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对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴涵其中的数学思想方法揭出来，挖掘出隐含的问题的本质属性.不但可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力、分析和解决问题的思维技能，优化数学的思维品质.而且还可以培养学生探索创新的能力.本文以浙教版教材《数学》九年级下册3.1直线与圆的位置关系中第50页课内练习第2题为例，做一些探索.
题目 ：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=4，CB=3.设⊙C的半径为r，请根据下列r的值，判断直线AB与⊙C的位置关系，并说明理由.
（1）r=2；（2）r=2.4； （3）r=3.
这是一道简单、基础的练习题，考查学生对直线与圆的3种位置关系的判定.本题由于图形的典型性，使得其中蕴含了丰富的内容，若将问题的背景设置在平面直角坐标系中，通过坐标将“数”和“形”有机结合起来，拓宽知识的认知空间和深度，达到既考查几何问题，又渗透函数的思想与理念的目的，这便可演变出一系列问题：
1.赋以坐标，让“数”、“形”互通
问题1 :如图2，在平面直角坐标系中，一次函数
y= 3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.
（1）若⊙O以原点为圆心，半径为2，则直线l1与⊙O的位置关系是 .
（2）若⊙O以原点为圆心，半径为2.4，则直线l1与⊙O的位置关系是 .
（3）若⊙O以原点为圆心，半径为4，则直线l1与⊙O的位置关系是 .
解析 ：本题改编了原题的呈现形式，但处理问题的方式是一样的，从而可得答案依次为相离、相切、相交.
2.线“静”圆“动”，让“圆”动起来
问题2 :如图3，在平面直角坐标系中，一次函数
y=
3 4 x+3的图象是直线l1，
l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.若⊙P的圆心坐标为（0，0），其半径为1，⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与直线AB相交时，求点P移动的单位长度的取值范围.
解析 ：本题在原题的基础上作了一定的拓展，由静变动，让⊙P动起来，使题目更显生机.解答时，应先分析⊙P沿x轴向左移动时与直线AB的位置情况：相离→相切→相交→相切→相离，为此，解题时应注意分类思想.
如图4，当⊙P沿x轴向左移动时与直线AB第1次相切，切点为C，又易证△AP1C∽△ABP，则 AP1 AB = CP1 PB .根据题意，可得AP=4，BP=3，进而得AB=5，又CP1=1，所以
AP1 5 = 1 3 ，解得
AP1= 5 3 .同理，当⊙P与直线AB第2次相切（即在点A左侧时），AP2=AP+AP1=4+ 5 3 =
17 3 .
所以，当⊙P与直线AB相交时，点P移动的单位长度的取值范围为:
5 3 ＜P1P＜ 17 3 .
3.圆“静”线“动”，让“线”转起来
问题3 ：在平面直角坐标系中，一次函数
y= 3 4 x+b的图象位置随b的不同取值而变化，圆心P的坐标为（0，0），⊙P的半径为1．
（1）如图5，若直线y= 3 4 x+b与⊙P相切，求b的值.
解析 ：本题在原题的基础上作了较大的拓展，虽仍是由静变动，但与问题2又有所不同，问题2是“圆”动，本题是“线”动，是一簇“平行于
y= 3 4 x”的直线，但满足条件的直线只有两条.因此，解答此题的突破口是抓住：k相等，且与⊙P相切.
当直线AB向下平移时，直线AB与⊙P为出现下列位置关系：相离→相切→相交→相切→相离.当第1次相切时，切点为D(如图6)，此时直线与x轴交于C点，y轴交于E点.又易证△PDE∽△CPE，则
DE PD = PE CP =
3 4 .而PD=1，所以
DE 1 = 3 4 ，解得
DE= 3 4 ，进而得PE= 5 4 ，所以
b= 5 4 .同理，当第2次相切，
b=- 5 4 .
所以，满足条件的b有：b=
± 5 4 .
（2）如图7，若经过点A（-4，0）的直线y=kx+b（k≠0）与⊙P相切，求直线的函数解析式.
解析 ：本题与问题3比较，又作了变式.问题3是“线”向下平动，本题是“线”绕点A旋转，是一束“发散”的直线，但满足条件的直线也只有两条.因此，解答此题的切入点是抓住与⊙P相切.
当直线AB绕点A顺时针旋转时，当第1次相切时，切点为C(如图8)，此时直线与y轴交于D点.则在Rt△ACP中，易得
AC=AP2-PC2=
15
，又易证△APC∽△PDC，得
AP AC =
PD PC ，即
4 15 =
PD 1 ，解得
PD=
415 15
，所以D（0，
415 15
），进而求得yAD=
15 15 x+ 415 15
.同理，当第2次相切，yAD
[KG-*2]′=- 15 15 x-
415 15
.
综上分析，所以满足条件的直线解析式有：
yAD[KG-*2]′= 15 15 x+
415 15 或
yAD[KG-*2]′=- 15 15 x-
415 15 .
4.线“静”点“动”，让“点”舞起来
问题4 :在平面直角坐标系中，一次函数y=
3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.如图9，点P、Q同时从点A出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位.若⊙Q与直线l1，y轴都相切，求点Q的坐标.
解析 ：本题与问题3比较，又作了变式.此题是一个双动点运动型的问题，随着点P、点Q位置的改变，半径PQ的长度逐渐变长，所以圆也逐渐变大，但始终与直线AB相切.解决此题的关键是先确定满足条件的圆心，后运用相似建立等量关系，同时要注意分类讨论.
当⊙Q与直线AB，y轴第1次都相切时（如图10），连接PQ，则QP=QO，即此时圆心Q在∠ABO的平分线上.设AP=4x，AQ=5x，则QO=PQ=3x，所以AQ+QO=5x+3x=4，得
x= 1 2 ，此时Q（- 3 2 ，0）.
当⊙Q与直线AB，y轴第2次都相切时，点Q在∠ABO补角的平分线上.则PQ=3x，而QO=AQ-AO=5x-4，由于此时仍满足QO=PQ，所以3x=5x-4，得x=2，此时Q（6，0）.
综上分析，所以满足条件的点Q坐标有：（- 3 2 ，0）或（6，0）.
问题5:如图11，在平面直角坐标系中，一次函数
y= 3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点
．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．
解析 ：（1）略.
（2）本题是对前面几道题的再深入拓展，解题的思路、方法有所提高，进而编制的一道中考压轴题.体现了知识在课内，题在课外的理念.此题是除了双动点外，还有动直线，因此难度较大，需要综合分析，逐个突破，并且也要注意分类讨论.
由题意得：AP=4t，AQ=5t，
AP AO = AQ AB =t，又∠PAQ=∠OAB，所以△APQ∽△AOB，得∠APQ=∠AOB=90°.又点P在l1上，所以⊙Q在运动过程中保持
与l1相切.
①当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E.由△APQ∽△AOB，得
PQ BO = AQ AB ，即
PQ 3 =
4-PQ 5 ，解得PQ= 3 2 .
连接QE（如图12），则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB，得
QE OA =
QC AB ，即
PQ OA = QC AB ，所以
3 24 =
QC 5 ，解得QC= 15 8 ，所以a=QC-OQ=
3 8 .
②当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得
PQ 3 = 4+PQ 5 ，
解得PQ=6.
连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，得
QF OA
= QC AB ，即
PQ OA = QC AB ，所以
6 4 =
QC 5 ，解得
QC= 15 2 ，所以a=QC+OQ=
27 2 .
综上分析，所以满足条件的a的值为 3 8 或
27 2 .
从以上的例析中可以看出，对课本一道题目的添“枝”加“叶”，不仅让学生明晰一类题型的解题思路、方法和技巧，也提升了教师自身研题和教学的能力.虽然我们反对“题海战术”，但不应轻视数学解题研究，尤其是对学生困惑问题的研究，不仅要让学生“知其然”，更要让学生“知其所以然”，要注重知识在过程上的展开和方法上的总结，层层深入，化题为型，凝题成链，结题成网，让这类试题成为学生巩固知识、观察、分析、思考、探究问题、发展能力、掌握思想方法的重要渠道，真正实现“明一理”到“通一类”的飞跃，为学生的能力提升铺路搭桥.
总之，教材中的例题、习题是经过编者精挑细选的，具有典型性、示范性，同时也给教师留下了广阔的创造空间，只要教师认真钻研，教材中的许多例题、习题都可以延伸拓展.因此，在平时我们应立足课本，要重视发挥教材中最基本而富有启发性的典型例题、练习题、习题或复习题的作用，将其归纳与总结，推广与引申，拓宽与演变，并得出规律性的结论，用以解决其他问题，是值得提倡与发展的.
题目 ：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=4，CB=3.设⊙C的半径为r，请根据下列r的值，判断直线AB与⊙C的位置关系，并说明理由.
（1）r=2；（2）r=2.4； （3）r=3.
这是一道简单、基础的练习题，考查学生对直线与圆的3种位置关系的判定.本题由于图形的典型性，使得其中蕴含了丰富的内容，若将问题的背景设置在平面直角坐标系中，通过坐标将“数”和“形”有机结合起来，拓宽知识的认知空间和深度，达到既考查几何问题，又渗透函数的思想与理念的目的，这便可演变出一系列问题：
1.赋以坐标，让“数”、“形”互通
问题1 :如图2，在平面直角坐标系中，一次函数
y= 3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.
（1）若⊙O以原点为圆心，半径为2，则直线l1与⊙O的位置关系是 .
（2）若⊙O以原点为圆心，半径为2.4，则直线l1与⊙O的位置关系是 .
（3）若⊙O以原点为圆心，半径为4，则直线l1与⊙O的位置关系是 .
解析 ：本题改编了原题的呈现形式，但处理问题的方式是一样的，从而可得答案依次为相离、相切、相交.
2.线“静”圆“动”，让“圆”动起来
问题2 :如图3，在平面直角坐标系中，一次函数
y=
3 4 x+3的图象是直线l1，
l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.若⊙P的圆心坐标为（0，0），其半径为1，⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与直线AB相交时，求点P移动的单位长度的取值范围.
解析 ：本题在原题的基础上作了一定的拓展，由静变动，让⊙P动起来，使题目更显生机.解答时，应先分析⊙P沿x轴向左移动时与直线AB的位置情况：相离→相切→相交→相切→相离，为此，解题时应注意分类思想.
如图4，当⊙P沿x轴向左移动时与直线AB第1次相切，切点为C，又易证△AP1C∽△ABP，则 AP1 AB = CP1 PB .根据题意，可得AP=4，BP=3，进而得AB=5，又CP1=1，所以
AP1 5 = 1 3 ，解得
AP1= 5 3 .同理，当⊙P与直线AB第2次相切（即在点A左侧时），AP2=AP+AP1=4+ 5 3 =
17 3 .
所以，当⊙P与直线AB相交时，点P移动的单位长度的取值范围为:
5 3 ＜P1P＜ 17 3 .
3.圆“静”线“动”，让“线”转起来
问题3 ：在平面直角坐标系中，一次函数
y= 3 4 x+b的图象位置随b的不同取值而变化，圆心P的坐标为（0，0），⊙P的半径为1．
（1）如图5，若直线y= 3 4 x+b与⊙P相切，求b的值.
解析 ：本题在原题的基础上作了较大的拓展，虽仍是由静变动，但与问题2又有所不同，问题2是“圆”动，本题是“线”动，是一簇“平行于
y= 3 4 x”的直线，但满足条件的直线只有两条.因此，解答此题的突破口是抓住：k相等，且与⊙P相切.
当直线AB向下平移时，直线AB与⊙P为出现下列位置关系：相离→相切→相交→相切→相离.当第1次相切时，切点为D(如图6)，此时直线与x轴交于C点，y轴交于E点.又易证△PDE∽△CPE，则
DE PD = PE CP =
3 4 .而PD=1，所以
DE 1 = 3 4 ，解得
DE= 3 4 ，进而得PE= 5 4 ，所以
b= 5 4 .同理，当第2次相切，
b=- 5 4 .
所以，满足条件的b有：b=
± 5 4 .
（2）如图7，若经过点A（-4，0）的直线y=kx+b（k≠0）与⊙P相切，求直线的函数解析式.
解析 ：本题与问题3比较，又作了变式.问题3是“线”向下平动，本题是“线”绕点A旋转，是一束“发散”的直线，但满足条件的直线也只有两条.因此，解答此题的切入点是抓住与⊙P相切.
当直线AB绕点A顺时针旋转时，当第1次相切时，切点为C(如图8)，此时直线与y轴交于D点.则在Rt△ACP中，易得
AC=AP2-PC2=
15
，又易证△APC∽△PDC，得
AP AC =
PD PC ，即
4 15 =
PD 1 ，解得
PD=
415 15
，所以D（0，
415 15
），进而求得yAD=
15 15 x+ 415 15
.同理，当第2次相切，yAD
[KG-*2]′=- 15 15 x-
415 15
.
综上分析，所以满足条件的直线解析式有：
yAD[KG-*2]′= 15 15 x+
415 15 或
yAD[KG-*2]′=- 15 15 x-
415 15 .
4.线“静”点“动”，让“点”舞起来
问题4 :在平面直角坐标系中，一次函数y=
3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.如图9，点P、Q同时从点A出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位.若⊙Q与直线l1，y轴都相切，求点Q的坐标.
解析 ：本题与问题3比较，又作了变式.此题是一个双动点运动型的问题，随着点P、点Q位置的改变，半径PQ的长度逐渐变长，所以圆也逐渐变大，但始终与直线AB相切.解决此题的关键是先确定满足条件的圆心，后运用相似建立等量关系，同时要注意分类讨论.
当⊙Q与直线AB，y轴第1次都相切时（如图10），连接PQ，则QP=QO，即此时圆心Q在∠ABO的平分线上.设AP=4x，AQ=5x，则QO=PQ=3x，所以AQ+QO=5x+3x=4，得
x= 1 2 ，此时Q（- 3 2 ，0）.
当⊙Q与直线AB，y轴第2次都相切时，点Q在∠ABO补角的平分线上.则PQ=3x，而QO=AQ-AO=5x-4，由于此时仍满足QO=PQ，所以3x=5x-4，得x=2，此时Q（6，0）.
综上分析，所以满足条件的点Q坐标有：（- 3 2 ，0）或（6，0）.
问题5:如图11，在平面直角坐标系中，一次函数
y= 3 4 x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点
．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．
解析 ：（1）略.
（2）本题是对前面几道题的再深入拓展，解题的思路、方法有所提高，进而编制的一道中考压轴题.体现了知识在课内，题在课外的理念.此题是除了双动点外，还有动直线，因此难度较大，需要综合分析，逐个突破，并且也要注意分类讨论.
由题意得：AP=4t，AQ=5t，
AP AO = AQ AB =t，又∠PAQ=∠OAB，所以△APQ∽△AOB，得∠APQ=∠AOB=90°.又点P在l1上，所以⊙Q在运动过程中保持
与l1相切.
①当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E.由△APQ∽△AOB，得
PQ BO = AQ AB ，即
PQ 3 =
4-PQ 5 ，解得PQ= 3 2 .
连接QE（如图12），则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB，得
QE OA =
QC AB ，即
PQ OA = QC AB ，所以
3 24 =
QC 5 ，解得QC= 15 8 ，所以a=QC-OQ=
3 8 .
②当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得
PQ 3 = 4+PQ 5 ，
解得PQ=6.
连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，得
QF OA
= QC AB ，即
PQ OA = QC AB ，所以
6 4 =
QC 5 ，解得
QC= 15 2 ，所以a=QC+OQ=
27 2 .
综上分析，所以满足条件的a的值为 3 8 或
27 2 .
从以上的例析中可以看出，对课本一道题目的添“枝”加“叶”，不仅让学生明晰一类题型的解题思路、方法和技巧，也提升了教师自身研题和教学的能力.虽然我们反对“题海战术”，但不应轻视数学解题研究，尤其是对学生困惑问题的研究，不仅要让学生“知其然”，更要让学生“知其所以然”，要注重知识在过程上的展开和方法上的总结，层层深入，化题为型，凝题成链，结题成网，让这类试题成为学生巩固知识、观察、分析、思考、探究问题、发展能力、掌握思想方法的重要渠道，真正实现“明一理”到“通一类”的飞跃，为学生的能力提升铺路搭桥.
总之，教材中的例题、习题是经过编者精挑细选的，具有典型性、示范性，同时也给教师留下了广阔的创造空间，只要教师认真钻研，教材中的许多例题、习题都可以延伸拓展.因此，在平时我们应立足课本，要重视发挥教材中最基本而富有启发性的典型例题、练习题、习题或复习题的作用，将其归纳与总结，推广与引申，拓宽与演变，并得出规律性的结论，用以解决其他问题，是值得提倡与发展的.