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摘 要：数学开放题被认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型，更是落实《义务教育数学课程标准（2011年）》中关于学生创新能力、思维能力培养的重要抓手。数学开放题的设计可以是信息开放、问题开放、策略开放、结论开放、综合开放的习题。关键词：开放习题;创造;思维
数学开放题的主要特征表现为题目的信息不够完备、结论不确定、问题指向不明、解题方法没有规定等。教学时精心设计开放题，不但有利于学生掌握和巩固所学的知识和技能，还可以开发个体潜能，有利于因材施教，扩大师生交流的空间，更是落实《义务教育数学课程标准（2011年）》中关于学生创新能力、思维能力培养的重要抓手。如何设计数学开放题呢？
一、信息开放
1.信息多余
设计信息多余的开放题，主要是通过适当增加题目的多余信息，扰乱学生的思维方向，对学生的解题造成一定的影响，学生必须对题目中的信息进行认真分析、合理筛选，然后选择最简捷、有用的信息进行解答。设计此类习题的目的在于培养学生思维的批判性，提高明辨是非、去伪存真的鉴别能力。如：小明家距学校1000米，小红家与学校的距离是小明家与学校的距离的2倍，两家之间的距离是800米，小明家与学校的距离是小红家与学校距离的百分之几？解法一：1000÷（1000×2）=1000÷2000=50%;解法二：1÷2=50%我们可以看出，在解法一中，“两家之间相距800米”是个多余的信息;在解法二中，“两家之间相距800米”和“小明家距学校1000米”两个信息都是多余的。这样的习题训练可防止学生滥用题中的信息，有助于提高学生分析信息和处理信息的能力。
2.信息不足
设计信息不足的开放题，主要是通过创设信息不充分的题目，让学生根据已有的知识和经验合理地补充信息，满足解题需要，从而产生多种不同的可能答案。目的在于培养学生思维的全面性和深刻性。如：学校图书室买来两种书，故事书900本，文艺书有多少本？题目出示后，当学生发现解题的已知信息不够时，老师启发他们：看谁补充的信息又多又新？学生异常兴奋，马上投入紧张的探索创新之中，多种信息多种解法接踵而至。①两种书共有1500本;②文艺书比故事书多（少）300本;③故事书比文艺书少（多）20%;④文艺书比故事书多（少）40%;⑤故事书与文艺书的比是4：5;⑥文艺书与两种书总数的比是5：9……学生不仅掌握了此类习题的结构特征，巩固了整数、分数、百分数、比的相关知识，起到一题多解、举一反三的功效，使知识串点成线、连线成网，而且使不同层次的学生在解决问题的情境中自由想象、任意驰骋，获得成功的体验，树立学习的自信心。
3.信息自选
设计信息自选的开放题，主要是让学生根据不同的解题方法，自由选择有用信息，题中给出的信息，可用可不用。编制此类习题的目的在于培养学生思维的灵活性。如：修路队要修一条1800米的路，前4天修了全长的20%，照这样计算，修完这条路需要几天？解答这道题目时，题目中的“1800米”这条信息，学生可以根据自己的解法灵活选择，可用可不用。列式为：①1800÷（1800×20%÷4）=
20（天）;②1÷（20%÷4）=20（天）;③4÷20%=20（天）……
4.信息自创
设计信息自创的开放题，主要通过教师提出问题或设计出数学模型，让学生依据提供的材料，自编自拟习题。目的在于培养学生思维的求同性和利用数学模型来解决实际问题的能力。如教学完乘法的分配律之后，可设计如下题目：请按照a×b a×c=a×（b c）的思路和列式方法自编一道实际问题。学生热情高涨，很快编出各种各样的实际问题。如：①小明买来钢笔和圆珠笔各5支，每支钢笔8元，每支圆珠笔3元，一共要付多少钱？②妈妈买来梨和苹果各2千克，每千克梨6元，每千克苹果5元，一共要付多少钱？③学校举行数学素养竞赛，四年级有8个班，五年级有10个班，每班各选出5名参加竞赛，两个年级共有多少名学生参加竞赛？
二、问题开放
1.隐性问题
隐性问题是相对于显性问题而言的，它是指蕴含于习题之中，没有给出具体的问题，需要学生开启思维，对习题进行重组加工而形成的问题。通过隐性问题的设计和解答，目的在于促使学生开启思维，切实感知和理解教材内容，培养和提高学生分析和解决问题的能力，培养学生思维的广阔性和创新性。如一个车间计划30天生产1500个零件，实际前5天就生产300个零件，照这样计算，能按时完成任务吗？引题激起学生装的好奇心和探索热情，学生思路开阔了，通过比较得出多种解法。①实际30天生产的零件与计划比：300÷5×30=1800>1500;②实际5天生产的零件与计划比：300>
1500÷30×5=250;③按实际工效与计划工效比：300÷5=60>1500÷30=50;④按实际工效来完成任务所用的时间与实际时间的比：1500÷（300÷5）=25天<
30天;⑤按计划工效来完成300个零件所用的时间与实际时间比：300÷（1500÷30）=6天>5天……
2.自设问题
自设问题是题目给出相关的信息，而所要解决的问题由学生自己设计。目的在于以人为本，面向全体学生，培养学生依据自己的学习水平提出不同问题的能力，培养思维的发散性。如：向阳小学有男生1200人，女生800人，__________？（你能根据所学的知识，提出不同的问题吗？看谁提出的问题又对又多？）学生积极投入，踊跃发言：①男生人数是女生人数的几倍或百分之几？②女生人数是男生人数的几（百）分之几？③女生人数比男生人数少几（百）分之几？④男生人数比女生人数多几（百）分之几？⑤男生人数占全校学生总数的几（百）分之几？⑥女生人数与全校学生总数的比是多少……
通过一题多问，促使学生多角度、多方位考虑问题，不断变化观察角度和思维方向，从而开阔思路。学习较差的学生可以弥补缺欠知识，能力较强的同学有发挥潜能的机会，同时发挥了群体功能，提高课堂教学效率。 三、策略开放
由于每个学生都有自己的生活背景、家庭环境和社会文化氛围，导致不同的学生有不同的思维方式、解决问题的策略和不同的基础、智力、性格等。因此设计策略开放的习题，有助于关注学生个体差异，使不同的人在数学上都得到不同的发展;诱导学生将所学知识融会贯通，善于从不同角度、不同侧面去探索，产生尽可能多、尽可能新、尽可能独特的解题策略，提高数学交流活动的参与量，扩大参与空间，提高课堂教学效率，培养学生思维的求佳性、简捷性。如学习完比例尺之后，我设计了这样一道习题：“在比例尺是1∶5000000的福建省地图上，量得安溪到厦门的距离是2厘米，计算一下，安溪到厦门的实际距离大约是多少千米（你能想出几种解法）？”课堂上，同学们学习热情高涨，各抒己见，想出了多种解题策略：①按比例分配：5000000÷1×2;②根据比例尺的意义列比例解。解：设实际距离为X厘米，2∶X=1∶5000000;
③倍比法：5000000×（2÷1）;④分数
解：2÷（1∶5000000）;⑤按线段比例尺
的知识：5000000厘米=50千米，50×2=
100（千米）……通过交流，让学生自我评价、取长补短，自我完善、自我提高。
四、结论开放
由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不能得到唯一答案。因此有意识设计结果开放习题，引导学生在已知条件不变的前提下，联系生活实际，探索多种可能结论，摆脱答案唯一的僵化思维模式，培养学生的创新意识和应用意识。
如：一次，张红、李英、陈婷三位朋友合乘一辆出租车，大家商定，出租车费一定要合理分摊，张红在全程三分之一处下车，到三分之二处，李英也下车，最后陈婷一个人坐到终点，付出45元车费，他们三人如何承担车费比较合理？学生通过独立思考和合作交流，出现了经下几种方案：
方案一：根据一般情况，车费是按所坐车程的长短来确定的，坐的路程越长，车费就付得多;坐的路程越短，车费就付得少。因此可以按路程比来合理分摊车费。三人坐车的路程比是1∶2∶3，所以张红应付45÷6=7.5（元）;李英应付45÷6×2=15（元）;陈婷应付45÷6×3=22.5（元）。
方案二：因为三个人是好朋友，又不是太多的钱，即使谁付都行，也不在乎谁多付点，谁少付一点，因此就平均分摊车费，每人付45÷3=15（元）。
方案三：由于三人在三个不同的地点下车，可以把总路程分成三段，每段15元，每段路所花的钱平均分摊。第一段路三人都坐，每人应付15÷3=
5（元）;第二段路李英和陈婷坐，两人各付7.5元;第三段路只有陈婷一人坐，所以陈要再付15元。这样每人分摊的车费分别是：张红付5元;李英付12.5元;陈婷付27.5元。
五、综合开放
综合开放题指的是信息、问题、结论或解法中具有多种开放的习题，目的在于培养学生根据具体问题或实际情境，综合运用知识和方法解决实际问题的能力。如：教完因数和倍数后，我设计一道这样的综合开放题作为本课结尾。“学说话，根据所学的知识选择2、5和10中的两个数说一句话，比比看，谁说得又多又新？”同学们争先恐后地说道：“10是5的倍数，5是10的因数，2也是10的因数”“10能被5整除，5能整除10”“10能被5除尽，5能被10除尽”“5是2的2.5倍”……本习题的设计信息是开放的、问题是开放的、策略是开放的、结论也是开放的，通过学说话，让学生沟通了新旧知识间的联系与区别，强化所学的知识，活跃了课堂气氛，把整节课推向高潮。通过联想，优等生能说上十几句，学困生也能说上三两句，既实施了因材施教原则，又充分体现了教学的民主性，留给学生选择的余地和探索的空间，培养了学生的创新能力。
总之，开放性习题的设计应改变一成不变的呈现方式，遵循参与对象的层次性、问题内容的宽广性、设计角度动态性、解答策略多样性等原则。善于制造认知空隙，拓宽学生的思维空间，让学生在解题中形成自主探索和大胆创新的心理势态，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，能综合运用数学知识解决简单的实际问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，增强应用意识，提高实践能力和创新能力。
（作者单位：福建省安溪县实验小学）
数学开放题的主要特征表现为题目的信息不够完备、结论不确定、问题指向不明、解题方法没有规定等。教学时精心设计开放题，不但有利于学生掌握和巩固所学的知识和技能，还可以开发个体潜能，有利于因材施教，扩大师生交流的空间，更是落实《义务教育数学课程标准（2011年）》中关于学生创新能力、思维能力培养的重要抓手。如何设计数学开放题呢？
一、信息开放
1.信息多余
设计信息多余的开放题，主要是通过适当增加题目的多余信息，扰乱学生的思维方向，对学生的解题造成一定的影响，学生必须对题目中的信息进行认真分析、合理筛选，然后选择最简捷、有用的信息进行解答。设计此类习题的目的在于培养学生思维的批判性，提高明辨是非、去伪存真的鉴别能力。如：小明家距学校1000米，小红家与学校的距离是小明家与学校的距离的2倍，两家之间的距离是800米，小明家与学校的距离是小红家与学校距离的百分之几？解法一：1000÷（1000×2）=1000÷2000=50%;解法二：1÷2=50%我们可以看出，在解法一中，“两家之间相距800米”是个多余的信息;在解法二中，“两家之间相距800米”和“小明家距学校1000米”两个信息都是多余的。这样的习题训练可防止学生滥用题中的信息，有助于提高学生分析信息和处理信息的能力。
2.信息不足
设计信息不足的开放题，主要是通过创设信息不充分的题目，让学生根据已有的知识和经验合理地补充信息，满足解题需要，从而产生多种不同的可能答案。目的在于培养学生思维的全面性和深刻性。如：学校图书室买来两种书，故事书900本，文艺书有多少本？题目出示后，当学生发现解题的已知信息不够时，老师启发他们：看谁补充的信息又多又新？学生异常兴奋，马上投入紧张的探索创新之中，多种信息多种解法接踵而至。①两种书共有1500本;②文艺书比故事书多（少）300本;③故事书比文艺书少（多）20%;④文艺书比故事书多（少）40%;⑤故事书与文艺书的比是4：5;⑥文艺书与两种书总数的比是5：9……学生不仅掌握了此类习题的结构特征，巩固了整数、分数、百分数、比的相关知识，起到一题多解、举一反三的功效，使知识串点成线、连线成网，而且使不同层次的学生在解决问题的情境中自由想象、任意驰骋，获得成功的体验，树立学习的自信心。
3.信息自选
设计信息自选的开放题，主要是让学生根据不同的解题方法，自由选择有用信息，题中给出的信息，可用可不用。编制此类习题的目的在于培养学生思维的灵活性。如：修路队要修一条1800米的路，前4天修了全长的20%，照这样计算，修完这条路需要几天？解答这道题目时，题目中的“1800米”这条信息，学生可以根据自己的解法灵活选择，可用可不用。列式为：①1800÷（1800×20%÷4）=
20（天）;②1÷（20%÷4）=20（天）;③4÷20%=20（天）……
4.信息自创
设计信息自创的开放题，主要通过教师提出问题或设计出数学模型，让学生依据提供的材料，自编自拟习题。目的在于培养学生思维的求同性和利用数学模型来解决实际问题的能力。如教学完乘法的分配律之后，可设计如下题目：请按照a×b a×c=a×（b c）的思路和列式方法自编一道实际问题。学生热情高涨，很快编出各种各样的实际问题。如：①小明买来钢笔和圆珠笔各5支，每支钢笔8元，每支圆珠笔3元，一共要付多少钱？②妈妈买来梨和苹果各2千克，每千克梨6元，每千克苹果5元，一共要付多少钱？③学校举行数学素养竞赛，四年级有8个班，五年级有10个班，每班各选出5名参加竞赛，两个年级共有多少名学生参加竞赛？
二、问题开放
1.隐性问题
隐性问题是相对于显性问题而言的，它是指蕴含于习题之中，没有给出具体的问题，需要学生开启思维，对习题进行重组加工而形成的问题。通过隐性问题的设计和解答，目的在于促使学生开启思维，切实感知和理解教材内容，培养和提高学生分析和解决问题的能力，培养学生思维的广阔性和创新性。如一个车间计划30天生产1500个零件，实际前5天就生产300个零件，照这样计算，能按时完成任务吗？引题激起学生装的好奇心和探索热情，学生思路开阔了，通过比较得出多种解法。①实际30天生产的零件与计划比：300÷5×30=1800>1500;②实际5天生产的零件与计划比：300>
1500÷30×5=250;③按实际工效与计划工效比：300÷5=60>1500÷30=50;④按实际工效来完成任务所用的时间与实际时间的比：1500÷（300÷5）=25天<
30天;⑤按计划工效来完成300个零件所用的时间与实际时间比：300÷（1500÷30）=6天>5天……
2.自设问题
自设问题是题目给出相关的信息，而所要解决的问题由学生自己设计。目的在于以人为本，面向全体学生，培养学生依据自己的学习水平提出不同问题的能力，培养思维的发散性。如：向阳小学有男生1200人，女生800人，__________？（你能根据所学的知识，提出不同的问题吗？看谁提出的问题又对又多？）学生积极投入，踊跃发言：①男生人数是女生人数的几倍或百分之几？②女生人数是男生人数的几（百）分之几？③女生人数比男生人数少几（百）分之几？④男生人数比女生人数多几（百）分之几？⑤男生人数占全校学生总数的几（百）分之几？⑥女生人数与全校学生总数的比是多少……
通过一题多问，促使学生多角度、多方位考虑问题，不断变化观察角度和思维方向，从而开阔思路。学习较差的学生可以弥补缺欠知识，能力较强的同学有发挥潜能的机会，同时发挥了群体功能，提高课堂教学效率。 三、策略开放
由于每个学生都有自己的生活背景、家庭环境和社会文化氛围，导致不同的学生有不同的思维方式、解决问题的策略和不同的基础、智力、性格等。因此设计策略开放的习题，有助于关注学生个体差异，使不同的人在数学上都得到不同的发展;诱导学生将所学知识融会贯通，善于从不同角度、不同侧面去探索，产生尽可能多、尽可能新、尽可能独特的解题策略，提高数学交流活动的参与量，扩大参与空间，提高课堂教学效率，培养学生思维的求佳性、简捷性。如学习完比例尺之后，我设计了这样一道习题：“在比例尺是1∶5000000的福建省地图上，量得安溪到厦门的距离是2厘米，计算一下，安溪到厦门的实际距离大约是多少千米（你能想出几种解法）？”课堂上，同学们学习热情高涨，各抒己见，想出了多种解题策略：①按比例分配：5000000÷1×2;②根据比例尺的意义列比例解。解：设实际距离为X厘米，2∶X=1∶5000000;
③倍比法：5000000×（2÷1）;④分数
解：2÷（1∶5000000）;⑤按线段比例尺
的知识：5000000厘米=50千米，50×2=
100（千米）……通过交流，让学生自我评价、取长补短，自我完善、自我提高。
四、结论开放
由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不能得到唯一答案。因此有意识设计结果开放习题，引导学生在已知条件不变的前提下，联系生活实际，探索多种可能结论，摆脱答案唯一的僵化思维模式，培养学生的创新意识和应用意识。
如：一次，张红、李英、陈婷三位朋友合乘一辆出租车，大家商定，出租车费一定要合理分摊，张红在全程三分之一处下车，到三分之二处，李英也下车，最后陈婷一个人坐到终点，付出45元车费，他们三人如何承担车费比较合理？学生通过独立思考和合作交流，出现了经下几种方案：
方案一：根据一般情况，车费是按所坐车程的长短来确定的，坐的路程越长，车费就付得多;坐的路程越短，车费就付得少。因此可以按路程比来合理分摊车费。三人坐车的路程比是1∶2∶3，所以张红应付45÷6=7.5（元）;李英应付45÷6×2=15（元）;陈婷应付45÷6×3=22.5（元）。
方案二：因为三个人是好朋友，又不是太多的钱，即使谁付都行，也不在乎谁多付点，谁少付一点，因此就平均分摊车费，每人付45÷3=15（元）。
方案三：由于三人在三个不同的地点下车，可以把总路程分成三段，每段15元，每段路所花的钱平均分摊。第一段路三人都坐，每人应付15÷3=
5（元）;第二段路李英和陈婷坐，两人各付7.5元;第三段路只有陈婷一人坐，所以陈要再付15元。这样每人分摊的车费分别是：张红付5元;李英付12.5元;陈婷付27.5元。
五、综合开放
综合开放题指的是信息、问题、结论或解法中具有多种开放的习题，目的在于培养学生根据具体问题或实际情境，综合运用知识和方法解决实际问题的能力。如：教完因数和倍数后，我设计一道这样的综合开放题作为本课结尾。“学说话，根据所学的知识选择2、5和10中的两个数说一句话，比比看，谁说得又多又新？”同学们争先恐后地说道：“10是5的倍数，5是10的因数，2也是10的因数”“10能被5整除，5能整除10”“10能被5除尽，5能被10除尽”“5是2的2.5倍”……本习题的设计信息是开放的、问题是开放的、策略是开放的、结论也是开放的，通过学说话，让学生沟通了新旧知识间的联系与区别，强化所学的知识，活跃了课堂气氛，把整节课推向高潮。通过联想，优等生能说上十几句，学困生也能说上三两句，既实施了因材施教原则，又充分体现了教学的民主性，留给学生选择的余地和探索的空间，培养了学生的创新能力。
总之，开放性习题的设计应改变一成不变的呈现方式，遵循参与对象的层次性、问题内容的宽广性、设计角度动态性、解答策略多样性等原则。善于制造认知空隙，拓宽学生的思维空间，让学生在解题中形成自主探索和大胆创新的心理势态，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，能综合运用数学知识解决简单的实际问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，增强应用意识，提高实践能力和创新能力。
（作者单位：福建省安溪县实验小学）