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摘 要： 随着新一轮基础教育改革的推进，数学课题学习被纳入我国中学课程教学。在新教材的实验和推广中，以“课题学习”为载体进行数学实践活动教学是培养学生创新意识和实践能力的重要方式之一。教师用自己的智慧去研究教材、整合知识，有创造性地教学，让学生亲历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用，培养学生的转化意识，使学生对数学理解的同时，获得成功的体验和克服困难的经历。
笔者设计的《课题学习 最短路径问题（第2课时）》参加了“2016福建省青年教师优秀课观摩与交流活动”，在活动中参评并获得二等奖。现以本节课为例，就教学中如何精心设计问题，借助自制教具，培养学生的问题转化意识，促进学生思维发展等方面谈谈笔者的设计与思考。
关键词： 转化思想；化归思想；最短路径；平移
一、 教学思路的设计
内容分析
1 课标要求
“课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。
2 教材分析
本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。
学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。
3 学情分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手 。
与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线b的什么位置時，AM MN NB最小”，需要将其转化为“当点N在直线b的什么位置时，AM NB最小”。能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。
教学目标：
对教学内容的研究是为了制定精准的教学目标，本节课的总体教学目标是：能利用平移解决最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中作用，感悟转化的思想。
重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。
关键词：利用平移将桥的长度巧妙地化解开去。
二、 教学过程设计
（一） 新知学习
师：如图1，上节课我们学习了：牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河岸l饮马，然后到好朋友家B地做客。利用轴对称的知识将问题转化为“两点之间，线段最短”，从而找到了使路程最短的点P。
最近，好朋友的家搬到了河的对岸，他们设想如果要在河上造一座桥MN，桥造何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）如图2，这又出现了一个“最短路径问题”。
在本节课中会运用怎样的图形变换来解决这个问题呢？
设计意图：引入问题2
（二） 自主探究
活动一、 分析问题：
问题1：这是一个实际问题，我们首先要做什么？
生：首先把实际问题转化为数学问题，具体地可以将A、B两地抽象为两个点，将河的两岸抽象为两条互相平行的直线a、b，将桥抽象为一条与直线垂直的线段MN。
追问1：怎样用几何图形来初步表示以上问题？
学生思考并展示图形。
追问2：对于桥的确定需要几个点？
生：两个（点M，N）。
追问3：如果已知一个点可以找到另一个点吗？
生思考并回答：可以。
师：这样把找“一条线段”的问题就转化为“找一个点”的问题了。继续完成图形。
追问4：综合以上分析，请结合图形用数学语言来描述这个问题。
学生思考讨论，并相互补充，最后达成共识：如图3，直线a∥b，点N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N位于什么位置时，AM MN NB最小？
也可说成：如图3，直线a∥b，点M为直线a上的一个动点，MN⊥a，交直线b于点N，当点M位于什么位置时，AM MN NB最小？
设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。
（三） 合作提升
活动二、解决问题
追问5：问题中要求的AM MN NB最小，在这三条线段中，有哪些线段会随着点N的位置变化而变化？
生：由于河岸是互相平行的且桥要与河岸垂直，决定了桥的长度MN就是河宽，无论桥造在何处，MN是必经路线，所以AM MN NB最小本质上就是AM NB最小。
追问6：怎样保证AM NB最小呢？
学生展开讨论。（在这一环节中，学生可能出现多种考虑方案，可由小组长负责收集，根据课堂情况，在后面的环节或待新课结束后进行分析讨论。） 追问7：如图4，假设点A、B中间不是隔着一条河（平行线），而是一条直线，你会解决这个问题吗？
生：直接连接A、B即可。
追问8：观察图3、图4，这两个问题有什么联系？可以转化为假设的问题吗？
教师演示教具，引导学生发现二者的联系。
生：将直线a向直线b平移，平移的方向为“与河岸垂直”，平移的距离为“河宽”，使两直线重合，就转化为假设的问题了。
师：平移直线a的同时，点A有什么需要配合的变化？
学生小组讨论：点A也需要同样的平移，否则点A与河岸的距离会发生变化。
师：这样就在直线b中找出建桥点N。
师：如何清楚地表达这种方法？并画出图形。
学生小组合作交流，相互补充
生：过点A作射线AC⊥a，在AC上截取AA′=河宽，连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求。
设计意图：通過搭建平台，将“三条线段和”的问题，转化为“两条线段和”的问题；将“两平行线”转化为“一条直线”问题。通过这两个台阶，降低问题的难度，渗透转化思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
（四） 引导发展
活动三、证明问题
师：你能证明这样找到的点N为符合条件的点吗？通过上节课的学习，要证明“最大”或“最小”这类问题，通常怎么处理？
生：常常要另选一个量，通过与需求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。
生：不妨在直线b上另外取一点N′，作为建桥点，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，N′B，求证：AM MN NB 学生在学习提纲上进行尝试证明。
证明：在△A′N′B中，
∵A′B 即A′N NB ∴AM NB ∴AM MN NB ∴AM MN BN最小。
师： 你能解释小组中出现的各种作法，它们是否符合题意吗？
设计意图：让学生进一步验证作法的正确性，提高逻辑思维能力。
二、 设计说明与思考
转化思想是解决数学问题的一个重要思想。任何一个新知识，总是原有知识发展和转化
的结果。它可以将某些数学问题化难为易，另辟蹊径，通过转化途径探索出解决问题的新思路。在教学中我们教师应结合恰当的教学内容逐步渗透给学生转化的思想，使他们能用转化的思想去学习新知识、分析并解决问题。
本节课是上一节课的续篇，运用故事的形式自然地引入新课即“造桥选址”问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用几何图形表示。设计有梯度的问题，问题串如下：
1. 怎样用几何图形表示以上问题？
2. 对于桥的确定需要几个点？
3. 如果已知一个点可以找到另一个点吗？
4. 问题中要求的AM MN NB最小，在这三条线段中，有哪些线段会随着点N的位置变化而变化？
5. 怎样保证AM NB最小呢？
这样将总问题分解为若干小问题，特别是对于桥的确定，由原来的找“一条线段”转化为“找一个点”的问题，将两条平行线通过平移“一合一分”，并结合教具的演示，学生有豁然开朗的感觉。整个分析过程一气呵成，顺理成章，符合“最近发展区”理论的合理建构，有利于学生对最短路径问题的理解、应用。
总之，教学时教师需适时提炼运用恰当的数学思想，从实际问题情境中感悟思维机制，获取问题转化的思想，增强学生的数学意识，提高数学能力，形成良好的数学素养，从而促进学生的思维发展。
参考文献：
[1]义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京师范大学出版社，2011.
[2]义务教育数学教师教学用书八年级上册.
笔者设计的《课题学习 最短路径问题（第2课时）》参加了“2016福建省青年教师优秀课观摩与交流活动”，在活动中参评并获得二等奖。现以本节课为例，就教学中如何精心设计问题，借助自制教具，培养学生的问题转化意识，促进学生思维发展等方面谈谈笔者的设计与思考。
关键词： 转化思想；化归思想；最短路径；平移
一、 教学思路的设计
内容分析
1 课标要求
“课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。
2 教材分析
本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。
学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。
3 学情分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手 。
与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线b的什么位置時，AM MN NB最小”，需要将其转化为“当点N在直线b的什么位置时，AM NB最小”。能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。
教学目标：
对教学内容的研究是为了制定精准的教学目标，本节课的总体教学目标是：能利用平移解决最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中作用，感悟转化的思想。
重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。
关键词：利用平移将桥的长度巧妙地化解开去。
二、 教学过程设计
（一） 新知学习
师：如图1，上节课我们学习了：牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河岸l饮马，然后到好朋友家B地做客。利用轴对称的知识将问题转化为“两点之间，线段最短”，从而找到了使路程最短的点P。
最近，好朋友的家搬到了河的对岸，他们设想如果要在河上造一座桥MN，桥造何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）如图2，这又出现了一个“最短路径问题”。
在本节课中会运用怎样的图形变换来解决这个问题呢？
设计意图：引入问题2
（二） 自主探究
活动一、 分析问题：
问题1：这是一个实际问题，我们首先要做什么？
生：首先把实际问题转化为数学问题，具体地可以将A、B两地抽象为两个点，将河的两岸抽象为两条互相平行的直线a、b，将桥抽象为一条与直线垂直的线段MN。
追问1：怎样用几何图形来初步表示以上问题？
学生思考并展示图形。
追问2：对于桥的确定需要几个点？
生：两个（点M，N）。
追问3：如果已知一个点可以找到另一个点吗？
生思考并回答：可以。
师：这样把找“一条线段”的问题就转化为“找一个点”的问题了。继续完成图形。
追问4：综合以上分析，请结合图形用数学语言来描述这个问题。
学生思考讨论，并相互补充，最后达成共识：如图3，直线a∥b，点N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N位于什么位置时，AM MN NB最小？
也可说成：如图3，直线a∥b，点M为直线a上的一个动点，MN⊥a，交直线b于点N，当点M位于什么位置时，AM MN NB最小？
设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。
（三） 合作提升
活动二、解决问题
追问5：问题中要求的AM MN NB最小，在这三条线段中，有哪些线段会随着点N的位置变化而变化？
生：由于河岸是互相平行的且桥要与河岸垂直，决定了桥的长度MN就是河宽，无论桥造在何处，MN是必经路线，所以AM MN NB最小本质上就是AM NB最小。
追问6：怎样保证AM NB最小呢？
学生展开讨论。（在这一环节中，学生可能出现多种考虑方案，可由小组长负责收集，根据课堂情况，在后面的环节或待新课结束后进行分析讨论。） 追问7：如图4，假设点A、B中间不是隔着一条河（平行线），而是一条直线，你会解决这个问题吗？
生：直接连接A、B即可。
追问8：观察图3、图4，这两个问题有什么联系？可以转化为假设的问题吗？
教师演示教具，引导学生发现二者的联系。
生：将直线a向直线b平移，平移的方向为“与河岸垂直”，平移的距离为“河宽”，使两直线重合，就转化为假设的问题了。
师：平移直线a的同时，点A有什么需要配合的变化？
学生小组讨论：点A也需要同样的平移，否则点A与河岸的距离会发生变化。
师：这样就在直线b中找出建桥点N。
师：如何清楚地表达这种方法？并画出图形。
学生小组合作交流，相互补充
生：过点A作射线AC⊥a，在AC上截取AA′=河宽，连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求。
设计意图：通過搭建平台，将“三条线段和”的问题，转化为“两条线段和”的问题；将“两平行线”转化为“一条直线”问题。通过这两个台阶，降低问题的难度，渗透转化思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
（四） 引导发展
活动三、证明问题
师：你能证明这样找到的点N为符合条件的点吗？通过上节课的学习，要证明“最大”或“最小”这类问题，通常怎么处理？
生：常常要另选一个量，通过与需求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。
生：不妨在直线b上另外取一点N′，作为建桥点，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，N′B，求证：AM MN NB
证明：在△A′N′B中，
∵A′B
师： 你能解释小组中出现的各种作法，它们是否符合题意吗？
设计意图：让学生进一步验证作法的正确性，提高逻辑思维能力。
二、 设计说明与思考
转化思想是解决数学问题的一个重要思想。任何一个新知识，总是原有知识发展和转化
的结果。它可以将某些数学问题化难为易，另辟蹊径，通过转化途径探索出解决问题的新思路。在教学中我们教师应结合恰当的教学内容逐步渗透给学生转化的思想，使他们能用转化的思想去学习新知识、分析并解决问题。
本节课是上一节课的续篇，运用故事的形式自然地引入新课即“造桥选址”问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用几何图形表示。设计有梯度的问题，问题串如下：
1. 怎样用几何图形表示以上问题？
2. 对于桥的确定需要几个点？
3. 如果已知一个点可以找到另一个点吗？
4. 问题中要求的AM MN NB最小，在这三条线段中，有哪些线段会随着点N的位置变化而变化？
5. 怎样保证AM NB最小呢？
这样将总问题分解为若干小问题，特别是对于桥的确定，由原来的找“一条线段”转化为“找一个点”的问题，将两条平行线通过平移“一合一分”，并结合教具的演示，学生有豁然开朗的感觉。整个分析过程一气呵成，顺理成章，符合“最近发展区”理论的合理建构，有利于学生对最短路径问题的理解、应用。
总之，教学时教师需适时提炼运用恰当的数学思想，从实际问题情境中感悟思维机制，获取问题转化的思想，增强学生的数学意识，提高数学能力，形成良好的数学素养，从而促进学生的思维发展。
参考文献：
[1]义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京师范大学出版社，2011.
[2]义务教育数学教师教学用书八年级上册.