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摘要：体验式教学符合人脑的功能特征：右脑（感性脑）决定了人可以靠经验、直觉去思考和判断;左脑（理性脑）决定了人可以靠证据、逻辑推理去思考和判断。从脑体并用、知行合一的特征出发，结合多年实践，在“明确的教学目标”“适切的教学内容”“主动的具身参与”等实施要件的基础上，形成初中数学体验教学的有效实施途径，即突出学生主体地位的“看、做、想、说”体验系统。
关键词：数学体验;教学实施;体验系统
一、初中数学体验教学的实施依据
中共中央、国务院《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》指出，要积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学。如何实施体验式教学？皮亚杰认为，知识来源于动作。杜威指出，一切理性思维都是以身体经验为基础的。布鲁纳认为，人类认知要经历从动作表征到图像表征再到符号表征的过程。这些理论的提出其实符合人脑的功能特征：右脑（感性脑）决定了人可以靠经验、直觉去思考和判断;左脑（理性脑）决定了人可以靠证据、逻辑推理去思考和判断。
在波利亚、徐利治等国内外数学家和数学教育家看来，数学与物理、化学、生物等学科一样，既需要经验和直觉，也需要证据和逻辑推理。同时，数学有自身的学科特点，许多数学概念、定理和法则等都有孕育、生长和形成的动力、原因，学习者只有将内心世界与外部世界通过内省体验融为一体，才能获得其真知，悟出其真理。作为一种学习方式，数学体验不仅关注外部的感受、操作和探索，而且关注由此而引发的内隐认知、建构和领悟。
二、初中数学体验教学的实施要件
（一）明确的教学目标
教学目标就是教学活动中所期待得到的学生学习结果。从体验教学的内容及其内部逻辑来看，初中数学体验教学的目标主要包括行为性目标、认知性目标和情感性目标。
1.行为性目标：亲身经历看、听、做等活动，以具体、实际的动作作为支柱，借助形象、直观形成抽象的数学对象和数学猜想。
2.认知性目标：亲身经历想、议、说等活动，以概念作为支柱，借助判断、推理的形式揭示事物的本质属性和内在规律，通过抽象、推理和建模获得问题解决的能力。
3.情感性目标：在环境刺激和主体参与下，激发好奇心、求知欲和成就感、自信心，培养数学思维方式和理性精神，发展数学核心素养。
（二）适切的教学内容
目前，各版本初中数学教材中的“操作”“尝试”“思考”和“数学实验”等栏目，为数学体验教学提供了丰富的内容资源。初中数学体验教学应该依据课程标准，整合现行各版本教材，结合个人设计，重点针对那些学生认识和掌握有难度，但通过特定的体验却易于理解和领悟的教学内容。无论是理解知识的基础性内容，还是运用知识的拓展性内容，都要贴近学生的实际，有利于学生经历与探索。只有教学内容适切，才能便于实施，高效实施。
（三）主动的具身参与
“实践出真知”，说明真正的知识只有从实践中获得。试举两例：
如图1所示，取1张A4纸，对折后撕掉其中的一半，对剩下的一半做同样的操作，如此依次进行下去，问：这样的操作能进行几次？对此，有人说与纸的厚度有关，有人说与纸的柔软度有关，还有人说可以操作10次以上。其实，如果没有亲历操作体验，那么很难得到正确结论。
如图2所示，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，让另一枚沿着其边缘无滑动滚动一周，问：滚动的硬币自转了几圈？对此，许多人觉得，由于两枚硬币大小相等，滚动的硬币在固定的硬币上滚过的弧长等于固定的硬币的周长，因此滚动的硬币自转了1圈。其实，如果亲手操作一遍，便会发现实验结果与直觉猜想不一样。
具身认知理论认为，在特定环境下的具身体验能造成强烈的心理刺激，有利于弄清数学问题和知识的来龙去脉，有利于养成数学的思维方式。在某种意义上，“体验”就是实践，就是具身。身体是刺激的感受器和行为的效应器，塑造了人们看待世界的方式，身体在活动中的感受、知觉为人们的思维和表达提供了最初的内容。人的心理感觉激活于生理体验，思维认知发端于身体感知，品格素养形成于具身领悟。
三、初中数学体验教学的实施途径
基于脑体并用、知行合一的特征，结合多年实践，我们认为，LDTS（Look、Do、Think、Say），即“看、做、想、说”体验系统是初中数学体验教学的有效实施途径。
（一）在“看”中体验数学知识的发现和验证
科学研究表明，大脑接受的感觉信息80%以上来自视觉，因此视觉信息的准确获取、正确加工（编码和解码）是大脑进行高效认知的基础。所以，“看”是初中数学体验教学最基本的实施途径。
广义地理解，“看”是输入信息，包括阅读材料（主要是符号表征）。阅读材料既要聚焦，又要兼顾;既要看到表象，更要看到实质。因此，要按信息的主次梳理、分类和整合，合理忽略不相关的和不重要的，充分挖掘派生信息和隐含信息。例如：已知关于x的方程kx2-2x+1=0有實数根，求k的取值范围。对此，许多学生会有思维定式，直接用判别式Δ≥0求解，而未看出材料所蕴含的需要对k的值是否为0分类讨论的信息。
聚焦数学体验教学，“看”主要是看操作的过程和结果（动作表征和图像表征），即直观的东西。“内行看门道，外行看热闹”，意即内行人看事情主要看本质，而外行人看事情只能看外表。看操作的过程和结果，要看懂各个环节和要素之间的顺序和关系，把实际操作抽象成数学变换，思考数学变换背后的数学原理及结论。
（二）在“做”中体验数学知识的发现和验证
“做”是“看”的基础（所“看”的东西通常是“做”出来的），“做”也是看的深入（在“做”的过程中，除了视觉，还会接受其他感觉信息，获得更为具身的体验）。数学体验教学，不仅要让学生“看”，而且要让学生“做”，从中更好地发现和验证数学对象和结论。 从目的性和方向性来看，操作有两个层次：一是随意操作，看具象和表象中的特征，结合自己的经验产生臆想;二是在数学思维的参与引导下操作，看直观抽象中的本质属性和内在规律，借助判断、推理的形式探索、猜想、验证、证明。此外，“做”既包括實物操作，也包括信息技术操作，甚至包括画图、演算等。
例如，教学“圆周角的概念和性质”，可以设计和使用“圆周角体验器”——当然，也可以利用动态几何软件模拟。
圆周角体验器如图7所示，由直轨道和圆轨道构成，两个轨道的中央都有可供铆钉运动的燕尾槽（直轨道外端密封，圆轨道在两个固定铆钉之间的优弧上），直轨道可以绕圆轨道的圆心自由转动;活动铆钉带动细弹簧，可以在两个轨道交叉处变轨，固定铆钉和圆轨道的圆心之间有细线连接。
教学中，首先可以让学生随意操作。如下页图8所示，将细弹簧和活动铆钉构成的∠BAC的顶点A从圆心O出发，在直轨道上自由移动，在移动的过程中感受∠BAC的大小随点A的位置变化而变化的特征;还可以变轨，将∠BAC的顶点A在圆轨道上自由移动。在操作中产生臆想：∠BAC的大小可能与顶点A的位置有关，应该小于圆心角∠BOC。这一臆想不仅为圆周角“两要素”的概括提供了原生性指向，也为后续利用圆心角研究圆周角的大小提供了合理性暗示。自主操作中无意间的发现很重要。
再如，教学“将军饮马问题”（比如：如图10所示，要在一条笔直的路边，即直线l上建一个燃气站，向l同侧的两个城镇A、B分别铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使得铺设管道的路线最短），可以引入皮筋张力模型和光线反射模型，引导学生操作实物——当然，也可以利用动态几何软件模拟。
首先是随意操作。如下页图11所示，把一根皮筋的两端系在A、B两点（皮筋长度接近线段AB的长度），用弹簧秤挂钩钩住皮筋（可以使用少许润滑油，确保挂钩能在皮筋上流畅滑动，两侧皮筋对挂钩的拉力一致），将挂钩拖到直线l上，移动挂钩的位置，观察弹簧秤读数的变化，可以发现，当挂钩移动到A、B两点在直线l上的射影之间的某点C处时，弹簧秤的读数最小，说明此时折线ACB最短。或者，如图12所示，将一块平面境放在直线l处，让一束光线从点A射向直线l，调整入射的角度，观察反射光线何时经过点B，可以发现，当光线射向A、B两点在直线l上的射影之间的某点C处时，反射光线经过点B，说明此时折线ACB最短（在同一种介质中，光沿最短路线传播）。在上述操作中可以产生直觉猜想：使得路线ACB最短的点C位于A、B两点在直线l上的射影之间（并且离到直线l更近一些的点A的射影更近一些）的某处。
其次是在数学思维的参与引导下操作。学生学过的数学中判断长度最短的重要结论是“两点之间线段最短”，但是这里的ACB始终是一条折线（两条线段），没有办法判断什么时候最短。怎么让ACB有可能变成一条线段？发现是点A、B在直线l的同侧导致ACB始终是一条折线，同时受到平面镜成像原理的启发，可以想到把点A、B放到直线l的异侧，并且保持它们到直线l上任意一点的距离不变。为此，不难想到作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），如图13所示。从而，可以进一步结合操作（这时最好利用动态几何软件，更加直接地看出长度的变化），得到解题结果：燃气站的位置为A′B与l的交点C处。
（三）在“想”中体验数学知识的证明和生长
“看”和“做”是感官从外部输入信息，而“想”则是大脑在内部处理信息。“想”是初中数学体验教学关键的实施途径。“看”和“做”的过程都离不开“想”，数学体验学习实际上是“看”或“做”和“想”相辅相成、相互交融的学习方式。除了与“看”或“做”结合在一起，理解“看”或“做”的内容，找到“看”或“做”的角度和方法，“想”最重要的功能是证明猜想和变式迁移（拓展应用）。
例如，为了发展学生的空间观念，可以引导学生探究正方体截面的形状：用一个平面截正方体，截面的形状可能是什么？对此，可以引导学生用小刀切正方体橡皮，观察切面的形状;或在可密闭的全透明的正方体盒子中注水，观察水面的形状。在学生归纳发现切面或水面可能是三角形、四边形、五边形和六边形后，可以引导学生进一步发现：截面三角形是锐角三角形;截面四边形至少有一组对边平行，即可以是正方形、矩形、平行四边形、梯形;截面五边形有两组对边平行，截面六边形三组对边都平行。由此，可以引导学生思考如何证明这些结论。
“想”完猜想的证明也就解决了最初的问题（证明是数学思维的理性精神最重要的体现），接着可以“想”问题的变式和经验的迁移：变式就是变更问题的非本质特征，而迁移就是运用解题的本质（不变）规律。这是因为数学知识总是相互联系形成结构的，数学问题总是相互关联生长变化的——正如波利亚所说的“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个”，而这样“想”可以充分发展学生的数学思维，提升思维的深刻性和灵活性等，还能及时评价之前数学体验学习的效果。
上面的案例中，证明截面三角形是锐角三角形后，可以继续思考如下变式问题：如图15所示，在截去三棱锥“角块”S-ABC剩下的“正方体”上再截下一个三棱锥“角块”B-DEF，则截面△DEF还一定是锐角三角形吗？为什么？比较迁移之前的经验，结合利用动态几何软件的操作，可以发现：之前“角块”的顶点S处的三个面角都是直角，顶点S沿着一条棱移动后形成的截面三角形的内角都比面角小，因而都是锐角;现在“角块”的顶点B处的三个面角两个是钝角和一个是锐角，顶点B沿着一条棱移动后形成的截面三角形的内角虽然比面角小，但是可以很接近面角（考虑极端的情形），因此可以是钝角，当然也可以是直角或锐角，也就是说，截面△DEF可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形。
其实，前面的案例中，解决基本的（或者说经典的）“将军饮马问题”后，可以继续思考这样两个变式问题：如图16、图17所示，要在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别确定燃气站的位置，设计铺设管道的路线，使之最短。 （四）在“说”中完成数学体验的升华和检验
如果“看”和“做”是输入，“想”是处理，那么“說”就是输出。如果“看”“做”和“想”是自己搞懂，那么“说”就是让他人也懂。看似通过“看”“做”和“想”已经完成的数学体验学习其实需要通过“说”来升华和检验。因为“说”需要通过反省体悟和提炼组织，使得内容更加重点突出和条理清晰，从而更好理解。有些时候，我们以为自己想清楚了，但说出来的却不清楚，这就说明我们没有真正地想清楚，也就倒逼我们再去想，乃至看和做。所以，“学习金字塔”理论认为，“说”（“教别人”）是最好的学习方式。结合数学体验学习的过程，“说”的内容可以分为三类。
一是经验性理解，也就是基于直观的“看”和“做”的理解。例如，对于a2-b2=（a+b）（a-b）的因式分解及其逆向变形的乘法公式，可以借助“从大正方形的角上割去一个小正方形，重新拼成一个矩形”的操作（如下页图18所示）来理解。学习了这一内容后，可以设计变式问题，让学生说一说自己的经验性理解。如何研究a3-b3的因式分解及其逆向变形的乘法公式？由a2、b2表示正方形的面积想到a3、b3表示正方体的体积，于是可以从大正方体的角上割去一个小正方体，然后类比“拼成矩形”的方法拼成一个柱体（如下页图19所示），从而得到a3-b3=（a-b）（a2+b2+ab）及其逆向变形。
三是结构化理解，即基于数学知识之间联系的理解。例如，学习了“平行四边形”一章后，可以让学生回答以下问题：两组邻边分别相等的四边形叫作筝形（也可定义为：一条对角线垂直平分另一条的四边形叫作筝形），如何在如图20所示的文氏图中给筝形安个“家”？要正确安“家”，必须搞清楚筝形与其他对象的联系和差异。首先，筝形是四边形，所以“家”在“四边形”集合内。其次，筝形的对边可能相等，也可能不相等，若相等，则为菱形;若不相等，则不是平行四边形。所以，其“家”的一部分与“菱形”集合重合，而另一部分在“平行四边形”集合外。这样，我们就不难给筝形安“家”了：图21中的阴影部分。
最后需要指出的是，LDTS只是一种探索性主张，具体的教学方法依教学内容及教学情境等因素的不同而变化;初中数学体验教学的探索无止境，根本宗旨是转变育人方式、提高育人水平。
参考文献：
[1] 吕林海.数学理解性学习与教学：文化的视角[M].北京：教育科学出版社，2013.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（编号：Ra/2018/07）的阶段性研究成果。
关键词：数学体验;教学实施;体验系统
一、初中数学体验教学的实施依据
中共中央、国务院《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》指出，要积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学。如何实施体验式教学？皮亚杰认为，知识来源于动作。杜威指出，一切理性思维都是以身体经验为基础的。布鲁纳认为，人类认知要经历从动作表征到图像表征再到符号表征的过程。这些理论的提出其实符合人脑的功能特征：右脑（感性脑）决定了人可以靠经验、直觉去思考和判断;左脑（理性脑）决定了人可以靠证据、逻辑推理去思考和判断。
在波利亚、徐利治等国内外数学家和数学教育家看来，数学与物理、化学、生物等学科一样，既需要经验和直觉，也需要证据和逻辑推理。同时，数学有自身的学科特点，许多数学概念、定理和法则等都有孕育、生长和形成的动力、原因，学习者只有将内心世界与外部世界通过内省体验融为一体，才能获得其真知，悟出其真理。作为一种学习方式，数学体验不仅关注外部的感受、操作和探索，而且关注由此而引发的内隐认知、建构和领悟。
二、初中数学体验教学的实施要件
（一）明确的教学目标
教学目标就是教学活动中所期待得到的学生学习结果。从体验教学的内容及其内部逻辑来看，初中数学体验教学的目标主要包括行为性目标、认知性目标和情感性目标。
1.行为性目标：亲身经历看、听、做等活动，以具体、实际的动作作为支柱，借助形象、直观形成抽象的数学对象和数学猜想。
2.认知性目标：亲身经历想、议、说等活动，以概念作为支柱，借助判断、推理的形式揭示事物的本质属性和内在规律，通过抽象、推理和建模获得问题解决的能力。
3.情感性目标：在环境刺激和主体参与下，激发好奇心、求知欲和成就感、自信心，培养数学思维方式和理性精神，发展数学核心素养。
（二）适切的教学内容
目前，各版本初中数学教材中的“操作”“尝试”“思考”和“数学实验”等栏目，为数学体验教学提供了丰富的内容资源。初中数学体验教学应该依据课程标准，整合现行各版本教材，结合个人设计，重点针对那些学生认识和掌握有难度，但通过特定的体验却易于理解和领悟的教学内容。无论是理解知识的基础性内容，还是运用知识的拓展性内容，都要贴近学生的实际，有利于学生经历与探索。只有教学内容适切，才能便于实施，高效实施。
（三）主动的具身参与
“实践出真知”，说明真正的知识只有从实践中获得。试举两例：
如图1所示，取1张A4纸，对折后撕掉其中的一半，对剩下的一半做同样的操作，如此依次进行下去，问：这样的操作能进行几次？对此，有人说与纸的厚度有关，有人说与纸的柔软度有关，还有人说可以操作10次以上。其实，如果没有亲历操作体验，那么很难得到正确结论。
如图2所示，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，让另一枚沿着其边缘无滑动滚动一周，问：滚动的硬币自转了几圈？对此，许多人觉得，由于两枚硬币大小相等，滚动的硬币在固定的硬币上滚过的弧长等于固定的硬币的周长，因此滚动的硬币自转了1圈。其实，如果亲手操作一遍，便会发现实验结果与直觉猜想不一样。
具身认知理论认为，在特定环境下的具身体验能造成强烈的心理刺激，有利于弄清数学问题和知识的来龙去脉，有利于养成数学的思维方式。在某种意义上，“体验”就是实践，就是具身。身体是刺激的感受器和行为的效应器，塑造了人们看待世界的方式，身体在活动中的感受、知觉为人们的思维和表达提供了最初的内容。人的心理感觉激活于生理体验，思维认知发端于身体感知，品格素养形成于具身领悟。
三、初中数学体验教学的实施途径
基于脑体并用、知行合一的特征，结合多年实践，我们认为，LDTS（Look、Do、Think、Say），即“看、做、想、说”体验系统是初中数学体验教学的有效实施途径。
（一）在“看”中体验数学知识的发现和验证
科学研究表明，大脑接受的感觉信息80%以上来自视觉，因此视觉信息的准确获取、正确加工（编码和解码）是大脑进行高效认知的基础。所以，“看”是初中数学体验教学最基本的实施途径。
广义地理解，“看”是输入信息，包括阅读材料（主要是符号表征）。阅读材料既要聚焦，又要兼顾;既要看到表象，更要看到实质。因此，要按信息的主次梳理、分类和整合，合理忽略不相关的和不重要的，充分挖掘派生信息和隐含信息。例如：已知关于x的方程kx2-2x+1=0有實数根，求k的取值范围。对此，许多学生会有思维定式，直接用判别式Δ≥0求解，而未看出材料所蕴含的需要对k的值是否为0分类讨论的信息。
聚焦数学体验教学，“看”主要是看操作的过程和结果（动作表征和图像表征），即直观的东西。“内行看门道，外行看热闹”，意即内行人看事情主要看本质，而外行人看事情只能看外表。看操作的过程和结果，要看懂各个环节和要素之间的顺序和关系，把实际操作抽象成数学变换，思考数学变换背后的数学原理及结论。
（二）在“做”中体验数学知识的发现和验证
“做”是“看”的基础（所“看”的东西通常是“做”出来的），“做”也是看的深入（在“做”的过程中，除了视觉，还会接受其他感觉信息，获得更为具身的体验）。数学体验教学，不仅要让学生“看”，而且要让学生“做”，从中更好地发现和验证数学对象和结论。 从目的性和方向性来看，操作有两个层次：一是随意操作，看具象和表象中的特征，结合自己的经验产生臆想;二是在数学思维的参与引导下操作，看直观抽象中的本质属性和内在规律，借助判断、推理的形式探索、猜想、验证、证明。此外，“做”既包括實物操作，也包括信息技术操作，甚至包括画图、演算等。
例如，教学“圆周角的概念和性质”，可以设计和使用“圆周角体验器”——当然，也可以利用动态几何软件模拟。
圆周角体验器如图7所示，由直轨道和圆轨道构成，两个轨道的中央都有可供铆钉运动的燕尾槽（直轨道外端密封，圆轨道在两个固定铆钉之间的优弧上），直轨道可以绕圆轨道的圆心自由转动;活动铆钉带动细弹簧，可以在两个轨道交叉处变轨，固定铆钉和圆轨道的圆心之间有细线连接。
教学中，首先可以让学生随意操作。如下页图8所示，将细弹簧和活动铆钉构成的∠BAC的顶点A从圆心O出发，在直轨道上自由移动，在移动的过程中感受∠BAC的大小随点A的位置变化而变化的特征;还可以变轨，将∠BAC的顶点A在圆轨道上自由移动。在操作中产生臆想：∠BAC的大小可能与顶点A的位置有关，应该小于圆心角∠BOC。这一臆想不仅为圆周角“两要素”的概括提供了原生性指向，也为后续利用圆心角研究圆周角的大小提供了合理性暗示。自主操作中无意间的发现很重要。
再如，教学“将军饮马问题”（比如：如图10所示，要在一条笔直的路边，即直线l上建一个燃气站，向l同侧的两个城镇A、B分别铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使得铺设管道的路线最短），可以引入皮筋张力模型和光线反射模型，引导学生操作实物——当然，也可以利用动态几何软件模拟。
首先是随意操作。如下页图11所示，把一根皮筋的两端系在A、B两点（皮筋长度接近线段AB的长度），用弹簧秤挂钩钩住皮筋（可以使用少许润滑油，确保挂钩能在皮筋上流畅滑动，两侧皮筋对挂钩的拉力一致），将挂钩拖到直线l上，移动挂钩的位置，观察弹簧秤读数的变化，可以发现，当挂钩移动到A、B两点在直线l上的射影之间的某点C处时，弹簧秤的读数最小，说明此时折线ACB最短。或者，如图12所示，将一块平面境放在直线l处，让一束光线从点A射向直线l，调整入射的角度，观察反射光线何时经过点B，可以发现，当光线射向A、B两点在直线l上的射影之间的某点C处时，反射光线经过点B，说明此时折线ACB最短（在同一种介质中，光沿最短路线传播）。在上述操作中可以产生直觉猜想：使得路线ACB最短的点C位于A、B两点在直线l上的射影之间（并且离到直线l更近一些的点A的射影更近一些）的某处。
其次是在数学思维的参与引导下操作。学生学过的数学中判断长度最短的重要结论是“两点之间线段最短”，但是这里的ACB始终是一条折线（两条线段），没有办法判断什么时候最短。怎么让ACB有可能变成一条线段？发现是点A、B在直线l的同侧导致ACB始终是一条折线，同时受到平面镜成像原理的启发，可以想到把点A、B放到直线l的异侧，并且保持它们到直线l上任意一点的距离不变。为此，不难想到作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），如图13所示。从而，可以进一步结合操作（这时最好利用动态几何软件，更加直接地看出长度的变化），得到解题结果：燃气站的位置为A′B与l的交点C处。
（三）在“想”中体验数学知识的证明和生长
“看”和“做”是感官从外部输入信息，而“想”则是大脑在内部处理信息。“想”是初中数学体验教学关键的实施途径。“看”和“做”的过程都离不开“想”，数学体验学习实际上是“看”或“做”和“想”相辅相成、相互交融的学习方式。除了与“看”或“做”结合在一起，理解“看”或“做”的内容，找到“看”或“做”的角度和方法，“想”最重要的功能是证明猜想和变式迁移（拓展应用）。
例如，为了发展学生的空间观念，可以引导学生探究正方体截面的形状：用一个平面截正方体，截面的形状可能是什么？对此，可以引导学生用小刀切正方体橡皮，观察切面的形状;或在可密闭的全透明的正方体盒子中注水，观察水面的形状。在学生归纳发现切面或水面可能是三角形、四边形、五边形和六边形后，可以引导学生进一步发现：截面三角形是锐角三角形;截面四边形至少有一组对边平行，即可以是正方形、矩形、平行四边形、梯形;截面五边形有两组对边平行，截面六边形三组对边都平行。由此，可以引导学生思考如何证明这些结论。
“想”完猜想的证明也就解决了最初的问题（证明是数学思维的理性精神最重要的体现），接着可以“想”问题的变式和经验的迁移：变式就是变更问题的非本质特征，而迁移就是运用解题的本质（不变）规律。这是因为数学知识总是相互联系形成结构的，数学问题总是相互关联生长变化的——正如波利亚所说的“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个”，而这样“想”可以充分发展学生的数学思维，提升思维的深刻性和灵活性等，还能及时评价之前数学体验学习的效果。
上面的案例中，证明截面三角形是锐角三角形后，可以继续思考如下变式问题：如图15所示，在截去三棱锥“角块”S-ABC剩下的“正方体”上再截下一个三棱锥“角块”B-DEF，则截面△DEF还一定是锐角三角形吗？为什么？比较迁移之前的经验，结合利用动态几何软件的操作，可以发现：之前“角块”的顶点S处的三个面角都是直角，顶点S沿着一条棱移动后形成的截面三角形的内角都比面角小，因而都是锐角;现在“角块”的顶点B处的三个面角两个是钝角和一个是锐角，顶点B沿着一条棱移动后形成的截面三角形的内角虽然比面角小，但是可以很接近面角（考虑极端的情形），因此可以是钝角，当然也可以是直角或锐角，也就是说，截面△DEF可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形。
其实，前面的案例中，解决基本的（或者说经典的）“将军饮马问题”后，可以继续思考这样两个变式问题：如图16、图17所示，要在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别确定燃气站的位置，设计铺设管道的路线，使之最短。 （四）在“说”中完成数学体验的升华和检验
如果“看”和“做”是输入，“想”是处理，那么“說”就是输出。如果“看”“做”和“想”是自己搞懂，那么“说”就是让他人也懂。看似通过“看”“做”和“想”已经完成的数学体验学习其实需要通过“说”来升华和检验。因为“说”需要通过反省体悟和提炼组织，使得内容更加重点突出和条理清晰，从而更好理解。有些时候，我们以为自己想清楚了，但说出来的却不清楚，这就说明我们没有真正地想清楚，也就倒逼我们再去想，乃至看和做。所以，“学习金字塔”理论认为，“说”（“教别人”）是最好的学习方式。结合数学体验学习的过程，“说”的内容可以分为三类。
一是经验性理解，也就是基于直观的“看”和“做”的理解。例如，对于a2-b2=（a+b）（a-b）的因式分解及其逆向变形的乘法公式，可以借助“从大正方形的角上割去一个小正方形，重新拼成一个矩形”的操作（如下页图18所示）来理解。学习了这一内容后，可以设计变式问题，让学生说一说自己的经验性理解。如何研究a3-b3的因式分解及其逆向变形的乘法公式？由a2、b2表示正方形的面积想到a3、b3表示正方体的体积，于是可以从大正方体的角上割去一个小正方体，然后类比“拼成矩形”的方法拼成一个柱体（如下页图19所示），从而得到a3-b3=（a-b）（a2+b2+ab）及其逆向变形。
三是结构化理解，即基于数学知识之间联系的理解。例如，学习了“平行四边形”一章后，可以让学生回答以下问题：两组邻边分别相等的四边形叫作筝形（也可定义为：一条对角线垂直平分另一条的四边形叫作筝形），如何在如图20所示的文氏图中给筝形安个“家”？要正确安“家”，必须搞清楚筝形与其他对象的联系和差异。首先，筝形是四边形，所以“家”在“四边形”集合内。其次，筝形的对边可能相等，也可能不相等，若相等，则为菱形;若不相等，则不是平行四边形。所以，其“家”的一部分与“菱形”集合重合，而另一部分在“平行四边形”集合外。这样，我们就不难给筝形安“家”了：图21中的阴影部分。
最后需要指出的是，LDTS只是一种探索性主张，具体的教学方法依教学内容及教学情境等因素的不同而变化;初中数学体验教学的探索无止境，根本宗旨是转变育人方式、提高育人水平。
参考文献：
[1] 吕林海.数学理解性学习与教学：文化的视角[M].北京：教育科学出版社，2013.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（编号：Ra/2018/07）的阶段性研究成果。