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【摘要】中学数学建模教学，应紧扣教材，合理选材，引导学生从实际问题中抽象出数学问题，建立相应的数学模型，化为常规问题，选择合适方法求解，从而解决问题.
【关键词】建模思想;建模教学;紧扣教材;基本模式;建模方法;解决问题
近年来，旧的教育方法导致出现了许多“高分低能”的现象.而“学以致用”是教育最重要的原则之一.学习数学的目的就是为改造世界、改造生活服务.因此，现在的教学应更加重视学生应用能力的培养.中学数学建模解决实际问题的过程正是“问题解决”的过程.因此，开展中学数学建模教学理论与实践的研究，不仅有助于学生掌握扎实的数学基础知识，而且有助于培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力；也是提高学生应用数学的意识和数学素质的重要途径.
1.什么是中学数学建模
数学建模，专家给它下的定义是：“通过对实际问题的抽象、简化，确定变量与参数，并应用某些规律建立起变量、参数间的确定的数学问题，求解该数学问题，解释、验证所得的解，从而确定能否用于解决问题的多次循环，不断深化的过程.”
2.教学现状
应用数学问题在当前中学教学中还得不到应有的重视.多数教师习惯用传统的教学方法，授业、解惑.至于如何从数学的角度出发，分析和处理学生周围的生活及生产实际问题更是无意顾及.同时，学生的应用意识也比较淡薄，很多走向社会的学生认为他在中学所学的数学，在他以后的工作生活中“没有用处”.
3.如何开展数学建模教学
（1）消除心理障碍，增强学生学好数学的自信心
许多学生一见应用题文字长，连题目都没有看完，就望而生畏，置之不理.所以，我们要求学生要树立信心，不能随意放弃.在平时教学中，有目的、有计划地加一些应用题进行分析，每次考试也尽可能地考查一道与复习内容相关的应用题，帮助学生消除心理障碍.
（2）紧扣教材，合理选材，适时切入
中学数学建模教学应结合正常的教学内容切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学.
（3）训练阅读能力，熟练基本模式
解答应用问题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学答案，然后再把数学答案返回到实际问题中去获取具有实际意义的结论，基本程序如下：
4.以下通过范例，对中学数学常见的建模方法进行探讨
（1）建立方程（组）模型
在现实生活中广泛存在等量关系，如：行程问题、工程问题、航行问题、劳力调配问题、数字问题、形积变化问题、销售问题、配套问题、经济问题等等，都可以建立方程（组）模型来解决.
例1 某服装商店出售优惠购物卡，花200元买了这种卡后，凭卡可在这家商店按八折购物.问：累计购物多少元时买卡与不买卡一样？什么情况下买卡购物合算？
解 设累计购物x元时，买卡与不买卡一样.
依题意，得0.8x+200=x，
解得x=1000.
答：当累计购物1000元时，买卡与不买卡一样.
当累计购物超过1000元时，买卡购物合算.
（2）建立不等式（组）模型
在市场经营，生产决策和社会生活中，常把实际问题中隐含的数量关系转化为不等式（组）求解.
例2 某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件.已知生产1件A种产品需甲种原料9 kg、乙种原料3 kg，生产1件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料10 kg.请你提出安排生产的方案.
解 设安排生产A种产品x件，则B种产品(50-x)件.
依题意，得=9x+4(50-x)≤360，
3x+10(50-x)≤290，
解得30≤x≤32.
∵x是整数，
∴取x=30，31，32.
∴对应的50-x=20，19，18.
答：有3种方案，①生产A种产品30件，B种产品20件.②生产A种产品31件，B种产品19件.③生产A种产品32件，B种产品18件.
（3）建立函数模型
在现实生活中，普遍存在最优化问题，如造价、用料最少、利润最大等，都可以建立函数模型，转化为求函数最值问题.
例3 A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把这些化肥全部运往C，D两乡.从A城往C，D两乡调动化肥的费用分别为每吨30元和40元，从B城往C，D两乡调动化肥的费用分别为每吨45元和60元.已知C乡需化肥240吨，D乡需化肥260吨.问：如何调动可使总运费最省？
解 设从A城调x吨到C乡，总运费为y元.
依题意，得
y=30x+40(200-x)+45(240-x)+60(60+x)
=5x+22400.
∵x≥0，
200-x≥0，
240-x≥0，
60+x≥0，
∴0≤x≤200.
∵k=5>0，∴y随着x的增大而增大.
∴当x=0时，y最小=22400.
∴200-x=200，240-x=240,60+x=60.
答：最省运费的调动方案：把A城的200吨化肥全部调往D乡；把B城的化肥调60吨到D乡，调240吨到C乡.
（4）建立几何模型
诸如航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥设计等应用问题，涉及一定图形性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角问题求解.
例4 入夏以来，某江的水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在该江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，如图所示，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
解 过点C作CD⊥AB于D，则∠1=30°，∠2=45°，AB=100.
设CD=x米，则BD=CD=x.
在Rt△ACD中，AD=100+x.
∵tan∠1=CDAD，
∴tan30°=x100+x，
∴33=x100+x，
解得x=503+50≈136.6.
∵136.6>120，
∴这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险.
（5）建立直角坐标系模型.
当变量的变化具有（近似）函数关系，或物体运动轨迹是有某种规律，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图像问题求解.
例5 如图是一座抛物线的拱桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少？
解 如图，建立平面直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+4.
把B（10，0）代入，得100a+4=0.
∴a=-125，∴y=125x2+4.
当y=3时，-125x2+4=3.
解得x=±5.∴EF=10.
答：水面宽度EF是10米.
总之，数学建模有利于培养学生利用数学观点解决生活、学习、生产中的问题.教师在平时教学中，应结合教材内容，适时切入，逐步渗透数学建模的思想和技能，并以数学建模为载体，使学生提高适应未来社会生活和进一步发展所必需的各项能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】建模思想;建模教学;紧扣教材;基本模式;建模方法;解决问题
近年来，旧的教育方法导致出现了许多“高分低能”的现象.而“学以致用”是教育最重要的原则之一.学习数学的目的就是为改造世界、改造生活服务.因此，现在的教学应更加重视学生应用能力的培养.中学数学建模解决实际问题的过程正是“问题解决”的过程.因此，开展中学数学建模教学理论与实践的研究，不仅有助于学生掌握扎实的数学基础知识，而且有助于培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力；也是提高学生应用数学的意识和数学素质的重要途径.
1.什么是中学数学建模
数学建模，专家给它下的定义是：“通过对实际问题的抽象、简化，确定变量与参数，并应用某些规律建立起变量、参数间的确定的数学问题，求解该数学问题，解释、验证所得的解，从而确定能否用于解决问题的多次循环，不断深化的过程.”
2.教学现状
应用数学问题在当前中学教学中还得不到应有的重视.多数教师习惯用传统的教学方法，授业、解惑.至于如何从数学的角度出发，分析和处理学生周围的生活及生产实际问题更是无意顾及.同时，学生的应用意识也比较淡薄，很多走向社会的学生认为他在中学所学的数学，在他以后的工作生活中“没有用处”.
3.如何开展数学建模教学
（1）消除心理障碍，增强学生学好数学的自信心
许多学生一见应用题文字长，连题目都没有看完，就望而生畏，置之不理.所以，我们要求学生要树立信心，不能随意放弃.在平时教学中，有目的、有计划地加一些应用题进行分析，每次考试也尽可能地考查一道与复习内容相关的应用题，帮助学生消除心理障碍.
（2）紧扣教材，合理选材，适时切入
中学数学建模教学应结合正常的教学内容切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学.
（3）训练阅读能力，熟练基本模式
解答应用问题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学答案，然后再把数学答案返回到实际问题中去获取具有实际意义的结论，基本程序如下：
4.以下通过范例，对中学数学常见的建模方法进行探讨
（1）建立方程（组）模型
在现实生活中广泛存在等量关系，如：行程问题、工程问题、航行问题、劳力调配问题、数字问题、形积变化问题、销售问题、配套问题、经济问题等等，都可以建立方程（组）模型来解决.
例1 某服装商店出售优惠购物卡，花200元买了这种卡后，凭卡可在这家商店按八折购物.问：累计购物多少元时买卡与不买卡一样？什么情况下买卡购物合算？
解 设累计购物x元时，买卡与不买卡一样.
依题意，得0.8x+200=x，
解得x=1000.
答：当累计购物1000元时，买卡与不买卡一样.
当累计购物超过1000元时，买卡购物合算.
（2）建立不等式（组）模型
在市场经营，生产决策和社会生活中，常把实际问题中隐含的数量关系转化为不等式（组）求解.
例2 某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件.已知生产1件A种产品需甲种原料9 kg、乙种原料3 kg，生产1件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料10 kg.请你提出安排生产的方案.
解 设安排生产A种产品x件，则B种产品(50-x)件.
依题意，得=9x+4(50-x)≤360，
3x+10(50-x)≤290，
解得30≤x≤32.
∵x是整数，
∴取x=30，31，32.
∴对应的50-x=20，19，18.
答：有3种方案，①生产A种产品30件，B种产品20件.②生产A种产品31件，B种产品19件.③生产A种产品32件，B种产品18件.
（3）建立函数模型
在现实生活中，普遍存在最优化问题，如造价、用料最少、利润最大等，都可以建立函数模型，转化为求函数最值问题.
例3 A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把这些化肥全部运往C，D两乡.从A城往C，D两乡调动化肥的费用分别为每吨30元和40元，从B城往C，D两乡调动化肥的费用分别为每吨45元和60元.已知C乡需化肥240吨，D乡需化肥260吨.问：如何调动可使总运费最省？
解 设从A城调x吨到C乡，总运费为y元.
依题意，得
y=30x+40(200-x)+45(240-x)+60(60+x)
=5x+22400.
∵x≥0，
200-x≥0，
240-x≥0，
60+x≥0，
∴0≤x≤200.
∵k=5>0，∴y随着x的增大而增大.
∴当x=0时，y最小=22400.
∴200-x=200，240-x=240,60+x=60.
答：最省运费的调动方案：把A城的200吨化肥全部调往D乡；把B城的化肥调60吨到D乡，调240吨到C乡.
（4）建立几何模型
诸如航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥设计等应用问题，涉及一定图形性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角问题求解.
例4 入夏以来，某江的水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在该江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，如图所示，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？
解 过点C作CD⊥AB于D，则∠1=30°，∠2=45°，AB=100.
设CD=x米，则BD=CD=x.
在Rt△ACD中，AD=100+x.
∵tan∠1=CDAD，
∴tan30°=x100+x，
∴33=x100+x，
解得x=503+50≈136.6.
∵136.6>120，
∴这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险.
（5）建立直角坐标系模型.
当变量的变化具有（近似）函数关系，或物体运动轨迹是有某种规律，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图像问题求解.
例5 如图是一座抛物线的拱桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少？
解 如图，建立平面直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+4.
把B（10，0）代入，得100a+4=0.
∴a=-125，∴y=125x2+4.
当y=3时，-125x2+4=3.
解得x=±5.∴EF=10.
答：水面宽度EF是10米.
总之，数学建模有利于培养学生利用数学观点解决生活、学习、生产中的问题.教师在平时教学中，应结合教材内容，适时切入，逐步渗透数学建模的思想和技能，并以数学建模为载体，使学生提高适应未来社会生活和进一步发展所必需的各项能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文