论文部分内容阅读
[摘 要]巧妙利用隐含条件解题，不仅能提高解题效率，而且能提高学生的分析问题和解决问题的能力.
[关键词]初中数学；隐含条件；解题
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0020-02
不少初中数学题题设条件都隐含在题目中.如果学生不注重分析，就无法找到求解问题的关键.要实现对隐含条件的巧妙应用，学生除了应具备扎实的基础知识功底，熟练掌握有关的概念、公式和性质外，还要具备一定的创造性思维和发散性思维，能够灵活运用各种图形工具和分析方法.
一、概念、公式中隐含条件的分析与应用
多数初中数学题目都含有或多或少的概念、公式类隐含条件，学生只有掌握对应部分的知识内容，才能找到正确的解题方法.
[例1]分式（x2-4）/（x2 x-2）=0，求解x.
这道题目中隐含条件是分母不为零.如果学生忽视这一条件，直接令x2-4=0，则会得出错误的结果[x=±2].正确的解法应在x2-4=0且x2 x-2≠0的条件下，求解x的值.因此最终结果为单一解x=2.
[例2]已知点M（x，y）满足坐标方程log1 xy log1-xy=log1 xy-log1-xy，求解点M的轨迹方程.
首先给出一个错误解法：根据坐标方程得到logy（1-x） logy（1 x）=1，得到y=-x2 1.由此得出点M轨迹方程是以（0，1）为顶点，以y轴为对称轴且开口方向向下的抛物线.得出这一错解的原因就是学生没有发现对数函数定义的隐含条件，即（1）y>0；（2）1 x>0且1 x≠0；（3）1-x>0且1-x≠0.于是在解题过程中忽略了一个正确的解y=1.因此，正确的解题过程应在得出y=-x2 1后，继续分析其符合题意的部分，确定其轨迹为y=-x2 1和y=1，且x∈（-1，0）∪（0，1）.
从上述两道例题中可以看出，概念公式隐含条件普遍存在，且容易被忽略，需要学生在解题过程中有更多的耐心和细心，根据题目已知条件完成计算后，再用隐含条件进行检验，剔除不符合条件的解.
二、性质、定理隐含条件的分析与应用
在初中数学中，许多性质定理和判定定理也经常被作为隐含条件出现在题目中，由于一些性质、定理较为相似，仅在个别使用条件下存在差异，学生即使意识到隐含条件的存在，也容易因相关性质、定理不够熟悉，而得出错误的解.
[例3]过点A（2，0）的直线与曲线y=x2相交于两点P和Q，求解PQ中心点M的轨迹方程.
在求解此类问题时，学生容易出现的错误是认为过点A的直线斜率k一定存在，将其设为y=k（x-2），代入后得到x2 kx 2k=0.然后设点P和Q的坐标分为别（x1，y1）和（x2，y2），PQ中心点M的坐标为（x，y），并有x=（x1 x2）/2=k/2，由此得出k=2x.由于点M在直线y=k（x-2）上，于是得出y=2x2-4x即为点M的轨迹方程.在此过程中忽略了一个重要的判定定理，即直线与曲线存在两个不同交点时，[Δ]=k2-8k>0.根据这一判定定理可得出k<0或k>8.在根据上述求解得到的k=2x，可以得出x<0或x>4.因此，正确的解是y=2x2-4x，x∈（-∞，0）∪（4， ∞）.
由此可以看出，在解题过程中，学生如果忽略了性质、定理，会导致求解过程中的条件判断失误，进而导致最终求解结果出现错误.因此，在平时的学习过程中，学生应将各类性质和判定定理了然于心，根据题目条件进行灵活运用.
三、题设制约隐含条件的分析与应用
题设制约隐含条件是指在题目所给条件中，如果A条件成立，则B条件也必须成立；或A条件成立则B条件必须不成立的情况.其中A条件为题目已知条件，而B条件则为需要学生自己分析出来的隐含条件.如果学生没有发现隐含的B条件，则会导致出现多解或漏解的情况.
[例4]已知sinα=[5]/5，sinβ=[10]/10，且α和β均为锐角，求解α β.
在这道题目中，部分学生的错误解法如下：根据题目已知条件sinα=[5]/5和α为锐角，得出cosα=[1-sin2α]=2[5]/5.再根据题目已知条件sin β=[10]/10和β为锐角，得出cos β=[1-sin2β]=3[10]/10.由此得出sin（α β）=（[5]/5）·（3[10]/10） （2[5]/5）·（[10]/10）=[2]/2.由于α和β均為锐角，因此0<α β<π，最终得到α β=π/4或α β=3π/4.
在上述解法中，sinα=[5]/5<[2]/2，而且α是锐角，因此，0<α<π/4.同理，sinβ=[10]/10<[2]/2，而且β是锐角，因此，0<β<π/4，所以实际上α β的取值范围是0<α β<π/2，这就是被学生忽略的“B条件”.这道题最终的结果只有一个，即α β=π/4.
四、几何图形隐含条件的分析与应用
几何图形隐含条件也是一种常见形式.初中数学题目的抽象程度较高，需要学生掌握图形分析方法.许多隐含在几何图形中的隐含条件，学生只依靠题目分析难以发现，需要画出具体图形，通过作辅助线等方式才能找到.
[例5]等腰三角形ABC周长为8 cm，腰长为x cm，底边为y cm，试写出y关于x的函数解析式，确定其函数图像.
在求解这道题目时，根据题目已知条件，学生可以较为容易地列出关系式2x y=8，进而通过变化得出y=-2x 8.由此得出的函数是斜率为-2，与y轴相交于8的直线AB.但实际上还要考虑两个重要的性质定理，即三角形任意邻边之和大于第三边，且三角形边长为正值.因此，x的取值范围为2 利用几何图形特征进行求解是初中数学的一种重要解题方法，此法不仅可以降低题目求解难度，还可以引起学生对隐含条件的注意，从而通过对比几何图形进行检验和检算，发现错误问题，得出正确解法.
通过对上述几种题目隐含条件分析和应用方法的研究，我们可以看出，隐含条件在初中数学问题中普遍存在，而且很容易导致学生做题时出现问题.对题目的隐含条件进行灵活运用，则可以快速求解出正确答案.因此，在平时的学习和练习过程中，学生必须加强对不同隐含条件出现形式的重视，在扎实掌握相关基础知识的前提下，采用正确的分析方法进行求解.
通过对隐含条件具体出现形式、常见的错误解法以及正确的分析和应用方法进行介绍，可以帮助学生更好地掌握隐含条件的利用方法，从而提高解题效率和准确率.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 任捷.试论初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].学周刊，2017（14）：190-191.
[2] 范玉莲.数学题中隐含条件的挖掘和应用[J].晋中师范高等专科学校学报，2003（3）：86-87.
[3] 包素华.数学分析解题中隐含条件的应用[J].衡水师专学报，1999（4）：74-77.
（责任编辑 黄桂坚）
[关键词]初中数学；隐含条件；解题
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0020-02
不少初中数学题题设条件都隐含在题目中.如果学生不注重分析，就无法找到求解问题的关键.要实现对隐含条件的巧妙应用，学生除了应具备扎实的基础知识功底，熟练掌握有关的概念、公式和性质外，还要具备一定的创造性思维和发散性思维，能够灵活运用各种图形工具和分析方法.
一、概念、公式中隐含条件的分析与应用
多数初中数学题目都含有或多或少的概念、公式类隐含条件，学生只有掌握对应部分的知识内容，才能找到正确的解题方法.
[例1]分式（x2-4）/（x2 x-2）=0，求解x.
这道题目中隐含条件是分母不为零.如果学生忽视这一条件，直接令x2-4=0，则会得出错误的结果[x=±2].正确的解法应在x2-4=0且x2 x-2≠0的条件下，求解x的值.因此最终结果为单一解x=2.
[例2]已知点M（x，y）满足坐标方程log1 xy log1-xy=log1 xy-log1-xy，求解点M的轨迹方程.
首先给出一个错误解法：根据坐标方程得到logy（1-x） logy（1 x）=1，得到y=-x2 1.由此得出点M轨迹方程是以（0，1）为顶点，以y轴为对称轴且开口方向向下的抛物线.得出这一错解的原因就是学生没有发现对数函数定义的隐含条件，即（1）y>0；（2）1 x>0且1 x≠0；（3）1-x>0且1-x≠0.于是在解题过程中忽略了一个正确的解y=1.因此，正确的解题过程应在得出y=-x2 1后，继续分析其符合题意的部分，确定其轨迹为y=-x2 1和y=1，且x∈（-1，0）∪（0，1）.
从上述两道例题中可以看出，概念公式隐含条件普遍存在，且容易被忽略，需要学生在解题过程中有更多的耐心和细心，根据题目已知条件完成计算后，再用隐含条件进行检验，剔除不符合条件的解.
二、性质、定理隐含条件的分析与应用
在初中数学中，许多性质定理和判定定理也经常被作为隐含条件出现在题目中，由于一些性质、定理较为相似，仅在个别使用条件下存在差异，学生即使意识到隐含条件的存在，也容易因相关性质、定理不够熟悉，而得出错误的解.
[例3]过点A（2，0）的直线与曲线y=x2相交于两点P和Q，求解PQ中心点M的轨迹方程.
在求解此类问题时，学生容易出现的错误是认为过点A的直线斜率k一定存在，将其设为y=k（x-2），代入后得到x2 kx 2k=0.然后设点P和Q的坐标分为别（x1，y1）和（x2，y2），PQ中心点M的坐标为（x，y），并有x=（x1 x2）/2=k/2，由此得出k=2x.由于点M在直线y=k（x-2）上，于是得出y=2x2-4x即为点M的轨迹方程.在此过程中忽略了一个重要的判定定理，即直线与曲线存在两个不同交点时，[Δ]=k2-8k>0.根据这一判定定理可得出k<0或k>8.在根据上述求解得到的k=2x，可以得出x<0或x>4.因此，正确的解是y=2x2-4x，x∈（-∞，0）∪（4， ∞）.
由此可以看出，在解题过程中，学生如果忽略了性质、定理，会导致求解过程中的条件判断失误，进而导致最终求解结果出现错误.因此，在平时的学习过程中，学生应将各类性质和判定定理了然于心，根据题目条件进行灵活运用.
三、题设制约隐含条件的分析与应用
题设制约隐含条件是指在题目所给条件中，如果A条件成立，则B条件也必须成立；或A条件成立则B条件必须不成立的情况.其中A条件为题目已知条件，而B条件则为需要学生自己分析出来的隐含条件.如果学生没有发现隐含的B条件，则会导致出现多解或漏解的情况.
[例4]已知sinα=[5]/5，sinβ=[10]/10，且α和β均为锐角，求解α β.
在这道题目中，部分学生的错误解法如下：根据题目已知条件sinα=[5]/5和α为锐角，得出cosα=[1-sin2α]=2[5]/5.再根据题目已知条件sin β=[10]/10和β为锐角，得出cos β=[1-sin2β]=3[10]/10.由此得出sin（α β）=（[5]/5）·（3[10]/10） （2[5]/5）·（[10]/10）=[2]/2.由于α和β均為锐角，因此0<α β<π，最终得到α β=π/4或α β=3π/4.
在上述解法中，sinα=[5]/5<[2]/2，而且α是锐角，因此，0<α<π/4.同理，sinβ=[10]/10<[2]/2，而且β是锐角，因此，0<β<π/4，所以实际上α β的取值范围是0<α β<π/2，这就是被学生忽略的“B条件”.这道题最终的结果只有一个，即α β=π/4.
四、几何图形隐含条件的分析与应用
几何图形隐含条件也是一种常见形式.初中数学题目的抽象程度较高，需要学生掌握图形分析方法.许多隐含在几何图形中的隐含条件，学生只依靠题目分析难以发现，需要画出具体图形，通过作辅助线等方式才能找到.
[例5]等腰三角形ABC周长为8 cm，腰长为x cm，底边为y cm，试写出y关于x的函数解析式，确定其函数图像.
在求解这道题目时，根据题目已知条件，学生可以较为容易地列出关系式2x y=8，进而通过变化得出y=-2x 8.由此得出的函数是斜率为-2，与y轴相交于8的直线AB.但实际上还要考虑两个重要的性质定理，即三角形任意邻边之和大于第三边，且三角形边长为正值.因此，x的取值范围为2
通过对上述几种题目隐含条件分析和应用方法的研究，我们可以看出，隐含条件在初中数学问题中普遍存在，而且很容易导致学生做题时出现问题.对题目的隐含条件进行灵活运用，则可以快速求解出正确答案.因此，在平时的学习和练习过程中，学生必须加强对不同隐含条件出现形式的重视，在扎实掌握相关基础知识的前提下，采用正确的分析方法进行求解.
通过对隐含条件具体出现形式、常见的错误解法以及正确的分析和应用方法进行介绍，可以帮助学生更好地掌握隐含条件的利用方法，从而提高解题效率和准确率.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 任捷.试论初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].学周刊，2017（14）：190-191.
[2] 范玉莲.数学题中隐含条件的挖掘和应用[J].晋中师范高等专科学校学报，2003（3）：86-87.
[3] 包素华.数学分析解题中隐含条件的应用[J].衡水师专学报，1999（4）：74-77.
（责任编辑 黄桂坚）