【摘要】作为代数与几何相结合的产物——解析几何，其核心思想是通过坐标把几何问题代数化，然后通过代数运算解决几何问题.但是在解决解析几何问题的时候，如果一味强调解析几何中的代数运算，会导致复杂而冗长的运算的过程，而如果在进行运算的同时能综合考虑几何因素，则往往能够简化运算.
　　【关键词】代数运算；简化；问题
　　以“圆”为例，圆是平面几何和解析几何中最重要的内容之一，它有许多重要几何性质，对于解析几何中有关圆的问题，若能充分利用圆的几何性质，将会使解题思路简明，解法简捷，不仅免去解析几何繁琐的运算，还能充分地感受到平面几何的魅力.正基于这种认识，笔者在教学过程中进行了一些研讨，深感此法的绝妙，能够很好地激发学生的思维，并能够提高思维的深刻性和创造性.下面举几例供大家鉴析.
　　一、活用垂径定理及推论
　　例1 已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.问：过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A,B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行，请说明理由.
　　解 解法一：圆C的方程为x2+y2=2.
　　由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA:y-1=k(x-1)，PB:y-1=-k(x-1).
　　由y-1=k(x-1)，x2+y2=2，得
　　(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.
　　因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得
　　xA=k2-2k-11+k2，xB=k2+2k-11+k2，
　　kAB=yB-yAxB-xA=-k(xB-1)-k(xA-1)xB-xA
　　=2k-k(xB+xA)xB-xA=1=kOP.
　　所以直线AB和OP一定平行.
　　解法二：如图1，过P作直线垂直于x轴交圆O于点P1，则P1（1，-1）.因为直线PA,PB的倾斜角互补，所以PA,PB关于直线PP1对称，所以∠APP1=∠BPP1，所以AP1=BP1.由垂径定理推论知OP1⊥AB,显然OP⊥OP1，所以AB∥OP.
　　评析 解法一运用的是代数方法，其思路是根据两直线的倾斜角的关系设出直线方程，通过解方程组求出点A，B的坐标，再根据斜率公式求AB的斜率.整个解题过程运算量较大，环环相扣，对学生计算能力要求甚高，稍有不慎一步出错将影响最后的结果.而解法二充分利用了图形特征，利用了“同圆中相等的圆周角所对的弧相等”的性质得出AP1=BP1，再根据垂径定理推论“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OP1⊥AB，根据平面几何性质“垂直于同一直线的两直线平行”即得证.两种解法比较，解法二的绝妙之处让人惊叹.
　　二、活用切线长定理
　　例2 （2011年南京市高三学情调研卷第19题）已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1.直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为455且圆心M在直线l的下方.设A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1).若AC,BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值.
　　解 解法一：①当直线AC,BC的斜率都存在，即-4　　∴直线AC的方程为y=-2tt2-1(x-t)，直线BC的方程为y=-2(t+5)(t+5)2-1(x-t-5).
　　解方程组y=-2tt2-1(x-t)，y=-2(t+5)(t+5)2-1(x-t-5)，
　　得x=2t+5t2+5t+1，y=2t2+10tt2+5t+1.
　　∴y=2t2+10tt2+5t+1=2-2t2+5t+1.
　　∵-4　　故当t=-52时，△ABC的面积取最小值12×5×5021=12521.
　　②当直线AC，BC的斜率有一个不存在时，即t=-4或t=-1时，易求得△ABC的面积为203.
　　综上，当t=-52时，△ABC面积的最小值为12521.
　　解法二：如图2，因为A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1)，所以AB=5.
　　不妨设AO=a，BO=b，则a+b=5，设△ABC的面积为S,由题意圆M为△ABC的内切圆，
　　∴S=12(AB+BC+AC)•r
　　=12(2a+2b+2CD)=CD+5.
　　设∠AMO=α，∠BMO=β，∠CMD=γ,则γ=π-(α+β).
　　由直角三角形边角关系，得
　　tanα=a，tanβ=b，
　　CD=tanγ=tan(π-α-β)
　　=-tan(α+β)=a+bab-1=5ab-1.
　　 由于a+b=5，由基本不等式，得ab≤(a+b)24=254，当且仅当a=b=52时取最大值,所以当a=b=52时CD取得最小值2021，面积S取得最小值12521.
　　评析 解法一的思路是设出直线AB，BC方程，求出交点C的纵坐标，再利用求函数最值的方法求出纵坐标的最小值，进而求得△ABC面积的最小值.这种解法计算量很大，很多学生算不出最终结果，而且会忽略对斜率的讨论.解法二则充分挖掘图形的几何特征，即圆为△ABC的外切圆，再利用切线长定理把问题转化为求线段CD的最值问题，并把CD的长用AO，BO表示，再用基本不等式即得解，整个过程计算简捷，思路清晰，不易出错.
　　解析几何中涉及有关圆的问题时，应优先考虑能否运用平面几何的性质去解决问题，利用几何图形的直观性，认真分析图形的特征，活用圆的几何性质，如圆的对称性、圆周角与圆心角的关系、半径、弦心距及半弦的关系、垂径定理及其推论、切线长定理等，不仅可以迅速获得解题途径和方法，巧妙解决问题，而且可以大大减少运算量，避免不必要的失误，从而化难为易、化繁为简,达到事倍功半的效果.