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【摘要】本文主要讨论有界量、无界量与无穷小、无穷大这几个概念之间的区别与联系，并给出了有界量与无穷大的积为无穷大的两个充分条件.
【关键词】有界量；无界量；无穷小；无穷大
1.引 言
在高等数学的学习过程中，有界性与无界性是学生首先触到的与单调性、奇偶性、周期性相比较为生疏的函数性质.对于有界性定义的深刻理解是进一步学好函数极限及函数的相关性质的保证.而无穷小与无穷大也是学生在初步学习高等数学的过程中所遇到的两个不易理解的特殊变量.对于这两个量的掌握对深刻理解极限概念、熟练进行极限运算和理解并运用函数相关性质起着重要作用.同时，有界量、无界量与无穷小、无穷大之间又有着一定的联系.我们从这几个量的基本概念出发来讨论它们之间的区别与联系，同时我们将给出有界量与无穷大的积为无穷大的两个充分条件.这里我们讨论的函数均为实数集上的单值实函数.
2.基本概念
设函数f(x)的定义域为D，数集XD，则有
定义1 若M>0，x∈X，均有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在X上有界.
从数学分析上讲，函数f(x)在X上有界即为函数值的集合f(X)={f(x)|x∈X}是有界点集.
定义2 若M>0，x0∈X，使得|f(x0)|>M，则称函数f(x)在X上无界.
以函数f(x)在区间［a，b］上有界为例，其几何意义是，函数f(x)在区间［a，b］上的图像位于以二直线y=M与y=-M为边界的带形区域之内，也就是说其图像可以被以x轴为对称轴的宽度为2M的带子所盖住.反之，如果无界，我们就找不到这样的带子.
在这里要顺便提醒读者注意，函数的有界性是相对于某个数集而言.如函数f(x)=1x在［1，2］上有界，但是在［0，1］上就是无界的.
下面设函数f(x)在x0的某个去心邻域U0(x0，δ)内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）.
定义3 若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小.
用ε-δ语言表示为：ε>0，δ>0(X>0)，当0<|x-x0|<δ(|x|>X)时，有|f(x)|<ε.
定义4 若B>0，δ>0(X>0)，当0<|x-x0|<δ(|x|>X)时，有|f(x)|>B，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大.记为limx→x0(x→∞)f(x)=∞.
这里我们注意两点：（1）无穷小和无穷大都是变量，除了0以外再小的常数也不是无穷小，再大的常数也不是无穷大.（2）无穷小和无穷大都是相对于某一变化过程而言的，如函数f(x)=1x在x→0时为无穷大，而在x→∞时即为无穷小.
首先我们假设在同一变化过程中，不妨就设在x0的某个去心邻域内，来讨论下面的相关结论，对于|x|大于某一正数时也有相应的结论.
3.有界量与无穷小
结论1 无穷小一定是有界量，但是有界量不一定是无穷小.
证明 设函数f(x)是x→x0时的无穷小，则对于ε=1，δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|<ε=1.取M=1，则x∈U0(x0，δ)，有|f(x)| 后半部分结论是显然的，比如在极限不存在和存在但不为零的时候.
定理1 有界量与无穷小的乘积是无穷小，有界量与无穷小的和仍是有界量.
定理的前半部分是教材上都有的结论，并且在极限的运算过程中已经起到了不可忽视的作用.例如：
例1 limx→0sinx•arctan1x.
解 因为x∈U0(0，δ)，arctan1x<π2，故arctan1x为x→0时的有界量.而limx→0sinx=0，所以limx→0sinx•arctan1x＝0.
还有易和重要极限limx→0sinxx=1混淆的limx→∞sinxx=0都是利用这条性质计算的.
对于定理的后半部分，有如下的证明.
证明 设函数f(x)是x→x0时的无穷小，则对于ε=1，δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<ε=1.又设函数g(x)在U0(x0，ε2)内有界，M1>0，则x∈U0(0，δ2)，有|g(x)|≤M1.取M=M1+1，δ=min{δ1，δ2}，则x∈U0(0，δ)，均有|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|<1+M1=M.因此，f(x)+g(x)在U0(x0，δ)内有界.
4.有界量、无界量与无穷大
结论2 无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大.
对于前半部分结论，在学习过程中，学生可以通过感性认识就可以得到.但是，对于后半部分结论，学生往往易得出错误的结论，误以为无界量就是无穷大.在教学过程中，下例便是很典型的学生易混淆的例子.
例2 当x→0时，函数1xsin1x是否为有界量？又是否为无穷大？
解 设f(x)＝1xsin1x，在x→0的过程中，选择两个特殊的数列xn=12nπ+π2和x′n=12nπ，当n→∞时，有{xn}，{x′n}均收敛于0，且xn，x′n≠0.下面分别对于这两个数列所对应的函数值数列{f(xn)}，{f(x′n)}进行讨论.
由于f(xn)=2nπ+π2sin2nπ+π2=2nπ+π2n→∞∞，故M>0，N∈N+，当n>N时，|f(xn)|>M，取x0=xn，即有f(x)在x→0时无界.
又对于f(x′n)=2nπsin2nπ=0，由海涅定理推论可知，limx→0f(x)≠∞，故当x→0时，f(x)不是无穷大.
由于当x→0时，1x是无穷大，而sin1x是有界量，我们又可以得出这样的结论，有界量与无穷大之积未必是无穷大.这一点也是学生容易搞错的地方，比如在极限的运算过程中，我们经常在作业中看到这样的错误结果limx→∞xcosx=∞.
定理2 有界量与无穷大的和是无穷大.
那么，有界量与无穷大的积什么情况下仍为无穷大呢？下面我们给出积为无穷大的两个充分条件.
定理3 设函数f(x)为x→x0的无穷大量，函数g(x)在U0(x0，δ)内有界.
（1）若limx→x0g(x)存在，且不为0，则f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量；
（2）若limx→x0g(x)不存在，但在U0(x0，δ)内，任何收敛于x0的数列{xn}所对应的函数值数列{g(xn)}均不收敛于0，则f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量.
证明 （1）设limx→x0g(x)=A≠0，则对于ε=|A|2，δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，有|g(x)-A|<δ=1，从而||g(x)|-|A||≤|g(x)-A|<|A|2，可得|g(x)|>|A|2.
又B>0，由f(x)为x→x0的无穷大量知，对于B0=2B|A|>0，δ2>0，当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)|>B0，从而有取δ=min{δ1，δ2}；当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)g(x)|>B0•|A|2=2B|A|•|A|2=B，故f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量.
（2）函数g(x)在U0(x0，δ)内有界，记点集X={g(x)|x∈U0(x0，δ)}，即X为有界点集.由于在U0(x0，δ)内，{xn}，xn→x0，对应的函数值数列{g(xn)}均不收敛于0，故0为点集X的孤立点，从而存在0的某个去心邻域U0(0，η)∩X=Φ(η<δ).因此，对于x∈U0(x0，δ)，均有|g(x)|>η>0.
又B>0，由f(x)为x→x0的无穷大量知，对于B0=Bη>0，δ0>0，当0<|x-x0|<δ0时，有|f(x)|>B0，从而有取γ=min{δ0，δ}；当0<|x-x0|<γ时，有|f(x)g(x)|>B0•η=Bη•η=B，故f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量.
基于以上这两个充分条件，学生可以在做极限题目过程中，迅速判断出哪些乘积是无穷大量.
5.结束语
本文对于有界量、无界量与无穷小、无穷大这几个概念进行了进一步的阐释，指出并分析了学生在学习过程中易混淆、出错之处，讨论了概念间相互联系，同时给出了有界量与无穷大的积仍为无穷大的两个充分条件.希望本文能对教师在教学过程中关于这几个概念的处理提供一点帮助，同时也希望能够对于学生在学习过程中对这几个概念产生的困惑的解决和进一步对这几个概念的深入理解及正确使用有所帮助.
【参考文献】
［1］同济大学应用数学系.高等数学（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.
［2］王绵森，马知恩.工科数学分析基础［M］.北京：高等教育出版社，1998.
［3］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，1992.
［4］丁莲珍，等.高等数学［M］.南京：河海大学出版社，2004.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】有界量；无界量；无穷小；无穷大
1.引 言
在高等数学的学习过程中，有界性与无界性是学生首先触到的与单调性、奇偶性、周期性相比较为生疏的函数性质.对于有界性定义的深刻理解是进一步学好函数极限及函数的相关性质的保证.而无穷小与无穷大也是学生在初步学习高等数学的过程中所遇到的两个不易理解的特殊变量.对于这两个量的掌握对深刻理解极限概念、熟练进行极限运算和理解并运用函数相关性质起着重要作用.同时，有界量、无界量与无穷小、无穷大之间又有着一定的联系.我们从这几个量的基本概念出发来讨论它们之间的区别与联系，同时我们将给出有界量与无穷大的积为无穷大的两个充分条件.这里我们讨论的函数均为实数集上的单值实函数.
2.基本概念
设函数f(x)的定义域为D，数集XD，则有
定义1 若M>0，x∈X，均有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在X上有界.
从数学分析上讲，函数f(x)在X上有界即为函数值的集合f(X)={f(x)|x∈X}是有界点集.
定义2 若M>0，x0∈X，使得|f(x0)|>M，则称函数f(x)在X上无界.
以函数f(x)在区间［a，b］上有界为例，其几何意义是，函数f(x)在区间［a，b］上的图像位于以二直线y=M与y=-M为边界的带形区域之内，也就是说其图像可以被以x轴为对称轴的宽度为2M的带子所盖住.反之，如果无界，我们就找不到这样的带子.
在这里要顺便提醒读者注意，函数的有界性是相对于某个数集而言.如函数f(x)=1x在［1，2］上有界，但是在［0，1］上就是无界的.
下面设函数f(x)在x0的某个去心邻域U0(x0，δ)内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）.
定义3 若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小.
用ε-δ语言表示为：ε>0，δ>0(X>0)，当0<|x-x0|<δ(|x|>X)时，有|f(x)|<ε.
定义4 若B>0，δ>0(X>0)，当0<|x-x0|<δ(|x|>X)时，有|f(x)|>B，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大.记为limx→x0(x→∞)f(x)=∞.
这里我们注意两点：（1）无穷小和无穷大都是变量，除了0以外再小的常数也不是无穷小，再大的常数也不是无穷大.（2）无穷小和无穷大都是相对于某一变化过程而言的，如函数f(x)=1x在x→0时为无穷大，而在x→∞时即为无穷小.
首先我们假设在同一变化过程中，不妨就设在x0的某个去心邻域内，来讨论下面的相关结论，对于|x|大于某一正数时也有相应的结论.
3.有界量与无穷小
结论1 无穷小一定是有界量，但是有界量不一定是无穷小.
证明 设函数f(x)是x→x0时的无穷小，则对于ε=1，δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|<ε=1.取M=1，则x∈U0(x0，δ)，有|f(x)|
定理1 有界量与无穷小的乘积是无穷小，有界量与无穷小的和仍是有界量.
定理的前半部分是教材上都有的结论，并且在极限的运算过程中已经起到了不可忽视的作用.例如：
例1 limx→0sinx•arctan1x.
解 因为x∈U0(0，δ)，arctan1x<π2，故arctan1x为x→0时的有界量.而limx→0sinx=0，所以limx→0sinx•arctan1x＝0.
还有易和重要极限limx→0sinxx=1混淆的limx→∞sinxx=0都是利用这条性质计算的.
对于定理的后半部分，有如下的证明.
证明 设函数f(x)是x→x0时的无穷小，则对于ε=1，δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<ε=1.又设函数g(x)在U0(x0，ε2)内有界，M1>0，则x∈U0(0，δ2)，有|g(x)|≤M1.取M=M1+1，δ=min{δ1，δ2}，则x∈U0(0，δ)，均有|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|<1+M1=M.因此，f(x)+g(x)在U0(x0，δ)内有界.
4.有界量、无界量与无穷大
结论2 无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大.
对于前半部分结论，在学习过程中，学生可以通过感性认识就可以得到.但是，对于后半部分结论，学生往往易得出错误的结论，误以为无界量就是无穷大.在教学过程中，下例便是很典型的学生易混淆的例子.
例2 当x→0时，函数1xsin1x是否为有界量？又是否为无穷大？
解 设f(x)＝1xsin1x，在x→0的过程中，选择两个特殊的数列xn=12nπ+π2和x′n=12nπ，当n→∞时，有{xn}，{x′n}均收敛于0，且xn，x′n≠0.下面分别对于这两个数列所对应的函数值数列{f(xn)}，{f(x′n)}进行讨论.
由于f(xn)=2nπ+π2sin2nπ+π2=2nπ+π2n→∞∞，故M>0，N∈N+，当n>N时，|f(xn)|>M，取x0=xn，即有f(x)在x→0时无界.
又对于f(x′n)=2nπsin2nπ=0，由海涅定理推论可知，limx→0f(x)≠∞，故当x→0时，f(x)不是无穷大.
由于当x→0时，1x是无穷大，而sin1x是有界量，我们又可以得出这样的结论，有界量与无穷大之积未必是无穷大.这一点也是学生容易搞错的地方，比如在极限的运算过程中，我们经常在作业中看到这样的错误结果limx→∞xcosx=∞.
定理2 有界量与无穷大的和是无穷大.
那么，有界量与无穷大的积什么情况下仍为无穷大呢？下面我们给出积为无穷大的两个充分条件.
定理3 设函数f(x)为x→x0的无穷大量，函数g(x)在U0(x0，δ)内有界.
（1）若limx→x0g(x)存在，且不为0，则f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量；
（2）若limx→x0g(x)不存在，但在U0(x0，δ)内，任何收敛于x0的数列{xn}所对应的函数值数列{g(xn)}均不收敛于0，则f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量.
证明 （1）设limx→x0g(x)=A≠0，则对于ε=|A|2，δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，有|g(x)-A|<δ=1，从而||g(x)|-|A||≤|g(x)-A|<|A|2，可得|g(x)|>|A|2.
又B>0，由f(x)为x→x0的无穷大量知，对于B0=2B|A|>0，δ2>0，当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)|>B0，从而有取δ=min{δ1，δ2}；当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)g(x)|>B0•|A|2=2B|A|•|A|2=B，故f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量.
（2）函数g(x)在U0(x0，δ)内有界，记点集X={g(x)|x∈U0(x0，δ)}，即X为有界点集.由于在U0(x0，δ)内，{xn}，xn→x0，对应的函数值数列{g(xn)}均不收敛于0，故0为点集X的孤立点，从而存在0的某个去心邻域U0(0，η)∩X=Φ(η<δ).因此，对于x∈U0(x0，δ)，均有|g(x)|>η>0.
又B>0，由f(x)为x→x0的无穷大量知，对于B0=Bη>0，δ0>0，当0<|x-x0|<δ0时，有|f(x)|>B0，从而有取γ=min{δ0，δ}；当0<|x-x0|<γ时，有|f(x)g(x)|>B0•η=Bη•η=B，故f(x)g(x)在x→x0时为无穷大量.
基于以上这两个充分条件，学生可以在做极限题目过程中，迅速判断出哪些乘积是无穷大量.
5.结束语
本文对于有界量、无界量与无穷小、无穷大这几个概念进行了进一步的阐释，指出并分析了学生在学习过程中易混淆、出错之处，讨论了概念间相互联系，同时给出了有界量与无穷大的积仍为无穷大的两个充分条件.希望本文能对教师在教学过程中关于这几个概念的处理提供一点帮助，同时也希望能够对于学生在学习过程中对这几个概念产生的困惑的解决和进一步对这几个概念的深入理解及正确使用有所帮助.
【参考文献】
［1］同济大学应用数学系.高等数学（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.
［2］王绵森，马知恩.工科数学分析基础［M］.北京：高等教育出版社，1998.
［3］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，1992.
［4］丁莲珍，等.高等数学［M］.南京：河海大学出版社，2004.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文