2012年高考不等式考点预测

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  不等式作为高考的知识考点,是高中数学的重点和难点内容,它渗透到了中学数学课本的各个章节,不等式作为一个解题工具,是解决其它数学问题的一种有利工具.单纯考查不等式的考题,一般是中低档难度题,内容多涉及不等式的性质、解法、均值不等式的应用以及含有参数的简单不等式.考查不等式的综合应用,在解答题中一般与函数、数列、导数等知识结合,属于中高档难度题.预侧2012年高考不等式的命题趋向:仍会继续保持2011年的命题特点,淡化独立性,突出工具性,更考查实用性.以客观题的形式来考查不等式的性质和不等式的解法,以解答题的形式来考查突出不等式与函数、数列、导数等知识的综合应用,深入考查不等式的证明和逻辑演绎推理能力.本文针对各个考点进行考题如下预测:
  考点一:不等式的性质
  不等式的性质是解不等式与证明不等式的理论根据,必须透彻理解,且要注意性质使用的条件.
  例1. 下面四个条件中,使a  A. a  解析:本题考查了不等式的基本性质及充要条件基本概念. A的必要不充分条件是B的意思是AB,但反之不成立,故选A.
  点评:这类问题考查了不等式的基础知识及必要不充分条件的定义,需要考生认真分析,只要心细,这类问题的分值不会丢,这类题属于容易题.
  考点二:含参数的不等式问题
  含有参数的不等式问题是高考常考题型,求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化,化为一元二次不等式等问题去解决,注意参数在转化过程中对问题的影响.
  例2. 已知f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.(1)证明:f(x)为奇函数且是R上的减函数;(2)若关于x的不等式f(cos2x)-f(sin2x)  (1)证明:依题意取x=y=0有f(0)=2f(0),∴ f(0)=0.
  又取y=-x可得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)(x∈R),∴ f(-x)=-f(x)(x∈R).
  由x的任意性可知f(x)为奇函数,又设x10, ∴ f(x2)=f [x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),∵f(x2-x1)<0,∴ f(x1)>f(x2).
  ∴ f(x)在R上为减函数.
  (2)解析:∵函数f(x)是奇函数,∴由f(cos2x)-f(sin2x)  ∴ f(cos2x-sin2x)m对于一切x∈[0,]时恒成立.
  当x∈[0,]时,2x+∈[,],故此时cos(2x+)的最小值为-,∴ m<-.
  考点三:解不等式问题
  解不等式是高考重点考查的内容之一,有时它会直接要考生解一个不等式,有时会把解不等式的过程蕴含在试题里.
  例3. 解不等式2x+3•()4-x<.
  解析:∵ 2x+3•()4-x<,∴ 2x+3•2x-4<22x-1  点评:本题是指数型的不等式,尽可能化为同底.
  例4. 若对于实数x有x+lg(2-x)=x-lg(2-x)成立,则实数x的取值范围是.
  解析:依题意可得:xlg(2-x)≤0,当x≤0时,不等式显然成立;当x>0时,0<2-x≤1,即1≤x<2,故实数x的取值范围是(-∞,0]∪[1,2).
  点评:本题考查了不等式等号a+b≥a-b成立的条件,属于中等题.解不等式时需要进行简单的分类讨论,计算过程也是简单的.
  考点四:均值不等式问题
  1. 把称为a、b的算术平均数,称为a、b的几何平均数.因而,二元均值定理可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
  2. 创设应用算术平均数与几何平均数定理使用的条件,合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧,而拆与凑的过程中,一要考虑定理使用的条件(两数都为正);二要考虑必须使和或积为定值;三要考虑等号成立的条件(当且仅当a=b时取“=”号),它具有一定的灵活性和变形技巧,高考中常被设计为一个难点.
  例5. 已知1>x>0,a>0,+≥9恒成立,则a的最小值是.
  解析:令y=1-x,+≥9+≥9恒成立,则有(+)min≥9.
  而(+)(x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2,所以有(+1)2≥9a≥4,故a的最小值是4.
  点评:本题属于中等难度的试题,它考查了基本不等式的巧妙运用及恒成立问题的转化,在历年高考中这类问题常常出现,希望考生要引起注意.
  考点五:线性规划问题
  例6. 设变量x,y满足+≤1,则2x-y最大值和最小值分别为( )
  A. -6,2B. -6,6C. -2,6D. -2,2
  解析:注意到方程+=1表示的曲线关于x,y,原点对称,故只要作出第一象限的图像即可作出全部的图像.它的图像是一个平行四边形及其内部(图略).
  令2x-y=0,得到一条直线,从图像中可以看到直线上方,点(-3,0)到直线最远,在直线的下方,点(3,0)到直线最远,所以这两个点是最值点,所以选B.
  点评:这是一道非常规的线性规划问题,目标函数是线性的,可行域却是非线性的,作图成了最关键的解题工具.我们在掌握常规的二元一次不等式组表示的可行域的同时,也要掌握非线性的可行域问题.
  考点六:与不等式交汇的问题
  不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系,通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现,尤其是以导数或向量为背景的导数(或向量)、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题,问题多属于中档题甚至是难题,对不等式的知识,方法与技巧要求较高
  例7. 当x<0时,ax2+4x+1>0恒成立,则实数a的取值范围是.
  解析:ax2+4x+1>0恒成立a>-=-(+),故有a>[-(+)]max,令t=(x<0),则有:(+)=t2+4t=(t+2)2-4≥-4,当t=-2时等号成立, 所以有a>4.
  点评:本题是一道容易做错的试题,很多考生会直接用判别式小于0解之.或者分类讨论计算,容易计算错.运用不等式的知识及配方法,使问题得到简单处理.平时在复习时,一定要对比一些方法,才能在考试中找出最佳的方法.
  例8. 在区间[t,t+1]上满足不等式x3-3x+1≤1恒成立,则实数t的取值范围是.
  解析:利用数形结合思想,对函数f(x)=x3-3x+1作图. 先作函数y=x3-3x+1的图像,由x3-3x+1x=±,x=0,x3-3x+1=-1x=-2,x=1.
  再作f(x)=x3-3x+1,
  图解如下:
  所以0≤t≤-1.
  点评:数形结合是一种好方法,有时它能直观地把解答写出来.作图要运用导数的知识来处理,注意极值点的位置.这是一道难度大的试题,它考查了不等式与导数的灵活运用.
  例9. 已知函数f(x)=x2+lnx-ax,(Ⅰ)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围;(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设g(x)=x2+x-a,(1≤x≤3),求函数g(x)的最小值.
  解析:(Ⅰ)f ′(x)=2x+-a.
  ∵ f(x)在(0,1)上是增函数,
  ∴ 2x+-a>0在(0,1)上恒成立,即a<2x+恒成立.
  ∵ 2x+≥2(当且仅当x=时取等号).
  所以a<2.
  当a=2时,易知f(x)在(0,1)上也是增函数,所以a≤2.
  (Ⅱ)由(Ⅰ)知a≤2.
  当a≤1时,g(x)=x2+x-a在区间[1,3]上是增函数,
  所以g(x)的最小值为g(1)=2-a.
  当1  因为函数g(x)在区间[a,3]上是增函数,在区间[1,a]上也是增函数,所以g(x)在[1,3]上为增函数,
  所以g(x)的最小值为g(1)=a.
  所以,当a≤1时,g(x)的最小值为2-a;
  当1  点评:这是一道不等式与函数知识结合的试题,导数与绝对值往往是高考的一个重点内容,不等式在这些复杂知识中起着桥梁的作用.
  总之,不等式内容在高考数学中的地位是相当重要的,它最重要的是作为一个工具,对很多问题能起化归作用,因此,在解答题中,它常常会与其它知识相结合,希望同学们能在这类问题中能合理地利用不等式,在高考中取得自己满意的分数.
  (作者单位:汕尾市华南师大附中汕尾学校)
  责任编校徐国坚
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