原题摘录
　　2011年《试题调研》第6辑第41页有这样一道题：从双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO-MT与b-a的大小关系为 .
　　
　　解：如图所示，连接PF′,OT
　　∵FP-F′P=2a，∴2FM-2OM=2a，
　　即FM-OM=a
　　又∵FM=MT+b ∴MT+b-OM=a
　　即MO-MT=b-a
　　析：本题给出的解法实际上是借助双曲线的定义：双曲线右支上的点到右焦点的距离与到左焦点的距离之差为2a，以及三角形的中位线的性质及直角三角形的勾股定理而得到结论，但在解题中默认了点M在FT的延长线上，进而有结论FM=MT+b，但实际上，随着双曲线的不同即随着双曲线标准方程中a,b数值的改变，M与T的相对位置也会随之而改变，现在，我们来探讨a,b的变化与M与T的位置之间的关系及MO-MT与b-a之间的关系.
　　首先我们发现：∵OT=a,OF=c
　　∴FT=b
　　∴PF的斜率k=tan∠PFO=ab
　　又∵双曲线的一条渐近线的斜率为-ba
　　∴FT必与一条渐近线垂直且相交于T，即T为圆与一条渐近线的交点.
　　下面我们来讨论M与T的位置关系：
　　
　　1. 若T与M重合，即M也是PF中点，此时
　　∵OT=a ∴PF′=2a
　　由双曲线的定义知：PF-PF′=2a，∴PF=4a
　　∴FT=2a 又∵FT=b
　　∴b=2a
　　即当b=2a时，T与M重合，此时MO-MT=a=b-a；
　　2. 若M在线段FT上,即MT＞0
　　
　　∵M为PF为中点，O为FF′中点
　　∴OM=12PF′即PF′=2OM
　　由双曲线的定义知：PF-PF′=2a，∴PF=2a+2OM
　　∴FM=12PF=a+OM,又∵FT=b
　　∴MT=FT-FM=b-a-OM＞0
　　即b＞a+OM 又OM＞OF=a
　　∴b＞2a
　　即当b＞2a时，M在线段FT上，
　　此时：从上面的分析来看，MO+MT=b-a，
　　那MO-MT呢？与b-a的关系又如何呢？
　　MO-MT=MO-(b-a-OM)=2OM-(b-a)，
　　在Rt△MTO中，∵OT2+MT2=OM2
　　即a2+(b-a-OM)2=OM2 ∴OM=a2+(b-a)22(b-a)
　　∴2OM-(b-a)=a2+(b-a)2b-a-(b-a)=a2b-a
　　即MO-MT=a2b-a
　　∵a2b-a-(b-a)=a2-(b-a)2b-a=b(2a-b)b-a＜0
　　∴MO-MT＜b-a；
　　
　　3. 若T在线段FM上,即MT＞0
　　∵M为PF为中点，O为FF′中点
　　∴OM=12PF′即PF′=2OM
　　由双曲线的定义知：PF-PF′=2a，∴PF=2a+2OM
　　∴FM=12PF=a+OM,又∵FT=b
　　∴MT=FM-FT=a+OM-b＞0
　　即b＜a+OM
　　在Rt△MTO中，∵OT2+MT2=OM2
　　即a2+(a+OM-b)2=OM2 ∴OM=a2+(b-a)22(b-a)
　　∴b＜a+a2+(b-a)22(b-a),即b＜2a
　　又由题意，FT与双曲线右支相交，∴ab＜ba，即b＞a
　　∴当a＜b＜2a时，T在线段FM上，此时OM-MT=OM-(a+OM-b)=b-a；
　　从以上3点的分析来看，M与T之间的相对位置关系确实会随着双曲线标准方程中a,b数值的变化而变化，从而我们可以得到以下的结论：
　　当b=2a时，T与M重合，此时MO-MT=a=b-a；
　　当b＞2a时，M在线段FT上,此时MO-MT=a2b-a＜b-a；
　　当a＜b＜2a时，T在线段FM上，此时MO-MT=b-a.
　　所以，原题给出的答案是有问题的.