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一、数学习题变式的作用
1.使学生的数学学习触类旁通。“习题变式”教学往往是围绕一两道数学习题进行，变式提问深浅适度，由表及里，由浅入深，层层深入，环环紧扣，给学生清晰的层次感，从层层递进的变式中激活学生的思维，使学生学会知识的迁移，学一道题，会一类题；做一道题，会一串题。
2.使教师的教学设计举一反三。从目前初中数学习题课现状来看，教师对习题的处理比较单一，就题论题，未能拓宽学生解题思路，提高学生应变能力。数学教学不应局限于陕窄的课本，为了达到“举一反三”的效果变式教学是必要的。
二、概念界定
数学教学中的习题“变式”，主要是指对例题、习题进行变通推广，使学生在不同角度、不同层次、不同背景下重新认识。由于学生可以多层次、广视角、全方位地认识数学问题，因而可以把学生的知识、能力、思想引入深处，具有较好的教学价值。
三、变式教学的原则
1.针对性原则。变式教学，不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，对习题的变式也应不同。
2.可行性原则。在选择课本习题进行变式时要变得有“度”，恰到好处。
3.参与性原则。在变式教学中，要鼓励学生大胆地“变”，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，同时培养学生的创新意识和创新精神，以及举一反三的能力。
四、数学“变式”教学的实施策略
1.变题型
数学考试的题型主要有以下三种:选择题、填空题、解答题（包括计算、证明、作图等）。变题型就是指以上几种题型之间的转换。
例1已知等腰三角形的一边长为3，一边长为6，则它的周长是（ ）
(A)12 (B)12或15
(C)15 (D)15或18
变式一：已知等腰三角形的一边长为3，一边长为6，则它的周长是___________；
变式二：已知等腰三角形的一边长为3，一边长为6，求它的周长。
题型之间的转换,主要是让学生体验各种题型的不同解法；选择题可以有其特殊的解法,如特殊值法、排除法、验证法等，但是解答题一般只能用直接解法。
2.变条件
①增加条件。适当增添条件，从一般到特殊，以得到更多的结论，可以考验学生对知识的全面性，把所学知识贯穿起来。
例2已知：如图1-1在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 ■
变式一：如图1-2在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形。
变式二：如图1-3在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=Rt∠,E,F,G,H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是菱形。
变式三：如图1-4在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠B=∠C=Rt∠，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是正方形。
由一般的四边形变到最特殊的正方形，中点四边形也随着发生变化：由平行四边形变到正方形。
②减少条件。适当删减条件，往往把题目从特殊转化为一般，更加考验了学生对知识的灵活运用，这对提高学生的解题能力有很大的帮助。
例3如图2-1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D,P是BD上一点,且AP=PC,AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。
■
变式一：如图2-2,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点,且AP⊥PC,则△ABP∽△PDC.请说明理由.
变式二：如图2-3在梯形ABCD中AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=3,BC=7.在BC上找一点P使△ABP与△PCD相似,并求出BP的长。
本题由全等到相似，将三角形全等与三角形相似联系起来，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通。进一步利用相似比列出方程，渗透了方程思想和分类讨论思想。
3.变结论
变结论就是将问题深入思考，还能进一步得出结论。
例4如图3，已知A,B,C三点在同一直线上，在直线的同一侧作等边三角形ABD和BCE，连接AE、CD分别交BD和BE于F,G两点，连接FG，求证：AE=CD。
变式一：求证△ABF≌△DBG。
变式二:试判断△BFG为何种特殊三角形,说明理由。
在条件不变下继续探索其它结论，使不同层次的学生得到不同得到发展，使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法，培养学生探究能力与解决问题的能力。
4.变图形
变图形一般可以考虑内部、边缘（或顶点）外部的变化，也可以从图形变到其他图形，比如从三角形到四边形、五边形等。
例5如图4-1，在等边△ABC的AC、BC上各取一点P、Q，使AP=CQ,AQ,BP相交于点O，求∠BOQ的度数。
■
变式一：如图4-2已知△ABC为等边三角形，点P是射线BC上任意一点，点Q是射线CA上任意一点，且AP=CQ，直线AQ、BP相交于点O，求∠BOQ的度数。
变式二：将题中的“等边△ABC”分别改为正方形ABCD（如图4-3），正五边形ABCDE（如图4-4）,正六边形ABCDEF（如图4-5）……正n边形ABCD…X（如图4-6）,“点Ｐ是ＡＣ上一点”改为“点Ｐ是ＣＤ上任意一点”，其余条件不变，根据前面的求解思路，分别推断∠BOQ的度数，将结论填入下表：
■
P、Q从三角形的边上变到边的延长线上，从三角形变到四边形、五边形……，但是解决问题的知识、方法没变，还是运用三角形全等以及三角形的外角等于不相邻的两内角的和解决问题，从而使学生真正抓住本质，做一题而会一类。
5.变解法
变解法就是试图从题目的解法出发，寻求一题多解，从不同的解法中拓展学生的思维，发展学生的能力。
例6如图5-1，∠C+∠A=∠AEC，判断AB与CD是否平行，并说明理由。
■
解法一：AB∥CD.理由如下:
如图5-2，延长CE,交AB于点F，则∠AEC=∠A+∠AFC(三角形外角的性质)
∵∠C+∠A=∠AEC(已知),
∴∠C+∠A=∠A+∠AFC,
∴∠C=∠AFC,
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
解法二：如图5-3，连接AC,在△CAE中,
∵∠AEC+∠CAE+∠ACE=180°(三角形三个内角的和等于180°),
又∵∠DCE+∠EAB=∠AEC,
∴∠DCE+∠EAB+∠CAE+∠ACE=180°，即∠DCA+∠CAB=180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
6.作铺垫
当学生对某一问题无法完成时，教师可将例题变式，将难度降低，解决了之后再来解决原来较难的例题，这与西方的“脚手架理论”类似。
如图6-1，在一个长、宽、高分别为3米，2米，2米的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间，离天花板0.1米处（点A处），苍蝇在对面墙的中间，离地面0.1米处（点B处）.试问,蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少?
■
变式一：如图2，已知立方体的棱长为4cm,一只蚂蚁从点A沿立方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？
变式二:如图3,已知长方体的长、宽、高分别为4cm，3cm，
2cm，一只蚂蚁从点A沿立方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？
五、习题应注意的问题
1.适合学生水平
变式要限制在学生思维水平的“最近发展区”上，变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的实际内容、目的和要求，要有助于学生对本节课内容的掌握。
2.倡导学生积极参与
变式并不是教师的专利，教师必须转变观念、发扬教学民主，让学生参与题目的变化，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能够变式的，教师绝不包办代替。学生变式有困难的，可在教师的点拨与启发下完成，让学生获得成功的体验，这样可以调动学生学习的积极性，提高学生参与度和创新的意识。
3.变式题目万变不离其宗
紧扣《考试说明》，在初中数学变式教学中，变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。变式过多，不但会造成题海，会增加无效劳动和加重学生的负担，而且还会使学生产生逆反心理，对解题产生厌烦情绪。变式时要渗透数学思想、方法。在变式的过程中要尽可能体现数学思想、方法。
1.使学生的数学学习触类旁通。“习题变式”教学往往是围绕一两道数学习题进行，变式提问深浅适度，由表及里，由浅入深，层层深入，环环紧扣，给学生清晰的层次感，从层层递进的变式中激活学生的思维，使学生学会知识的迁移，学一道题，会一类题；做一道题，会一串题。
2.使教师的教学设计举一反三。从目前初中数学习题课现状来看，教师对习题的处理比较单一，就题论题，未能拓宽学生解题思路，提高学生应变能力。数学教学不应局限于陕窄的课本，为了达到“举一反三”的效果变式教学是必要的。
二、概念界定
数学教学中的习题“变式”，主要是指对例题、习题进行变通推广，使学生在不同角度、不同层次、不同背景下重新认识。由于学生可以多层次、广视角、全方位地认识数学问题，因而可以把学生的知识、能力、思想引入深处，具有较好的教学价值。
三、变式教学的原则
1.针对性原则。变式教学，不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，对习题的变式也应不同。
2.可行性原则。在选择课本习题进行变式时要变得有“度”，恰到好处。
3.参与性原则。在变式教学中，要鼓励学生大胆地“变”，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，同时培养学生的创新意识和创新精神，以及举一反三的能力。
四、数学“变式”教学的实施策略
1.变题型
数学考试的题型主要有以下三种:选择题、填空题、解答题（包括计算、证明、作图等）。变题型就是指以上几种题型之间的转换。
例1已知等腰三角形的一边长为3，一边长为6，则它的周长是（ ）
(A)12 (B)12或15
(C)15 (D)15或18
变式一：已知等腰三角形的一边长为3，一边长为6，则它的周长是___________；
变式二：已知等腰三角形的一边长为3，一边长为6，求它的周长。
题型之间的转换,主要是让学生体验各种题型的不同解法；选择题可以有其特殊的解法,如特殊值法、排除法、验证法等，但是解答题一般只能用直接解法。
2.变条件
①增加条件。适当增添条件，从一般到特殊，以得到更多的结论，可以考验学生对知识的全面性，把所学知识贯穿起来。
例2已知：如图1-1在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 ■
变式一：如图1-2在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形。
变式二：如图1-3在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=Rt∠,E,F,G,H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是菱形。
变式三：如图1-4在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠B=∠C=Rt∠，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是正方形。
由一般的四边形变到最特殊的正方形，中点四边形也随着发生变化：由平行四边形变到正方形。
②减少条件。适当删减条件，往往把题目从特殊转化为一般，更加考验了学生对知识的灵活运用，这对提高学生的解题能力有很大的帮助。
例3如图2-1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D,P是BD上一点,且AP=PC,AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。
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变式一：如图2-2,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点,且AP⊥PC,则△ABP∽△PDC.请说明理由.
变式二：如图2-3在梯形ABCD中AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=3,BC=7.在BC上找一点P使△ABP与△PCD相似,并求出BP的长。
本题由全等到相似，将三角形全等与三角形相似联系起来，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通。进一步利用相似比列出方程，渗透了方程思想和分类讨论思想。
3.变结论
变结论就是将问题深入思考，还能进一步得出结论。
例4如图3，已知A,B,C三点在同一直线上，在直线的同一侧作等边三角形ABD和BCE，连接AE、CD分别交BD和BE于F,G两点，连接FG，求证：AE=CD。
变式一：求证△ABF≌△DBG。
变式二:试判断△BFG为何种特殊三角形,说明理由。
在条件不变下继续探索其它结论，使不同层次的学生得到不同得到发展，使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法，培养学生探究能力与解决问题的能力。
4.变图形
变图形一般可以考虑内部、边缘（或顶点）外部的变化，也可以从图形变到其他图形，比如从三角形到四边形、五边形等。
例5如图4-1，在等边△ABC的AC、BC上各取一点P、Q，使AP=CQ,AQ,BP相交于点O，求∠BOQ的度数。
■
变式一：如图4-2已知△ABC为等边三角形，点P是射线BC上任意一点，点Q是射线CA上任意一点，且AP=CQ，直线AQ、BP相交于点O，求∠BOQ的度数。
变式二：将题中的“等边△ABC”分别改为正方形ABCD（如图4-3），正五边形ABCDE（如图4-4）,正六边形ABCDEF（如图4-5）……正n边形ABCD…X（如图4-6）,“点Ｐ是ＡＣ上一点”改为“点Ｐ是ＣＤ上任意一点”，其余条件不变，根据前面的求解思路，分别推断∠BOQ的度数，将结论填入下表：
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P、Q从三角形的边上变到边的延长线上，从三角形变到四边形、五边形……，但是解决问题的知识、方法没变，还是运用三角形全等以及三角形的外角等于不相邻的两内角的和解决问题，从而使学生真正抓住本质，做一题而会一类。
5.变解法
变解法就是试图从题目的解法出发，寻求一题多解，从不同的解法中拓展学生的思维，发展学生的能力。
例6如图5-1，∠C+∠A=∠AEC，判断AB与CD是否平行，并说明理由。
■
解法一：AB∥CD.理由如下:
如图5-2，延长CE,交AB于点F，则∠AEC=∠A+∠AFC(三角形外角的性质)
∵∠C+∠A=∠AEC(已知),
∴∠C+∠A=∠A+∠AFC,
∴∠C=∠AFC,
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
解法二：如图5-3，连接AC,在△CAE中,
∵∠AEC+∠CAE+∠ACE=180°(三角形三个内角的和等于180°),
又∵∠DCE+∠EAB=∠AEC,
∴∠DCE+∠EAB+∠CAE+∠ACE=180°，即∠DCA+∠CAB=180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
6.作铺垫
当学生对某一问题无法完成时，教师可将例题变式，将难度降低，解决了之后再来解决原来较难的例题，这与西方的“脚手架理论”类似。
如图6-1，在一个长、宽、高分别为3米，2米，2米的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间，离天花板0.1米处（点A处），苍蝇在对面墙的中间，离地面0.1米处（点B处）.试问,蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少?
■
变式一：如图2，已知立方体的棱长为4cm,一只蚂蚁从点A沿立方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？
变式二:如图3,已知长方体的长、宽、高分别为4cm，3cm，
2cm，一只蚂蚁从点A沿立方体表面爬到点C，试求它爬行的最短距离是多少？
五、习题应注意的问题
1.适合学生水平
变式要限制在学生思维水平的“最近发展区”上，变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的实际内容、目的和要求，要有助于学生对本节课内容的掌握。
2.倡导学生积极参与
变式并不是教师的专利，教师必须转变观念、发扬教学民主，让学生参与题目的变化，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能够变式的，教师绝不包办代替。学生变式有困难的，可在教师的点拨与启发下完成，让学生获得成功的体验，这样可以调动学生学习的积极性，提高学生参与度和创新的意识。
3.变式题目万变不离其宗
紧扣《考试说明》，在初中数学变式教学中，变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。变式过多，不但会造成题海，会增加无效劳动和加重学生的负担，而且还会使学生产生逆反心理，对解题产生厌烦情绪。变式时要渗透数学思想、方法。在变式的过程中要尽可能体现数学思想、方法。