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一、填空题
1.已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∥β，aα，则a∥β；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；
④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
其中正确的命题的序号是.
2.离心率为53且与椭圆y240 x215=1有公共焦点的双曲线方程为.
3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为.
4.设过抛物线x2=py（p≠0）的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两交点的横坐标为x1，x2，则x1x2=.
5.已知椭圆x24 y23=1，F1，F2为其左右焦点，P为椭圆上一点，若PF2=32，则PF1=.
6.若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为.
7.设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点，且经过点（2，2），则该椭圆的离心率为.
8.已知单位圆被两条平行直线l1：x-y a=0，l2：x-y b=0分成四段长度相等的圆弧，则a2 b2=.
9.若圆C过直线2x y 4=0和圆（x 1）2 （y-2）2=4的交点，则圆C面积的最小值为.
10.如图，点A是椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于B、C两点，满足BC=2AB，AB⊥BC.则该椭圆的离心率为.
11.已知圆C1：x2 y2=4和圆C2：x2 y2-ay-6=0（a>0）的公共弦长为23，则a=.
12.椭圆x212 y23=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1交y轴于Q，且PQ=13PF1，则PF1PF2=.
13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，则该三角形面积的最大值为.
14.椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的右顶点为A，右焦点为F，P是椭圆上在第一象限内的一点，且PF⊥x轴，B为椭圆的下顶点，BP交x轴于Q，且PA=PQ，则椭圆的离心率为.
二、解答题
15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD的中点，M是B1C1的中点.
（1）求证：平面OCC1⊥平面ODD1；
（2）求证：平面ABM∥平面OC1D1.
16.如图，F1，F2分别为椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，且满足∠F1AF2=90°.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若△ABF1面积为4，求椭圆C的标准方程.
17.有一隧道内设双行线公路（中间有护栏隔开），其截面是由一长方形ABCD和一以CD为直径的半圆弧构成，如图所示.已知AB=10m，AC=2m.要保证安全，要求车辆（车辆截面设为矩形）
顶部在竖直方向距离隧道顶部的距离和车辆距离护栏距离均不小于0.5m.（护栏宽度忽略不计）
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求半圆弧CED所在圆的方程；
（2）问现有一辆载重汽车宽3.5m，高4.2m，能否保证安全通过隧道？
18.已知平面直角坐标系上的定点A（1，0）、B（4，0），若动点P满足PB=2PA.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（-2，0）作直线l1、l2与曲线C分别交于两个不同的点M、N（点M、N异于点Q），若直线l1、l2斜率分别为k1、k2，且k1k2=2，判断直线MN是否经过定点.若是，求出此点的坐标；否则说明理由.
19.设椭圆M：x2a2 y2b2=1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为12，左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.
（1）求椭圆M方程；
（2）若直线l：y=kx与椭圆M交于A，B两点，与以F1O为直径的圆交于C，O两点，且满足|AB||CO|=6155，求直线l的方程.
20.如图，椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x0，y0）为椭圆上的一点（P与A不重合），且PA⊥PF.
（1）若x0=a2，求椭圆的离心率；
（2）若P到椭圆右准线的距离为d1，A到右准线的距离为d2，且d1=12d2，椭圆经过点M（1，66），求椭圆的方程.
理科选做题
21.已知E，F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD和AD上的点，CE=ED，DF=2FA，求：
（1）B1A与EF所成角的余弦；
（2）试在直线B1B上確定一点M，使得二面角D1EFM为直二面角.
22.在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM·PF=0，PM PN=0.
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0.求证：k1 k2=2k0.
参考答案
一、填空题
1.①④
2.y29-x216=1
3.1256π
4.-p24 5.52
6.3x2-y2=1
7.22
8.2
9.4π5
10.63
11.2
12.115
13.43
14.22
二、解答题
15.证明：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，
∴CO⊥DO，
又∵DD1⊥面ABCD，CO面ABCD，
∴DD1⊥CO，
∵DD1∩DO=D，DD1，DO面ODD1，
∴CO⊥面ODD1，CO面OCC1，
∴面OCC1⊥面ODD1.
（2）取C1D1的中点，记为N，连结ON，
∵C1D1∥CD，CD∥AB，∴C1D1∥AB，
又C1D1面ABM，AB面ABM，
∴C1D1∥面ABM，
∵M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
∴MN∥B1D1，MN=12B1D1，
又∵B1D1∥BD，B1D1=BD，
∴MN∥OB，MN=OB，∴四边形OBMN是平行四边形，
∴BM∥ON，ON面ABM，BM面ABM，
∴ON∥面ABM，
又ON∩C1D1=N，ON，C1D1面OC1D1，
∴面ABM∥面OC1D1.
16.（1）因为∠F1AF2=90°，
所以b=c，
所以a=2c，
所以e=22.
（2）y=-x cx2 2y2=2c2
得B（43c，-c3），
S△ABF1=12F1F2|yA-yB|=c×4c3=4，
c2=3，
所以椭圆的标准方程为x26 y23=1.
17.（1）由题意可知圆的半径为5，圆心在坐标原点，
所以半圆弧所在圆的方程为x2 y2=25.
（2）当x=4时，y=3，
这时距离底部5米，
大于4.2 0.5=4.7米，
所以能通过隧道.
18.（1）设动点P（x，y）是轨迹C上任意一点，由题意PB=2PAPB2=4PA2，
将P，A，B坐标代入上式得：
（x-4）2 y2=4[（x-1）2 y2]，
化简得x2 y2=4，
所求轨迹C的方程为：x2 y2=4.
（2）由题意，易知直线MN斜率存在，不妨设直线MN的方程为y=kx b，设点M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则：
k1k2=y1x1 2·y2x2 2=2，
即y1y2=2（x1 2）（x2 2），
即（kx1 b）（kx2 b）=2（x1 2）（x2 2），展開整理得：
（k2-2）x1x2 （kb-4）（x1 x2） b2-8=0（）.
把y=kx b代入x2 y2=4得（1 k2）x2 2kbx b2-4=0，
x1 x2=-2kb1 k2x1x2=b2-41 k2代入（）式得：
（k2-2）b2-41 k2 （kb-4）（-2kb1 k2） b2-8=0，
即（k2-2）（b2-4） （kb-4）（-2kb） （b2-8）（1 k2）=0，
化简得b2-8kb 12k2=0，即（b-2k）（b-6k）=0，
所以b=2k或b=6k，又因为点M、N异于点Q所以b=2k舍去，
把b=6k代入直线y=kx b得，直线MN经过定点（-6，0）.
19.解：由题意可知b=3，ca=12，
所以a=2，b=3，c=1，
所以椭圆的标准方程为x24 y23=1.
（2）以F1O为直径的圆的方程为x2 x y2=0，
y=kx，x2 x y2=0，
解得xc=-11 k2，
y=kx，3x2 4y2=12，
解得xA，xB=±123 4k2，ABCO=2123 4k211 k2，
（ABCO）2=48（1 k2）23 4k2=1085，
20k4 4k2-7=0，
解得k2=12或k2=-710（舍），
所以直线方程为y=±22x.
20.解：（1）将x0=a2代入椭圆方程：a24a2 y20b2=1，所以y0=±32b，
取点P（a2，32b），又A（-a，0），F（c，0），所以PA=（-32a，-32b），PF=（c-a2，-32b），
∴PA·PF=-3a2（c-a2） （-32b）2=0，所以2a2-2ac-c2=0，得：e2 2e-2=0，
从而e=3-1.
（2）设P（x1，y1），据条件d1=a2c-x1，d2=a2c a，所以由d1=12d2知：x1=12（a2c-a）①，
又AP=（x1 a，y1），FP=（x1-c，y1），
AP·FP=（x1 a）（x1-c） y21=0②，
又x21a2 y21b2=1，
所以y21=b2（1-x21a2）代入②，
（x1 a）（x1-c） b2a2（a x1）（a-x1）=0，
解得：x1=a（c2 ac-a2）c2③. 由①③可知：a2-ac2c=a（c2 ac-a2）c2，所以3c2 ac-2a2=0，
即（3c-2a）（c a）=0，所以c=23a，
b2=a2-c2=59a2，故椭圆方程化为：x2a2 9y25a2=1，
椭圆过点（1，66），∴a2=x2 95y2=12 95×（66）2=1310，b2=1318，
所求椭圆的方程为：10x213 18y213=1.
21.解：设正方体的棱长为6，以A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）A（0，0，0），B1（6，0，6），E（3，6，0），F（0，2，0），
所以B1A=（-6，0，-6），EF=（-3，-4，0），
所以cos=1862·5=3210.
所以B1A与EF所成角的余弦为3210.
（2）D1（0，6，6），EF=（-3，-4，0），FD1=（0，4，6），B1A=（-6，0，-6），
设平面D1EF的一个法向量为n=（x，y，z）.
则n·EF=0n·FD1=03x 4y=04y 6z=0，
令y=-3，则x=4，z=2，
所以平面D1EF的一个法向量为n=（4，-3，2）.
设面EFM的法向量为m=（p，q，r），
设M（6，0，m），则FM=（6，-2，m），而EF=（-3，-4，0），
所以6p-2q mr=03p 4q=0
令p=-4，则q=3，r=30m，
所以面EFM的一个法向量为m=（-4，3，30m）.
要使二面角D1EFM为直二面角，
必须m·n=-25 60m=0，
∴m=125.
故当M在B1B上且满足BMBB1=25时，二面角D1EFM为直二面角.
22.解：（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）.
由PM PN=0可知，点P是MN的中点，
所以a x2=0，0 y2=b，即a=-x，b=y2，
所以点M（-x，0），P（0，y2）.
所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）.
由PM·PF=0，可得-x y24=0，即y2=4x.
所以動点N的轨迹C的方程为y2=4x.
（2）设点Q（-1，t），
由于过点Q的直线y-t=k（x 1）与轨迹C：y2=4x相切，
联立方程y2=4xy-t=k（x 1），整理得k2x2 2（k2 kt-2）x （k t）2=0.
则Δ=4（k2 kt-2）2-4k2（k t）2=0，
化简得k2 tk-1=0.
显然，k1，k2是关于k的方程k2 tk-1=0的两个根，所以k1 k2=-t.
又k0=-t2，故k1 k2=2k0.
所以命题得证.
1.已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∥β，aα，则a∥β；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；
④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
其中正确的命题的序号是.
2.离心率为53且与椭圆y240 x215=1有公共焦点的双曲线方程为.
3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为.
4.设过抛物线x2=py（p≠0）的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两交点的横坐标为x1，x2，则x1x2=.
5.已知椭圆x24 y23=1，F1，F2为其左右焦点，P为椭圆上一点，若PF2=32，则PF1=.
6.若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为.
7.设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点，且经过点（2，2），则该椭圆的离心率为.
8.已知单位圆被两条平行直线l1：x-y a=0，l2：x-y b=0分成四段长度相等的圆弧，则a2 b2=.
9.若圆C过直线2x y 4=0和圆（x 1）2 （y-2）2=4的交点，则圆C面积的最小值为.
10.如图，点A是椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于B、C两点，满足BC=2AB，AB⊥BC.则该椭圆的离心率为.
11.已知圆C1：x2 y2=4和圆C2：x2 y2-ay-6=0（a>0）的公共弦长为23，则a=.
12.椭圆x212 y23=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1交y轴于Q，且PQ=13PF1，则PF1PF2=.
13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，则该三角形面积的最大值为.
14.椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的右顶点为A，右焦点为F，P是椭圆上在第一象限内的一点，且PF⊥x轴，B为椭圆的下顶点，BP交x轴于Q，且PA=PQ，则椭圆的离心率为.
二、解答题
15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD的中点，M是B1C1的中点.
（1）求证：平面OCC1⊥平面ODD1；
（2）求证：平面ABM∥平面OC1D1.
16.如图，F1，F2分别为椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，且满足∠F1AF2=90°.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若△ABF1面积为4，求椭圆C的标准方程.
17.有一隧道内设双行线公路（中间有护栏隔开），其截面是由一长方形ABCD和一以CD为直径的半圆弧构成，如图所示.已知AB=10m，AC=2m.要保证安全，要求车辆（车辆截面设为矩形）
顶部在竖直方向距离隧道顶部的距离和车辆距离护栏距离均不小于0.5m.（护栏宽度忽略不计）
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求半圆弧CED所在圆的方程；
（2）问现有一辆载重汽车宽3.5m，高4.2m，能否保证安全通过隧道？
18.已知平面直角坐标系上的定点A（1，0）、B（4，0），若动点P满足PB=2PA.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（-2，0）作直线l1、l2与曲线C分别交于两个不同的点M、N（点M、N异于点Q），若直线l1、l2斜率分别为k1、k2，且k1k2=2，判断直线MN是否经过定点.若是，求出此点的坐标；否则说明理由.
19.设椭圆M：x2a2 y2b2=1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为12，左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.
（1）求椭圆M方程；
（2）若直线l：y=kx与椭圆M交于A，B两点，与以F1O为直径的圆交于C，O两点，且满足|AB||CO|=6155，求直线l的方程.
20.如图，椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x0，y0）为椭圆上的一点（P与A不重合），且PA⊥PF.
（1）若x0=a2，求椭圆的离心率；
（2）若P到椭圆右准线的距离为d1，A到右准线的距离为d2，且d1=12d2，椭圆经过点M（1，66），求椭圆的方程.
理科选做题
21.已知E，F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD和AD上的点，CE=ED，DF=2FA，求：
（1）B1A与EF所成角的余弦；
（2）试在直线B1B上確定一点M，使得二面角D1EFM为直二面角.
22.在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM·PF=0，PM PN=0.
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0.求证：k1 k2=2k0.
参考答案
一、填空题
1.①④
2.y29-x216=1
3.1256π
4.-p24 5.52
6.3x2-y2=1
7.22
8.2
9.4π5
10.63
11.2
12.115
13.43
14.22
二、解答题
15.证明：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，
∴CO⊥DO，
又∵DD1⊥面ABCD，CO面ABCD，
∴DD1⊥CO，
∵DD1∩DO=D，DD1，DO面ODD1，
∴CO⊥面ODD1，CO面OCC1，
∴面OCC1⊥面ODD1.
（2）取C1D1的中点，记为N，连结ON，
∵C1D1∥CD，CD∥AB，∴C1D1∥AB，
又C1D1面ABM，AB面ABM，
∴C1D1∥面ABM，
∵M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
∴MN∥B1D1，MN=12B1D1，
又∵B1D1∥BD，B1D1=BD，
∴MN∥OB，MN=OB，∴四边形OBMN是平行四边形，
∴BM∥ON，ON面ABM，BM面ABM，
∴ON∥面ABM，
又ON∩C1D1=N，ON，C1D1面OC1D1，
∴面ABM∥面OC1D1.
16.（1）因为∠F1AF2=90°，
所以b=c，
所以a=2c，
所以e=22.
（2）y=-x cx2 2y2=2c2
得B（43c，-c3），
S△ABF1=12F1F2|yA-yB|=c×4c3=4，
c2=3，
所以椭圆的标准方程为x26 y23=1.
17.（1）由题意可知圆的半径为5，圆心在坐标原点，
所以半圆弧所在圆的方程为x2 y2=25.
（2）当x=4时，y=3，
这时距离底部5米，
大于4.2 0.5=4.7米，
所以能通过隧道.
18.（1）设动点P（x，y）是轨迹C上任意一点，由题意PB=2PAPB2=4PA2，
将P，A，B坐标代入上式得：
（x-4）2 y2=4[（x-1）2 y2]，
化简得x2 y2=4，
所求轨迹C的方程为：x2 y2=4.
（2）由题意，易知直线MN斜率存在，不妨设直线MN的方程为y=kx b，设点M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则：
k1k2=y1x1 2·y2x2 2=2，
即y1y2=2（x1 2）（x2 2），
即（kx1 b）（kx2 b）=2（x1 2）（x2 2），展開整理得：
（k2-2）x1x2 （kb-4）（x1 x2） b2-8=0（）.
把y=kx b代入x2 y2=4得（1 k2）x2 2kbx b2-4=0，
x1 x2=-2kb1 k2x1x2=b2-41 k2代入（）式得：
（k2-2）b2-41 k2 （kb-4）（-2kb1 k2） b2-8=0，
即（k2-2）（b2-4） （kb-4）（-2kb） （b2-8）（1 k2）=0，
化简得b2-8kb 12k2=0，即（b-2k）（b-6k）=0，
所以b=2k或b=6k，又因为点M、N异于点Q所以b=2k舍去，
把b=6k代入直线y=kx b得，直线MN经过定点（-6，0）.
19.解：由题意可知b=3，ca=12，
所以a=2，b=3，c=1，
所以椭圆的标准方程为x24 y23=1.
（2）以F1O为直径的圆的方程为x2 x y2=0，
y=kx，x2 x y2=0，
解得xc=-11 k2，
y=kx，3x2 4y2=12，
解得xA，xB=±123 4k2，ABCO=2123 4k211 k2，
（ABCO）2=48（1 k2）23 4k2=1085，
20k4 4k2-7=0，
解得k2=12或k2=-710（舍），
所以直线方程为y=±22x.
20.解：（1）将x0=a2代入椭圆方程：a24a2 y20b2=1，所以y0=±32b，
取点P（a2，32b），又A（-a，0），F（c，0），所以PA=（-32a，-32b），PF=（c-a2，-32b），
∴PA·PF=-3a2（c-a2） （-32b）2=0，所以2a2-2ac-c2=0，得：e2 2e-2=0，
从而e=3-1.
（2）设P（x1，y1），据条件d1=a2c-x1，d2=a2c a，所以由d1=12d2知：x1=12（a2c-a）①，
又AP=（x1 a，y1），FP=（x1-c，y1），
AP·FP=（x1 a）（x1-c） y21=0②，
又x21a2 y21b2=1，
所以y21=b2（1-x21a2）代入②，
（x1 a）（x1-c） b2a2（a x1）（a-x1）=0，
解得：x1=a（c2 ac-a2）c2③. 由①③可知：a2-ac2c=a（c2 ac-a2）c2，所以3c2 ac-2a2=0，
即（3c-2a）（c a）=0，所以c=23a，
b2=a2-c2=59a2，故椭圆方程化为：x2a2 9y25a2=1，
椭圆过点（1，66），∴a2=x2 95y2=12 95×（66）2=1310，b2=1318，
所求椭圆的方程为：10x213 18y213=1.
21.解：设正方体的棱长为6，以A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）A（0，0，0），B1（6，0，6），E（3，6，0），F（0，2，0），
所以B1A=（-6，0，-6），EF=（-3，-4，0），
所以cos
所以B1A与EF所成角的余弦为3210.
（2）D1（0，6，6），EF=（-3，-4，0），FD1=（0，4，6），B1A=（-6，0，-6），
设平面D1EF的一个法向量为n=（x，y，z）.
则n·EF=0n·FD1=03x 4y=04y 6z=0，
令y=-3，则x=4，z=2，
所以平面D1EF的一个法向量为n=（4，-3，2）.
设面EFM的法向量为m=（p，q，r），
设M（6，0，m），则FM=（6，-2，m），而EF=（-3，-4，0），
所以6p-2q mr=03p 4q=0
令p=-4，则q=3，r=30m，
所以面EFM的一个法向量为m=（-4，3，30m）.
要使二面角D1EFM为直二面角，
必须m·n=-25 60m=0，
∴m=125.
故当M在B1B上且满足BMBB1=25时，二面角D1EFM为直二面角.
22.解：（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）.
由PM PN=0可知，点P是MN的中点，
所以a x2=0，0 y2=b，即a=-x，b=y2，
所以点M（-x，0），P（0，y2）.
所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）.
由PM·PF=0，可得-x y24=0，即y2=4x.
所以動点N的轨迹C的方程为y2=4x.
（2）设点Q（-1，t），
由于过点Q的直线y-t=k（x 1）与轨迹C：y2=4x相切，
联立方程y2=4xy-t=k（x 1），整理得k2x2 2（k2 kt-2）x （k t）2=0.
则Δ=4（k2 kt-2）2-4k2（k t）2=0，
化简得k2 tk-1=0.
显然，k1，k2是关于k的方程k2 tk-1=0的两个根，所以k1 k2=-t.
又k0=-t2，故k1 k2=2k0.
所以命题得证.