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江苏如东马塘中学
摘要：笔者结合自己的教学经验，提出了在新课堂中，通过定理、公式的发现和论证来开展研究性学习;在习题课中，用探究式教学方式来开展研究性学习，通过开放性试题来开展研究性学习；通过作业来开展研究性学习；研究性教学方法，相信对高中数学教学有借鉴作用.
关键词：高中数学；研究性学习；探究式；开放性试题
研究性学习课程是指学生在教师指导下，根据选定的课题，以个人或小组为单位，通过研究问题并主动获取知识和应用知识的一门课程，它与传统课程相比较具有很大的不同. 研究性学习旨在改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，多提供获取知识的渠道，并提供将学到的知识加以综合并应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力. 而目前，高中数学教学中进行的研究性学习浮于表面. 对于新教材中关于研究性学习的课题，大多数教师并没有按照研究性学习的方式让学生亲历知识的发现、检验与论证，而是采用变相灌输的方式促使学生记住结论而已.
正因为如此，本文就高中数学研究性学习的教学策略提出一些见解. 数学研究性学习包括数学应用和数学探究，本文只针对数学探究型研究性学习进行讨论. 实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，关键是改变教师的教学方式和学生的学习方式，从而更好地渗透新课程的理念.
[⇩]在新课中，通过定理、公式的发现和论证来开展研究性学习
讲授新课时，把定理、公式、例题等作为研究的对象让学生自己去发现、检验、论证甚至推广，亲身经历知识的形成、发展过程. 如：对数的性质，根据指数与对数的关系，让学生作出猜测，然后进行检验；在圆锥曲线的学习中，学过椭圆之后，双曲线、抛物线的标准方程和几何性质可以让学生探究学习.
例1 在圆锥曲线统一定义的教学中，若按高中数学新教材选修1-1第42页图形教学，会使学生感到困惑：为什么会在曲线外出现这样一条直线？如何想到利用这种方式给曲线下定义呢？用其他方式来定义可以吗？还存在其他定义吗？不管教师怎么讲，学生都是难以实现知识的同化与顺应的. 为了突破这个教学难点，教师可以引导学生对以椭圆为例的标准方程的推导过程，从方程a2－cx=a·入手，提出问题：此等式除了平方外，还可以如何变形？
很自然地，有同学就会给出=a－x，即=
-x，变形得=.
再让学生自己完成双曲线与抛物线的定义，这样学生就能很自然地接受圆锥曲线的统一定义，同时对准线也有了清晰的认识. 教师抓住时机，接着提出以下研究性课题：
由椭圆第二定义推导焦半径公式.
通过对圆锥曲线的定义的研究性学习，使学生获得了亲历实践的体验与感悟. 学生不仅牢固地掌握了本节知识，还获得了成功的喜悦，有利于培养学生善于质疑、乐于探索、勇于实践、积极向上的精神.
[⇩]在习题课中，用探究式教学方式来开展研究性学习
探究式教学方式是以探究为主的教学，是指教学过程中在教师的启发诱导下，以学生独立学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式. 它是一种教师和学生共同开展的模拟性的科学研究活动，是最好的研究性学习方式之一.
例2教师可以精心设计一堂习题课，给出一些习题：
（1）求数列9，99，999，9 999，…的前n项和.
通过教师的提示，学生的思考和讨论，能给出结论
Sn=9+99+999+…+99…9=（10－1）+（100－1）+（1 000－1）+…+（10n－1）=（10+102+103+…+10n）－n=.
问题解决后教师趁机点评：对于这样一类既不是等差也不是等比的数列的求和问题可以运用转化的方法把它转化为我们比较熟悉的等差或等比数列来求和. 同时提出下一个问题.
（2）求数列3，33，333，…的前n项和.
通过讨论，学生会想到解决问题的方法：把3转化为9，
Sn=3+33+333+…+33…33⇒3Sn=9+99+999+…+99…9=，
所以Sn=.
此时，学生可能已经想到更一般的问题了，如Sn=5+55+555+…+55…5怎么求？
同样的可以通过转化得到Sn=9+99+999+…+99…9=，
所以Sn=.
这样一来，所有数字都可以解决了. 此时，学生的思维已经非常活跃，教师可以再提问（或许学生会主动提出类似问题）.
（3）求12，1 212，121 212，…的前n项和.
这里出现两个数字重复，展开讨论. 在教师和学生的共同合作下，学生们开始探索：
Sn=12+1 212+121 212+…+1 212…12=12+（12+12×102）+（12+12×102+12×104）+…+（12+12×102+12×104+…+12×102（n-1））=n×12+（n－1）×12×102+（n－2）×12×104+…+12×102（n-1）.
学生会想到用错位相减法可求得和Sn=
-n.
让学生的思想再发散开去，他们会想到如果是三位数，四位数重复该怎么求呢？如123+123 123+123 123 123+…
可鼓励学生得出答案Sn=·
-n.
猜想：重复数字是k位时，Sn=·
-n（a为k位数）.
这些都可以让学生课后进一步去验证.
[⇩]通过开放性试题来开展研究性学习
数学开放题具有促使学生获得科学的思维方法、优良的思维品质和正确的数学观，提高数学表达能力等多种教育功能. 在开放题的教学中，学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现. 学生不再是“装”数学，而是“搞”数学，这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程（尽管两者完全不同），深切体会数学的实质. 因此，数学开放题用于学生的研究性学习是十分有意义的. 比如，有两个二面角，他们的面对应平行，仔细观察你能得到哪些结论？试说明或证明之.
策略：隐去结论，让学生猜测，并检验.
例3 直线y=2x+m与抛物线y=x2相交于A，B两点，求直线AB的方程. （要求补充恰当的条件，使直线方程得以确定）
此题一出，学生的思维就活跃起来，学生们补充的条件可能有：（1）已知AB=a；（2）若O为原点，∠AOB=90°；（3）AB中点的纵坐标为6；（4）AB过抛物线的焦点F……
所涉及的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线焦点坐标、两直线相互垂直的充要条件等. 所以，数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感.
[⇩]通过作业来开展研究性学习
数学作业是巩固、深化、应用课堂知识并使知识转化为技能技巧的常用手段，它是课堂教学延伸的一个重要组成部分，它对培养学生独立思考能力和自主学习习惯、发展学生的心智和创造才能具有重要意义. 为了更好实现“增加研究性学习和习作性作业等内容，强调数学表达和论述的能力”的新课程理念，高中数学作业的内容、形式、目的、评价应有新的创新.
课前的调查研究和课后的总结反思，都是开展研究性学习的一个好方法，我们可以在作业中增加提出新问题的作业、调查式的作业等等.
例4 在高一新课程教材必修⑤中，第43页，探究与发现内容“教育储蓄，分期付款，购房中的数学”，这是数列的应用内容，教师可以好好应用这一内容开展研究性学习. 要上好这一内容，教师可以在课前布置一些作业，让学生去查阅资料，搞清几个概念，如：“什么是教育储蓄？”“什么是助学贷款？”“等额本金与等额本息两种贷款方式的区别？单利与复利的区别？”如果学生的准备工作做充分了，那么教师在课堂上就容易展开讨论，让学生们能同时享受到自己和别人的调查结果. 当教师在课堂内用例子让学生用两种不同的贷款方式计算后，学生就能更好地了解和掌握等额本金和等额本息的贷款方式，当然最重要的是让学生体会到了等差数列和等比数列的实际应用. 等差数列和等比数列的性质就可以用类比法，让学生自己总结出来.
课后，教师可以布置类似的练习题用来巩固知识，同时可以布置一些特殊的作业，如让学生反思总结.
“这节课使我感触最深的是……”
“我感到最困难的是……”
“我学会了……”
“我发现了生活中……”
生活中有数学，数学就在身边！
学生通过这些作业能更好地理解数学知识的实际应用价值，也能更好地在生活中发掘与数学有关的内容. 经常开展这些有意义的数学研究性学习，能真真切切地提高学生对数学的学习兴趣，提高数学知识的应用能力.
研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类. 作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥. 实践证明，利用新课、习题课或作业等形式开展研究性学习是合适的.
总之，作为教育改革的新事物，研究性学习还有很多值得重视与探讨的问题. 笔者认为，传统的数学教学应融入研究性学习这一新的教学形式是不容置疑的，至于究竟该如何进行还需要进一步的探讨.
摘要：笔者结合自己的教学经验，提出了在新课堂中，通过定理、公式的发现和论证来开展研究性学习;在习题课中，用探究式教学方式来开展研究性学习，通过开放性试题来开展研究性学习；通过作业来开展研究性学习；研究性教学方法，相信对高中数学教学有借鉴作用.
关键词：高中数学；研究性学习；探究式；开放性试题
研究性学习课程是指学生在教师指导下，根据选定的课题，以个人或小组为单位，通过研究问题并主动获取知识和应用知识的一门课程，它与传统课程相比较具有很大的不同. 研究性学习旨在改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，多提供获取知识的渠道，并提供将学到的知识加以综合并应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力. 而目前，高中数学教学中进行的研究性学习浮于表面. 对于新教材中关于研究性学习的课题，大多数教师并没有按照研究性学习的方式让学生亲历知识的发现、检验与论证，而是采用变相灌输的方式促使学生记住结论而已.
正因为如此，本文就高中数学研究性学习的教学策略提出一些见解. 数学研究性学习包括数学应用和数学探究，本文只针对数学探究型研究性学习进行讨论. 实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，关键是改变教师的教学方式和学生的学习方式，从而更好地渗透新课程的理念.
[⇩]在新课中，通过定理、公式的发现和论证来开展研究性学习
讲授新课时，把定理、公式、例题等作为研究的对象让学生自己去发现、检验、论证甚至推广，亲身经历知识的形成、发展过程. 如：对数的性质，根据指数与对数的关系，让学生作出猜测，然后进行检验；在圆锥曲线的学习中，学过椭圆之后，双曲线、抛物线的标准方程和几何性质可以让学生探究学习.
例1 在圆锥曲线统一定义的教学中，若按高中数学新教材选修1-1第42页图形教学，会使学生感到困惑：为什么会在曲线外出现这样一条直线？如何想到利用这种方式给曲线下定义呢？用其他方式来定义可以吗？还存在其他定义吗？不管教师怎么讲，学生都是难以实现知识的同化与顺应的. 为了突破这个教学难点，教师可以引导学生对以椭圆为例的标准方程的推导过程，从方程a2－cx=a·入手，提出问题：此等式除了平方外，还可以如何变形？
很自然地，有同学就会给出=a－x，即=
-x，变形得=.
再让学生自己完成双曲线与抛物线的定义，这样学生就能很自然地接受圆锥曲线的统一定义，同时对准线也有了清晰的认识. 教师抓住时机，接着提出以下研究性课题：
由椭圆第二定义推导焦半径公式.
通过对圆锥曲线的定义的研究性学习，使学生获得了亲历实践的体验与感悟. 学生不仅牢固地掌握了本节知识，还获得了成功的喜悦，有利于培养学生善于质疑、乐于探索、勇于实践、积极向上的精神.
[⇩]在习题课中，用探究式教学方式来开展研究性学习
探究式教学方式是以探究为主的教学，是指教学过程中在教师的启发诱导下，以学生独立学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式. 它是一种教师和学生共同开展的模拟性的科学研究活动，是最好的研究性学习方式之一.
例2教师可以精心设计一堂习题课，给出一些习题：
（1）求数列9，99，999，9 999，…的前n项和.
通过教师的提示，学生的思考和讨论，能给出结论
Sn=9+99+999+…+99…9=（10－1）+（100－1）+（1 000－1）+…+（10n－1）=（10+102+103+…+10n）－n=.
问题解决后教师趁机点评：对于这样一类既不是等差也不是等比的数列的求和问题可以运用转化的方法把它转化为我们比较熟悉的等差或等比数列来求和. 同时提出下一个问题.
（2）求数列3，33，333，…的前n项和.
通过讨论，学生会想到解决问题的方法：把3转化为9，
Sn=3+33+333+…+33…33⇒3Sn=9+99+999+…+99…9=，
所以Sn=.
此时，学生可能已经想到更一般的问题了，如Sn=5+55+555+…+55…5怎么求？
同样的可以通过转化得到Sn=9+99+999+…+99…9=，
所以Sn=.
这样一来，所有数字都可以解决了. 此时，学生的思维已经非常活跃，教师可以再提问（或许学生会主动提出类似问题）.
（3）求12，1 212，121 212，…的前n项和.
这里出现两个数字重复，展开讨论. 在教师和学生的共同合作下，学生们开始探索：
Sn=12+1 212+121 212+…+1 212…12=12+（12+12×102）+（12+12×102+12×104）+…+（12+12×102+12×104+…+12×102（n-1））=n×12+（n－1）×12×102+（n－2）×12×104+…+12×102（n-1）.
学生会想到用错位相减法可求得和Sn=
-n.
让学生的思想再发散开去，他们会想到如果是三位数，四位数重复该怎么求呢？如123+123 123+123 123 123+…
可鼓励学生得出答案Sn=·
-n.
猜想：重复数字是k位时，Sn=·
-n（a为k位数）.
这些都可以让学生课后进一步去验证.
[⇩]通过开放性试题来开展研究性学习
数学开放题具有促使学生获得科学的思维方法、优良的思维品质和正确的数学观，提高数学表达能力等多种教育功能. 在开放题的教学中，学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现. 学生不再是“装”数学，而是“搞”数学，这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程（尽管两者完全不同），深切体会数学的实质. 因此，数学开放题用于学生的研究性学习是十分有意义的. 比如，有两个二面角，他们的面对应平行，仔细观察你能得到哪些结论？试说明或证明之.
策略：隐去结论，让学生猜测，并检验.
例3 直线y=2x+m与抛物线y=x2相交于A，B两点，求直线AB的方程. （要求补充恰当的条件，使直线方程得以确定）
此题一出，学生的思维就活跃起来，学生们补充的条件可能有：（1）已知AB=a；（2）若O为原点，∠AOB=90°；（3）AB中点的纵坐标为6；（4）AB过抛物线的焦点F……
所涉及的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线焦点坐标、两直线相互垂直的充要条件等. 所以，数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感.
[⇩]通过作业来开展研究性学习
数学作业是巩固、深化、应用课堂知识并使知识转化为技能技巧的常用手段，它是课堂教学延伸的一个重要组成部分，它对培养学生独立思考能力和自主学习习惯、发展学生的心智和创造才能具有重要意义. 为了更好实现“增加研究性学习和习作性作业等内容，强调数学表达和论述的能力”的新课程理念，高中数学作业的内容、形式、目的、评价应有新的创新.
课前的调查研究和课后的总结反思，都是开展研究性学习的一个好方法，我们可以在作业中增加提出新问题的作业、调查式的作业等等.
例4 在高一新课程教材必修⑤中，第43页，探究与发现内容“教育储蓄，分期付款，购房中的数学”，这是数列的应用内容，教师可以好好应用这一内容开展研究性学习. 要上好这一内容，教师可以在课前布置一些作业，让学生去查阅资料，搞清几个概念，如：“什么是教育储蓄？”“什么是助学贷款？”“等额本金与等额本息两种贷款方式的区别？单利与复利的区别？”如果学生的准备工作做充分了，那么教师在课堂上就容易展开讨论，让学生们能同时享受到自己和别人的调查结果. 当教师在课堂内用例子让学生用两种不同的贷款方式计算后，学生就能更好地了解和掌握等额本金和等额本息的贷款方式，当然最重要的是让学生体会到了等差数列和等比数列的实际应用. 等差数列和等比数列的性质就可以用类比法，让学生自己总结出来.
课后，教师可以布置类似的练习题用来巩固知识，同时可以布置一些特殊的作业，如让学生反思总结.
“这节课使我感触最深的是……”
“我感到最困难的是……”
“我学会了……”
“我发现了生活中……”
生活中有数学，数学就在身边！
学生通过这些作业能更好地理解数学知识的实际应用价值，也能更好地在生活中发掘与数学有关的内容. 经常开展这些有意义的数学研究性学习，能真真切切地提高学生对数学的学习兴趣，提高数学知识的应用能力.
研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类. 作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥. 实践证明，利用新课、习题课或作业等形式开展研究性学习是合适的.
总之，作为教育改革的新事物，研究性学习还有很多值得重视与探讨的问题. 笔者认为，传统的数学教学应融入研究性学习这一新的教学形式是不容置疑的，至于究竟该如何进行还需要进一步的探讨.