摘要：利用变分法，得了KdV方程与广义KdV方程新的精确解；利用直接积分法构造了广义KdV方程新的精确解.
　　关键词：KdV方程；广义KdV 方程；精确解；变分法；直接积分法
　　中图分类号：G4
　　0 引言
　　求解非线性发展方程是古老而重要的研究课题， 尤其在目前微分方程研究的领域， 它们都是以应用为目的， 或以物理， 力学等其他学科问题为背景的问题， 因此， 希望得到方程的一些具有意义的精确解析解.
　　众所周知，KdV方程现已成为数学物理的基本方程之一，1985年Korteweg和deVries在讨论无黏（带）不可压缩液体表面波动力学时引入此方程，随后在物理学与工程学的许多问题中，相继都引出KdV—MKdV方程
　　（1） 它是等离子体物理和固体物理中的一个模型[8—9].
　　关于KdV方程的研究也十分活跃， 文献[6—7]对其进行了定性分析， 文献[1—5]找到了KdV方程的一类显式精确解， 本文利用变分法与直接积分法构造方程（1）的精确解.
　　1 KdV—MKdV方程新的精确解——变分法
　　其中p，q为待定系数，这样，由（9）和（10）式得
　　定理：在假设（9）下，当同号时，方程（1）具有如下精确解
　　图1，2 当c=11， =3时（16）的 波形图
　　Fig 1，2 The graph of the wave shape when c=11， =3 in（16）
　　2结论
　　本文利用两种方法简洁地求得了KdV方程与广义KdV方程新的精确解析解. 其最大优点是通过变量代换， 分别将求解非线性偏微分方程的问题化为求解非线性代数方程组和求解非线性常微分方程的问题， 因而较为简洁， 本文的方法也可进一步推广并用于求解其他非线性偏微分方程. 这一工作目前正在进行中.
　　参考文献
　　[1]李翌神. 非线性科学选讲[M]. 合肥：中国科技大学出版：1994.
　　[2]Guan K Y， Gao G. Sciencein China（Series（A））， 1987， （1）：64.
　　[3]孙峪怀， 刘福生. 一个非线性艳散色散系统精确解的符号计算[J]. 四川师范大学学报 （自然科学版 ）， 2004， 27（2）：128～129.