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摘 要：应试教育下很多课堂教学常有重解题轻概念的现象发生，而概念教学恰恰是数学教学环节中最重要的一环，如何做好概念教学是我们每一位教师必须重视的问题，教师应该合理使用教材，创设合理的教学情境，突出概念的本质，让概念的形成、理解和辨析在有效的问题串设计中自然形成。数学课堂教学中，针对具体的教学内容和学生知识、能力的实际，设计恰时恰点、适度合理的问题串，不仅可以引导学生步步深入地分析问题、解决问题、建构知识、发展能力，而且能优化课堂结构，提高课堂效率，很好地培养学生的思维品质。应该说科学设计问题串是一节魅力数学课堂不可或缺的元素。
关键词：科学设计；问题串；概念教学
一、 问题的提出
前不久，笔者在高三一轮复习函数的奇偶性时，给出了这样一道判断题：若函数f=（x 1）为奇函数，则f=（-x-1）=-f（x 1），这个结论正确吗？全班53名学生竟有多半学生回答正确，还有部分学生犹豫不定！笔者让一位认为正确的学生说说自己的理由，这位学生回答说，函数的奇偶性的定义就是这样的！若函数f（x）是奇函数，则对于定义域中任意自变量x，都有f（-x）=-f（x）成立。我追问他函数f（x 1）的自变量是什么？你能用文字语言叙述一下奇函数的定义吗？结果该生知道自变量为x，但对于第二个问题没答上来。其实学生判断失误的关键在于对奇函数定义没有真正的理解，没有弄清概念的本质：互为相反数的一对自变量对应的函数值也互为相反数。而要弄清这一点，就必须让学生在学习奇函数的概念时，经历由特殊到一般的概念抽象、概括过程。而现实是很多基础年级的课堂只重解题技巧，轻视概念生成过程，追求概念教学最小化和习题讲解最大化，这样学生对数学概念只知道机械记忆，死记硬背、不求甚解，并未理解概念的本质，直接后果表现为学生在没有真正理解概念的情况下匆忙去解题，使得他们只会模仿解决某些典型的题型、掌握某些特定的解法，一旦遇到新情况、新题目就束手无策。
二、 教学片段回放及思考
1. 课题的引入是从现实生活中提出问题或是从数学内部提出问题
以《函数的零点》为例。
问题1 观察这幅图，你发现了什么？
生：发现了3张脸。
师：从左面看，是一个少女；从正面看，是一个老妇人；从侧面看，是一个老头。同一幅图，从不同的角度看，发现了3张脸，得到了不同的结果，你从这里能得到什么样的启发？
生：我们看问题，要善于从不同的角度进行思考。
師：很好！（投影：从不同的角度看问题）
问题2 从不同的角度看y=2x-1，你有什么样的思考？
生：它是一次函数，图象是一条直线。
师：已经有两种结果了，还有吗？假如初一学生来看，他会说是什么？这是一个等式，含有两个未知数的等式，叫什么？
众生：二元一次方程。
师：对于y=2x-1，现在我们可以有三种理解，即函数、直线和方程。
问题3 在y=2x-1中，令y=0，得x=0.5，对x=0.5，你有怎样的理解？
生：可以看成是方程2x-1=0的根。
生：也就是函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标。
师：这样，这里的0.5既有数的意义，又具有形的意义。其实，这个0.5还有一个名字，叫做函数y=2x-1的零点（投影）。这就是我们今天这节课所要研究的问题——板书课题。
师：我们把0.5叫做函数y=2x-1的零点，为什么要取“零点”这个名字呢？
生：因为它是由y=0求得的。
问题4 对于一般的函数y=f（x），你认为该如何定义它的零点呢？
生：方程f（x）=0的根，叫做函数y=f（x）的零点。
师：非常好！跟课本上的定义几乎是一致的。对于这个定义，我们也可以从数和形的角度来刻画。从数的角度怎样来理解？
图1
生：方程f（x）=0的根。
师：那么，从形的角度呢？
生：函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标。
师：非常好！（投影）
问题5 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，你能说出这个函数的零点是什么吗？有两种答案可供选择：（1）x1=0，x2=1，x3=2；（2）（0，0），（1，0），（2，0）。
生：选（1）。
师：为什么呢？
生：根据定义，函数的零点是它的图象与x轴交点的横坐标，是一个数，而不是一个点。
师：很好！如果现在我们可以出一道脑筋急转弯题目：“什么点不是点？”——那么“零点”就是答案之一。
评析：在对引入课题的问题情境进行设计时，先由学生熟悉的自然现象入手，过渡到数学中的抽象问题，接着提出相应的问题，这样符合学生的认知规律。笔者在研究该课的相关案例时，发现有的教学设计直接从数学问题角度提出问题，这样设计未尝不可，但是由于函数具有高度抽象性，先结合实例形象感知现象，再探究数学中的抽象更自然合理。
设置问题情境是为提出数学问题服务的，不能为了情境而情境，经历完眼花缭乱的情境后学生没有能自主提出问题，这样的问题情境是失败的，也就是说在设置时没有考虑问题的导向性，让学生经历之后到底想让学生产生怎样的问题。
2. 概念形成过程中的问题串设计要有整体性、层次性、探究性
以《三角函数的周期性》为例。
问题1 如何用数学语言刻画三角函数的周期性？
问题2 如果函数f（x）是周期函数，符合用数学语言刻画的函数特性吗？
评析：先由学生熟悉的正弦函数进行探究，概括出作为周期函数的两个主要特征，再通过问题2加深学生对两个特征的认识，由特殊到一般，符合学生认知习惯，为定义一般函数的周期性做铺垫。上述两个问题是为了解决“如何用数学语言刻画三角函数的周期性”而设置的，自上而下体现了统一性、延续性，并非孤立分散的，这就体现了问题情境的设置要有整体性。 问题1-1：结合前面所学的知识你能说说正弦函数有怎样“周而复始”的特点吗？
问题1-2：这个结论如何用数学等式表示？
问题1-3：上式的成立与x有关吗？
评析：上述三个小问题是为了解决问题1而设置的，让学生对正弦函数周期性的特点进行直观感知，然后引导学生用数学语言对两个特征（任意性，周而复始）进行刻画，再对正弦函数的周期性下一定义，这是概念形成的关键一步，同时也体现了设置问题时的层次性。
3. 概念形成后要注重反思概念的内涵，挖掘其外延
以《函数的零点》为例，试看“零点存在性定理”的生成过程。
师：下面我们来探究函数在什么条件下有零点，先来做一个实验：每位同学的桌上都有一支笔芯和一条细线，如果我们把笔芯所在直线假想成x轴，把细线当成函数图象。现请将细线和笔芯放在桌面内，保持笔芯固定不动，活动细线的两个端点（记为A、B），观察细线与笔芯的交点的个数，思考下列问题：
问题1 如果A、B在笔芯异侧，细线和笔芯的交点有几个？
答：略。
问题2 如果A、B在笔芯同侧，细线和笔芯的交点有几个？
答：略。
问题3 细线的两个端点满足什么条件时这条细线和笔芯一定有交点？
答：略。
问题4 上述结论怎样用数学语言表示？
答：略。
问题5 利用函数f（x）=23x3 12x2-2x 1的圖象，考查你自己总结的结论正确吗？
老师用几何画板演示（略）。
师：至此，我们可以确定刚才的结论是正确的，这正是函数零点的存在性定理：
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，并且f（a）f（b）<0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点。
请大家思考：
（1） 若函数在区间（a，b）有零点，是几个？
（2） 如果函数是一条间断的曲线，结论如何？
（3） 如果f（a）f（b）>0，结论如何？
（4） 定理的结论与条件反过来成立吗？
（5） 有位同学画了如图2所示的图形，认为上述“定理”不成立，你同意这种观点吗？
讨论（略）。
作者简介：
张锦成，江苏省苏州市外国语学校。
关键词：科学设计；问题串；概念教学
一、 问题的提出
前不久，笔者在高三一轮复习函数的奇偶性时，给出了这样一道判断题：若函数f=（x 1）为奇函数，则f=（-x-1）=-f（x 1），这个结论正确吗？全班53名学生竟有多半学生回答正确，还有部分学生犹豫不定！笔者让一位认为正确的学生说说自己的理由，这位学生回答说，函数的奇偶性的定义就是这样的！若函数f（x）是奇函数，则对于定义域中任意自变量x，都有f（-x）=-f（x）成立。我追问他函数f（x 1）的自变量是什么？你能用文字语言叙述一下奇函数的定义吗？结果该生知道自变量为x，但对于第二个问题没答上来。其实学生判断失误的关键在于对奇函数定义没有真正的理解，没有弄清概念的本质：互为相反数的一对自变量对应的函数值也互为相反数。而要弄清这一点，就必须让学生在学习奇函数的概念时，经历由特殊到一般的概念抽象、概括过程。而现实是很多基础年级的课堂只重解题技巧，轻视概念生成过程，追求概念教学最小化和习题讲解最大化，这样学生对数学概念只知道机械记忆，死记硬背、不求甚解，并未理解概念的本质，直接后果表现为学生在没有真正理解概念的情况下匆忙去解题，使得他们只会模仿解决某些典型的题型、掌握某些特定的解法，一旦遇到新情况、新题目就束手无策。
二、 教学片段回放及思考
1. 课题的引入是从现实生活中提出问题或是从数学内部提出问题
以《函数的零点》为例。
问题1 观察这幅图，你发现了什么？
生：发现了3张脸。
师：从左面看，是一个少女；从正面看，是一个老妇人；从侧面看，是一个老头。同一幅图，从不同的角度看，发现了3张脸，得到了不同的结果，你从这里能得到什么样的启发？
生：我们看问题，要善于从不同的角度进行思考。
師：很好！（投影：从不同的角度看问题）
问题2 从不同的角度看y=2x-1，你有什么样的思考？
生：它是一次函数，图象是一条直线。
师：已经有两种结果了，还有吗？假如初一学生来看，他会说是什么？这是一个等式，含有两个未知数的等式，叫什么？
众生：二元一次方程。
师：对于y=2x-1，现在我们可以有三种理解，即函数、直线和方程。
问题3 在y=2x-1中，令y=0，得x=0.5，对x=0.5，你有怎样的理解？
生：可以看成是方程2x-1=0的根。
生：也就是函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标。
师：这样，这里的0.5既有数的意义，又具有形的意义。其实，这个0.5还有一个名字，叫做函数y=2x-1的零点（投影）。这就是我们今天这节课所要研究的问题——板书课题。
师：我们把0.5叫做函数y=2x-1的零点，为什么要取“零点”这个名字呢？
生：因为它是由y=0求得的。
问题4 对于一般的函数y=f（x），你认为该如何定义它的零点呢？
生：方程f（x）=0的根，叫做函数y=f（x）的零点。
师：非常好！跟课本上的定义几乎是一致的。对于这个定义，我们也可以从数和形的角度来刻画。从数的角度怎样来理解？
图1
生：方程f（x）=0的根。
师：那么，从形的角度呢？
生：函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标。
师：非常好！（投影）
问题5 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，你能说出这个函数的零点是什么吗？有两种答案可供选择：（1）x1=0，x2=1，x3=2；（2）（0，0），（1，0），（2，0）。
生：选（1）。
师：为什么呢？
生：根据定义，函数的零点是它的图象与x轴交点的横坐标，是一个数，而不是一个点。
师：很好！如果现在我们可以出一道脑筋急转弯题目：“什么点不是点？”——那么“零点”就是答案之一。
评析：在对引入课题的问题情境进行设计时，先由学生熟悉的自然现象入手，过渡到数学中的抽象问题，接着提出相应的问题，这样符合学生的认知规律。笔者在研究该课的相关案例时，发现有的教学设计直接从数学问题角度提出问题，这样设计未尝不可，但是由于函数具有高度抽象性，先结合实例形象感知现象，再探究数学中的抽象更自然合理。
设置问题情境是为提出数学问题服务的，不能为了情境而情境，经历完眼花缭乱的情境后学生没有能自主提出问题，这样的问题情境是失败的，也就是说在设置时没有考虑问题的导向性，让学生经历之后到底想让学生产生怎样的问题。
2. 概念形成过程中的问题串设计要有整体性、层次性、探究性
以《三角函数的周期性》为例。
问题1 如何用数学语言刻画三角函数的周期性？
问题2 如果函数f（x）是周期函数，符合用数学语言刻画的函数特性吗？
评析：先由学生熟悉的正弦函数进行探究，概括出作为周期函数的两个主要特征，再通过问题2加深学生对两个特征的认识，由特殊到一般，符合学生认知习惯，为定义一般函数的周期性做铺垫。上述两个问题是为了解决“如何用数学语言刻画三角函数的周期性”而设置的，自上而下体现了统一性、延续性，并非孤立分散的，这就体现了问题情境的设置要有整体性。 问题1-1：结合前面所学的知识你能说说正弦函数有怎样“周而复始”的特点吗？
问题1-2：这个结论如何用数学等式表示？
问题1-3：上式的成立与x有关吗？
评析：上述三个小问题是为了解决问题1而设置的，让学生对正弦函数周期性的特点进行直观感知，然后引导学生用数学语言对两个特征（任意性，周而复始）进行刻画，再对正弦函数的周期性下一定义，这是概念形成的关键一步，同时也体现了设置问题时的层次性。
3. 概念形成后要注重反思概念的内涵，挖掘其外延
以《函数的零点》为例，试看“零点存在性定理”的生成过程。
师：下面我们来探究函数在什么条件下有零点，先来做一个实验：每位同学的桌上都有一支笔芯和一条细线，如果我们把笔芯所在直线假想成x轴，把细线当成函数图象。现请将细线和笔芯放在桌面内，保持笔芯固定不动，活动细线的两个端点（记为A、B），观察细线与笔芯的交点的个数，思考下列问题：
问题1 如果A、B在笔芯异侧，细线和笔芯的交点有几个？
答：略。
问题2 如果A、B在笔芯同侧，细线和笔芯的交点有几个？
答：略。
问题3 细线的两个端点满足什么条件时这条细线和笔芯一定有交点？
答：略。
问题4 上述结论怎样用数学语言表示？
答：略。
问题5 利用函数f（x）=23x3 12x2-2x 1的圖象，考查你自己总结的结论正确吗？
老师用几何画板演示（略）。
师：至此，我们可以确定刚才的结论是正确的，这正是函数零点的存在性定理：
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，并且f（a）f（b）<0，则函数f（x）在区间（a，b）上有零点。
请大家思考：
（1） 若函数在区间（a，b）有零点，是几个？
（2） 如果函数是一条间断的曲线，结论如何？
（3） 如果f（a）f（b）>0，结论如何？
（4） 定理的结论与条件反过来成立吗？
（5） 有位同学画了如图2所示的图形，认为上述“定理”不成立，你同意这种观点吗？
讨论（略）。
作者简介：
张锦成，江苏省苏州市外国语学校。