抓住基本图形 巧添辅助线

来源 :初中生世界·七年级 | 被引量 : 0次 | 上传用户:xkd19890528
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  七年级同学们刚刚接触平面几何,难免会碰到需要添加辅助线的题目,此时,同学们普遍感觉这类题目比较难.许多同学常常会向老师提出这样的问题:“老师,为什么要添加这条辅助线?”要解决这些问题,同学们就要掌握添加辅助线更一般的规律.
  平面几何可以通过不同图形的不同组合而发生无穷变化,一个几何问题,经过分析后,都一定会发现这样一个事实:它是由一个或若干个最简单最基本的图形组成的,我们把这些最简单最基本的图形称为基本图形.
  下面以《七年级下册补充习题》上一道习题为例.
  如图1,已知AB∥CD.
  求证:∠ABE ∠BEC ∠DCE=360°.
  首先,学会基本图形的识别.
  人们常常感叹于优秀生反应快,并把原因归结为“此人天生聪颖”.实际上,优秀生之所以快,是因为他们善于将一些基本问题进行模块化,把它们的结构和图形储存在脑海中,到用的时候能迅速浮现出来.这好比电脑快是因为储存了大量的程序一样.因此,要想做到快速识别基本图形,平时就应当有意识地归纳和识记基本图形.譬如要解答此题,就应当先熟练掌握“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形.
  本题条件中出现了一组平行线:AB∥CD,所以考虑用“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形进行证明.给出的图形中,发现基本图形不完整,所以需要添加辅助线,根据思考规律,分为两种情况:
  ①添加第三条直线;
  ②添加平行线.
  其次,添加辅助线,构造基本图形.
  (一) 添加第三条直线
  在给出的图形中,没有直接与AB、CD都相交的第三条直线,所以根据这个基本图形的思考规律,需要添加第三条直线.由于两平行线AB、CD可能被各种位置不同的第三条直线所截,所以就会出现添加辅助线的多种可能情况.
  (1) 若两平行线AB、CD被直线BC所截,由于图中没有直线BC,故连接BC,如图2.
  证明(略).
  (2) 若两平行线AB、CD被直线BE(或CE)所截,由于BE与CD没有相交,所以基本图形不完整,故延长BE、DC交于F,如图3.
  证明(略).
  (3) 若两平行线AB、CD被过点C且与AB、CD相交的直线所截,则可以过点C作CF交AB于F,如图4.
  证明(略).
  (二) 添加平行线
  若把BE(或CE)看作是截一组平行线的第三条直线,那么还缺少一条平行线,故过点E作EF∥AB.这里有两种情况:
  (4) 平行线AB、CD与EF构成同旁内角,如图5.
  证明(略).
  (5) 平行线AB、CD与EF构成内错角,如图6.
  证明(略).
  第三,对添加辅助线再思考.
  基本图形的辅助线添加,首先需要根据题目条件和结论识别出基本图形,要做到这一点,需要在做完题后,进行如下的反思:自己是怎样想出来的?有没有别的方法?不同的解法有没有共同的东西?能把这个共同的东西应用于另外一些题目吗?如果发现这个思考方法具有普遍性,那么要把它整理出来,因为这就是一个基本图形.当我们总结的基本图形越多,再碰到相关题目的时候,就越容易识别基本图形,使之容易得到解决.
  (作者单位:江苏省丹阳市华南实验学校)
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