【摘 要】“数学归纳法”是一种处理与自然数有关问题的数学方法。本文结合自己的教学体会，这种数学方法的特征，学生高中阶段的知识水平，从对学生学习兴趣的培养，方法的掌握、使用技巧、使用范围几个方面进行了阐述。
　　 【关键词】数学归纳法 有限 无限 递推
　　
　　在高中数学新教材“极限”这一章第一节中我们学习了一种很重要的数学方法——数学归纳法。在教学中，反映出相当一部分学生对这种新的数学方法的真正掌握有一定困难，他们都或多或少存在着一些这样或那样弄不清、搞不懂的东西。通过几年来自身对这一节的教学实践和感悟，我认为要使学生真正掌握好这种数学方法，应从以下几个方面入手。
　　一、帮助学生认识这种数学方法的重要性，启发和激励学生学好这种方法的积极性和主动性
　　数学归纳的重要性主要表现有以下三个方面：
　　首先，它是一种处理无限问题的数学方法。数学归纳法常用于证明一些关于自然数的命题。由于自然数的个数是无限的，因此，对于与自然数有关的命题，是不可能用有限次验证的方法去证明的，这就需要研究如何通过“有限”的手段，去跨越“无限”的鸿沟。在“无限”的情况下，“有限”条件下的许多规则与方法已不再适用，而数学归纳法却提供了这样一种从有限到无限保证其结论正确可靠的数学方法。它的重要性是不言而喻的。
　　其次，在观察、猜测的基础上，通过少量命题Ｐ（１）、Ｐ（２）……的实证，归纳出对一切自然数命题Ｐ（ｎ）正确，这是不完全归纳。它的结论，虽然不一定正确，但却是探索新知识、发现新规律的重要途径。而归纳法可用于猜想与发现，但这些有关自然数的命题，猜测或发现的结论是否正确，却是没有保证的，这时就可用数学归纳法加以证明。于是数学归纳法就体现了从观察到猜想到证明这样一种科学的思维模式。
　　再次，它对于提高学生的数学素质与发展数学能力，也有着重要的作用。数学归纳法的实质在于递推，对一个有关自然数的命题，从命题在前ｒ个自然数的情况，推得它在紧接着第ｒ＋１个数的情况。递推思想在组合数学，数学基础以及电子计算机等许多领域都有着重要的应用。通过数学归纳法的学习，领会递进思想，掌握递推方法，对于提高学生的数学素质与能力，十分重要。
　　二、帮助学生理解为什么数学归纳法证明必须具备验证和证明两步
　　大多数学生学习数学归纳法时往往感到难于理解，即弄不清在数学归纳法两步证明都完成的情况下，为什么就证明了命题对一切允许取得的自然数都成立，也就是对数学归纳法证明的有效性表示怀疑。由于中学数学中没有学习皮亚诺公理系统，也就是说从纯理论上很难阐明数学归纳法运用的有效性和合理性。因此，在这种情况下，只能将数学归纳法作为公理那样处理，这就是大多数学生对数学归纳不那么直观易懂的病根所在。为此在教学时需要突出数学归纳法递推的实质，它的第一步是递推的基础，第二步则是递推的根据。于是从命题对于自然数ｎ０正确，推出它对于自然数ｎ０＋１正确，推出对自然数ｎ０＋２正确。这样顺次地可以推出对于自然数ｎ０＋３，ｎ０＋４，……即对于从ｎ０开始的一切自然数，命题的结论都正确，从而使学生从感性上易于接受数学归纳法的有效性。
　　三、 帮助学生正确认识和理解数学归纳法“两步”证明之间的内在联系
　　数学归纳法证明与自然数有关的命题时，其证明过程有两个步骤：
　　（１）证明当ｎ＝１时，命题Ｐ（１）成立（特殊情况下，ｎ取允许取得第一个值）（奠基步骤）
　　（２）假设当ｎ＝ｋ时，命题Ｐ（ｋ）成立（归纳假设），能推出ｎ＝ｋ＋１时，命题Ｐ（ｋ＋１）也成立，则命题Ｐ（ｎ）对一切自然数ｎ均成立。
　　为什么数学归纳法的两个步骤缺一不可？学生对于第一步的奠基作用不难理解，对于第二步作用的把握则是困难的，这一点可以从正反两个方面进行阐述。
　　使用数学归纳法时，第一步是基础，关键在于第二步，而要完成第二步就必须使用归纳假设。正是通过归纳假设的使用，才使ｎ＝ｋ的情况得以递推到ｎ＝ｋ＋ｌ的情况，从而保证了命题的传递性。因此不使用归纳假设，就谈不上用数学归纳法证题。这里有两个主要的错误：一种是误把代入作为证明，另一种错误是不使用归纳假设，而用别的方法进行了证明，这时第一步的验证，第二步中的归纳假设就形同虚设。
　　四、 弄清数学归纳法的适用范围和作用
　　大家都知道，数学归纳法的适用范围是针对与自然数有关的命题的，但一定要注意，并不是所有与自然数有关的命题都能用数学归纳法来解决。
　　在中学数学中，与自然数有关的命题种类是比较多的，如：与自然数有关的等式、不等式的证明，整除性问题，数列通项公式问题，一些图形几何性质问题等。处理这些问题往往要用到数学归纳法，但在实际应用时，常常需要用到一些特殊的技巧，因此在数学归纳法教学中，必须强调具体问题具体对待，同时注意发展学生分析与解决问题的能力。
　　
　　 （陕西神木县第四小学；７１９３００）