函数；指数函数；对称关系
[?] 内容与内容解析
“对数函数及其性质”是高中数学函数内容的重点之一，它是解决实际问题的一个常用函数模型. 学习这块内容之前，学生已经学习了函数的基本概念和函数的基本性质，已有一定的函数基本知识，已为学习和探究基本初等函数打下了坚实基础；通过指数与指数函数的学习与探究，掌握了研究函数的一些基本方法与步骤；通过对数与对数运算的学习，对对数的概念有了一定的理解，明确了对数与指数之间的关系，为学习对数函数及其性质做好了基本的知识储备. 教材从具体的实际问题出发，引出对数函数模型，突出进一步学习对数函数的必要性；然后类比研究指数函数，从定义到图象再到性质的研究步骤，对对数函数展开具体研究，目的在于使学生掌握研究一个新函数的基本方法.
根据上述分析，确定教学重点为：（1）通过具体函数实例，结合函数的概念，理解对数函数的概念；（2）通过探究指数函数图象上点的坐标与对数函数图象上点的坐标之间的对称关系，探究对数函数图象与指数函数图象之间的对称关系，抽象出一般对数函数的图象；（3）类比指数函数性质的研究方法，对对数函数的性质进行归纳. 数学思想方法有：类比思想——指数函数与对数函数研究方法的类比；特殊到一般的方法——特殊对数函数的图象与性质到一般对数函数的图象与性质；数形结合思想——对数函数图象的特征与函数性质之间的联系；分类讨论的思想——对底数a不同取值的讨论.
目标与目标解析
1. 通过具体实际问题结合函数的概念和类比指数函数形式，理解对数函数的概念；结合指数、对数函数之间的值域与定义域的对称关系，理解对数函数底数a的范围要求、定义域、值域.
2. 通过探究指数、对数函数图象上点的坐标的相互关系，理解对数函数图象与指数函数图象之间关于直线y=x对称的性质. 应用对称性质作图并结合计算机作图，促进学生理解对数函数的图象，体会特殊到一般的研究方法.
3. 结合具体特殊函数的图象与性质，类比指数函数图象与性质，探究并掌握对数函数的性质，体会数形结合思想.
4. 通过例题探究，能够应用对数函数的单调性解决对数的大小比较问题，体会分类讨论思想.
[?] 教学问题诊断分析
1. 对数函数是高中学生学习的一个全新函数内容，符号的抽象性和复杂性也给学生对对数函数概念的理解带来一定的困难. 因此，从实际问题的函数模型与指、对数之间的关系两方面来帮助学生对对数函数概念的理解.
2. 学生在对数函数图象的作图过程中会存在一定的困难，充分利用指数函数的图象与指数对数之间的互逆关系，图象上点的对称关系，帮助学生理解对数函数的图象与指数函数图象之间的对称关系，并结合特殊对数函数的作图与计算机作图，帮助学生理解对数函数的图象.
3. 由图象概括对数函数的性质是本节课的难点，类比指数函数的图象与性质，结合特殊函数的图象与性质，帮助学生归纳和理解对数函数的性质.
4. 具体问题的解决过程中，学生容易遗漏定义域的要求，通过例题教学强化学生定义域的意识.
[?] 教学过程设计
1. 创设实际问题情境，激发学生认知需求
【问题情境1】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此类推，细胞分裂x次后得到的y个细胞，如果问“分裂多少次，细胞数可达到1万个，10万个，100万个……”，该问题如何解决？
预设：y与x的函数关系式：y=2x，x∈N*.
问题转化为：104=2x，105=2x，106=2x，…中分别求出x.
由对数式与指数式的相互逆运算y=2x?x=log2y，得到的结果：x=log2104，x=log2105，x=log2106，…
问题1：对于对应关系x=log2y，y可以取哪些值，对应的x又有哪些值？是否给定一个y的值，都有唯一的x与它对应呢？为什么？
问题2：根据函数的定义，x是y的函数吗？
函数y=2x是把x看做是自变量，上述的问题相当于是把y看做自变量.
【问题情境2】 如2.2.1的例6，考古学家一般是通过附着在出土文物、古遗址上死亡生物碳14的含量P，通过对应关系t=logP估算出土文物或古遗址年代的.
问题3：在对应关系下t=logP下，P可以取哪些值，对应的t又有哪些值？对每一个碳14的含量P都有唯一确定的年代t与它对应码？
问题4：根据函数的定义，t是P的函数吗？
设计意图：通过问题引导，结合指数、对数互逆运算的关系，体会真数与对数之间的一一对应关系，并结合函数的概念，让学生经历对数函数的概念形成过程，帮助学生理解对数函数的概念. 在实际问题的应用过程中，体会学习学习对数函数的必要性；体会对数函数与指数函数之间定义域与值域的相互对应关系.
对数函数：x=log2y，t=logP，其中自变量分别是y，P.
问题5：这两个函数都具有什么样的形式？
问题6：结合指数函数的概念，你能给出对数函数的形式化概念吗？
2. 对数函数的概念
预设：
问题7：对数函数规定a>0且a≠1的理由是什么？
设计意图：类比指数函数的形式化定义，给出对数函数的形式化定义，学生更容易接受；结合指数、对数相互关系，帮助学生进一步理解对数函数的概念，理解对数函数的定义域、值域与指数函数定义域、值域之间的关系，理解规定a>0且a≠1的合理性. 3. 概念辨析
对数函数：y=log2x，y=logx，y=lgx，y=lnx.
对数型函数：y=2log2x，y=log2x 1，y=log2（3x 1）.
设计意图：通过概念辨析，更好的理解对数函数的内涵与外延，对对数函数的形式特点有一个明确的认识.
4. 应用指、对数之间的关系探究对数函数图象
问题8：依据指数函数与对数函数之间的关系，若指数函数的图象过（c，d），则对数函数的图象必过哪一点？请举例说明.
预设：
设计意图：应用指数函数与对数函数的相互关系，探究两者图象上点坐标的密切关系，为探究两者图象的对称性打下基础.
探究1：根据具体实例，探究点（c，d）与点（d，c）之间的联系.
设计意图：通过两组具体点在坐标系中的位置，探究它们之间的共性——关于直线y=x对称.由特殊到一般的过程，得出点（c，d）与点（d，c）关于直线y=x对称的性质，进一步得到同底指数函数的图象与对数函数的图象关于直线y=x对称.
探究2：根据函数y=2x，y=
x图象与对数函数图象的对称性质，画出函数y=log2x，y=logx的图象.
探究3：根据指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象与对数函数图象的对称性质，画出函数y=logax（a>0且a≠1）的图象.
设计意图：让学生通过特殊指数函数的图象，与指对数函数图象之间的对称性，画出对应对数函数的图象，对对数函数图象有一个初步的印象. 然后由特殊到一般过程，根据图象的对称性，进一步探究一般对数函数图象的特点，为研究对数函数的性质打下基础.
应用几何画板作图，规范展示对称作图的过程（图略）.
问题9：指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象根据01可以分为两类，那对数函数呢？
探究4：列举具体的对数函数，应用几何画板对两类函数图象进行验证.
设计意图：通过几何画板作出具体对数函数图象，与学生探究结果的两类对数函数图象进行比较，打消学生对对称作图所得到的对数函数是否准确的疑虑，促进学生对对数函数图象的理解.
5. 对数函数性质的探究
探究5：观察对数函数的图象，类比指数函数的性质，探究对数函数的性质
预设：
问题10：结合指数、对数函数图象的联系，你还能补充哪些性质？
设计意图：类比指数函数的图象与性质，结合特殊对数函数图象的特点与性质，帮助学生有效的概括和理解对数函数的图象与性质.通过类比，有效掌握指数函数与对数函数各自的图象与性质.
6. 巩固练习
例1 设a，b，c，d都是不等于1的正数，函数①y=logax，②y=logbx，③y=logcx，④y=logdx在同一坐标系下的图象（如图1）所示，则（ ）
A. a>b>c>d B. a>b>d>c
C. b>a>c>d D. b>a>d>c
设计意图：这里需要探讨对数函数底数与图象之间的密切关系，通过类比不同底数在同一坐标系下函数的图象，进一步使学生掌握函数图象的特点，促进学生对函数图象的理解，体会数形结合的数学思想.
7. 函数性质的应用
例2 比较下列对数大小：
（1）log23.4与log28.5；
（2）log2与log32；
（3）log65与log56
设计意图：在对不同形式对数式的大小进行比较过程中，促进学生掌握对数函数图象，学会应用函数的单调性，体会数形结合的思想.
8. 回顾与小结
（1）对数函数与指数函数有什么联系？
（2）我们是通过什么样的方式来探究对数函数的图象与性质的？
（3）在探究对数函数的图象与性质过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？
设计意图：通过问题式的总结与反思，促进学生对学习过程的概括和对已有知识的重组.
关键词：对数函数；指数函数；对称关系
[?] 内容与内容解析
“对数函数及其性质”是高中数学函数内容的重点之一，它是解决实际问题的一个常用函数模型. 学习这块内容之前，学生已经学习了函数的基本概念和函数的基本性质，已有一定的函数基本知识，已为学习和探究基本初等函数打下了坚实基础；通过指数与指数函数的学习与探究，掌握了研究函数的一些基本方法与步骤；通过对数与对数运算的学习，对对数的概念有了一定的理解，明确了对数与指数之间的关系，为学习对数函数及其性质做好了基本的知识储备. 教材从具体的实际问题出发，引出对数函数模型，突出进一步学习对数函数的必要性；然后类比研究指数函数，从定义到图象再到性质的研究步骤，对对数函数展开具体研究，目的在于使学生掌握研究一个新函数的基本方法.
根据上述分析，确定教学重点为：（1）通过具体函数实例，结合函数的概念，理解对数函数的概念；（2）通过探究指数函数图象上点的坐标与对数函数图象上点的坐标之间的对称关系，探究对数函数图象与指数函数图象之间的对称关系，抽象出一般对数函数的图象；（3）类比指数函数性质的研究方法，对对数函数的性质进行归纳. 数学思想方法有：类比思想——指数函数与对数函数研究方法的类比；特殊到一般的方法——特殊对数函数的图象与性质到一般对数函数的图象与性质；数形结合思想——对数函数图象的特征与函数性质之间的联系；分类讨论的思想——对底数a不同取值的讨论.
目标与目标解析
1. 通过具体实际问题结合函数的概念和类比指数函数形式，理解对数函数的概念；结合指数、对数函数之间的值域与定义域的对称关系，理解对数函数底数a的范围要求、定义域、值域.
2. 通过探究指数、对数函数图象上点的坐标的相互关系，理解对数函数图象与指数函数图象之间关于直线y=x对称的性质. 应用对称性质作图并结合计算机作图，促进学生理解对数函数的图象，体会特殊到一般的研究方法.
3. 结合具体特殊函数的图象与性质，类比指数函数图象与性质，探究并掌握对数函数的性质，体会数形结合思想.
4. 通过例题探究，能够应用对数函数的单调性解决对数的大小比较问题，体会分类讨论思想.
[?] 教学问题诊断分析
1. 对数函数是高中学生学习的一个全新函数内容，符号的抽象性和复杂性也给学生对对数函数概念的理解带来一定的困难. 因此，从实际问题的函数模型与指、对数之间的关系两方面来帮助学生对对数函数概念的理解.
2. 学生在对数函数图象的作图过程中会存在一定的困难，充分利用指数函数的图象与指数对数之间的互逆关系，图象上点的对称关系，帮助学生理解对数函数的图象与指数函数图象之间的对称关系，并结合特殊对数函数的作图与计算机作图，帮助学生理解对数函数的图象.
3. 由图象概括对数函数的性质是本节课的难点，类比指数函数的图象与性质，结合特殊函数的图象与性质，帮助学生归纳和理解对数函数的性质.
4. 具体问题的解决过程中，学生容易遗漏定义域的要求，通过例题教学强化学生定义域的意识.
[?] 教学过程设计
1. 创设实际问题情境，激发学生认知需求
【问题情境1】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此类推，细胞分裂x次后得到的y个细胞，如果问“分裂多少次，细胞数可达到1万个，10万个，100万个……”，该问题如何解决？
预设：y与x的函数关系式：y=2x，x∈N*.
问题转化为：104=2x，105=2x，106=2x，…中分别求出x.
由对数式与指数式的相互逆运算y=2x?x=log2y，得到的结果：x=log2104，x=log2105，x=log2106，…
问题1：对于对应关系x=log2y，y可以取哪些值，对应的x又有哪些值？是否给定一个y的值，都有唯一的x与它对应呢？为什么？
问题2：根据函数的定义，x是y的函数吗？
函数y=2x是把x看做是自变量，上述的问题相当于是把y看做自变量.
【问题情境2】 如2.2.1的例6，考古学家一般是通过附着在出土文物、古遗址上死亡生物碳14的含量P，通过对应关系t=logP估算出土文物或古遗址年代的.
问题3：在对应关系下t=logP下，P可以取哪些值，对应的t又有哪些值？对每一个碳14的含量P都有唯一确定的年代t与它对应码？
问题4：根据函数的定义，t是P的函数吗？
设计意图：通过问题引导，结合指数、对数互逆运算的关系，体会真数与对数之间的一一对应关系，并结合函数的概念，让学生经历对数函数的概念形成过程，帮助学生理解对数函数的概念. 在实际问题的应用过程中，体会学习学习对数函数的必要性；体会对数函数与指数函数之间定义域与值域的相互对应关系.
对数函数：x=log2y，t=logP，其中自变量分别是y，P.
问题5：这两个函数都具有什么样的形式？
问题6：结合指数函数的概念，你能给出对数函数的形式化概念吗？
2. 对数函数的概念
预设：
问题7：对数函数规定a>0且a≠1的理由是什么？
设计意图：类比指数函数的形式化定义，给出对数函数的形式化定义，学生更容易接受；结合指数、对数相互关系，帮助学生进一步理解对数函数的概念，理解对数函数的定义域、值域与指数函数定义域、值域之间的关系，理解规定a>0且a≠1的合理性. 3. 概念辨析
对数函数：y=log2x，y=logx，y=lgx，y=lnx.
对数型函数：y=2log2x，y=log2x 1，y=log2（3x 1）.
设计意图：通过概念辨析，更好的理解对数函数的内涵与外延，对对数函数的形式特点有一个明确的认识.
4. 应用指、对数之间的关系探究对数函数图象
问题8：依据指数函数与对数函数之间的关系，若指数函数的图象过（c，d），则对数函数的图象必过哪一点？请举例说明.
预设：
设计意图：应用指数函数与对数函数的相互关系，探究两者图象上点坐标的密切关系，为探究两者图象的对称性打下基础.
探究1：根据具体实例，探究点（c，d）与点（d，c）之间的联系.
设计意图：通过两组具体点在坐标系中的位置，探究它们之间的共性——关于直线y=x对称.由特殊到一般的过程，得出点（c，d）与点（d，c）关于直线y=x对称的性质，进一步得到同底指数函数的图象与对数函数的图象关于直线y=x对称.
探究2：根据函数y=2x，y=
x图象与对数函数图象的对称性质，画出函数y=log2x，y=logx的图象.
探究3：根据指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象与对数函数图象的对称性质，画出函数y=logax（a>0且a≠1）的图象.
设计意图：让学生通过特殊指数函数的图象，与指对数函数图象之间的对称性，画出对应对数函数的图象，对对数函数图象有一个初步的印象. 然后由特殊到一般过程，根据图象的对称性，进一步探究一般对数函数图象的特点，为研究对数函数的性质打下基础.
应用几何画板作图，规范展示对称作图的过程（图略）.
问题9：指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象根据0
探究4：列举具体的对数函数，应用几何画板对两类函数图象进行验证.
设计意图：通过几何画板作出具体对数函数图象，与学生探究结果的两类对数函数图象进行比较，打消学生对对称作图所得到的对数函数是否准确的疑虑，促进学生对对数函数图象的理解.
5. 对数函数性质的探究
探究5：观察对数函数的图象，类比指数函数的性质，探究对数函数的性质
预设：
问题10：结合指数、对数函数图象的联系，你还能补充哪些性质？
设计意图：类比指数函数的图象与性质，结合特殊对数函数图象的特点与性质，帮助学生有效的概括和理解对数函数的图象与性质.通过类比，有效掌握指数函数与对数函数各自的图象与性质.
6. 巩固练习
例1 设a，b，c，d都是不等于1的正数，函数①y=logax，②y=logbx，③y=logcx，④y=logdx在同一坐标系下的图象（如图1）所示，则（ ）
A. a>b>c>d B. a>b>d>c
C. b>a>c>d D. b>a>d>c
设计意图：这里需要探讨对数函数底数与图象之间的密切关系，通过类比不同底数在同一坐标系下函数的图象，进一步使学生掌握函数图象的特点，促进学生对函数图象的理解，体会数形结合的数学思想.
7. 函数性质的应用
例2 比较下列对数大小：
（1）log23.4与log28.5；
（2）log2与log32；
（3）log65与log56
设计意图：在对不同形式对数式的大小进行比较过程中，促进学生掌握对数函数图象，学会应用函数的单调性，体会数形结合的思想.
8. 回顾与小结
（1）对数函数与指数函数有什么联系？
（2）我们是通过什么样的方式来探究对数函数的图象与性质的？
（3）在探究对数函数的图象与性质过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？
设计意图：通过问题式的总结与反思，促进学生对学习过程的概括和对已有知识的重组.