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最近听了不少课，有许多感想。很多课，精彩不够、有效不足，当然也有一些课大放异彩，轻负高效，给我留下了深刻的印象。我们都在追求有效教学，为什么同样追求下的课堂会有这么大的差别？有效教学的基础是什么？我细究其根源，乃是教师对数学的理解到位，即教师的“理解数学”促进了课堂的有效教学。
何为“理解数学”？理解数学就是要理解教学内容的背景，掌握其内在含义，理解教学内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。教师只有在一定高度下理解数学，才能转化为有效的教学，从而使学生理解数学，进而实现课堂教学的轻负高效。
一、理解教学内容，弄清“是什么”
很多老师在教学中只关注于研究“怎么教”的问题，认为“是什么”的问题教材已经给出了答案，特别是小学阶段的数学内容，根本没有必要去进一步理解，这种观点有失偏颇。“要给学生一杯水，老师需要有一桶水。”为了提高对数学的理解水平，我们应注意开阔视野，要从教科书、教参、教辅等局限中跳出来，把目光扩展到更高层次，在高层次观点的指导下理解小学数学。
例如， 教学《间隔排列的规律》（苏教版四年级上册）这一内容，很多老师的教学效果不佳，学生的错误五花八门：如“两棵大树相隔50米，每隔5米插一面旗（两端都插），一共要插多少面旗？”学生根据物体数求间隔数相对较熟练，而反向思考还不够，一些学生在计算了50÷5=10（段）之后，不知是加1还是减1。再如，“在一个边长是8米的正方形花圃四边摆杜鹃花，每隔2米摆一盆，一共要摆多少盆？”很多同学先算每条边摆几盆，即8÷2=4（段），4 1=5（盆），然后再5×4=20（盆），殊不知这样的算法其实重复计算了角上的4盆，因为正方形实质上是首尾相连的情况之一。又如，“小亮家住在六楼，他从一楼走到三楼通常要用20秒，照这样算，他从一楼走到家大约需要多少秒？”很多同学的计算是20×2=40（秒），因为他们认为3楼是6楼的一半。
很明显，学生对这一教学内容理解不透，学生理解不透缘于教师的理解不够，笔者征询过一些教师对此教学内容的看法，往往止于表面，对其本质并无确切把握，导致教学低效。
那么，“找规律”这一教学内容的数学本质是什么？其实，这一内容研究的是在一定路线上的等距离问题，由于排列路线不同，排列要求不同，路线被分成的间隔数和物体数之间的关系就不同。现实生活中类似的安装路灯问题、植树问题、锯木头问题、上楼梯问题等都属于这一范畴。两种物体间隔排列中的简单规律，即通常所说的“植树问题”。它所蕴含的基本规律是：在封闭的情况下，物体数=间隔数；在不封闭的情况下通常有三种情况，两端都有物体，物体数=间隔数 1；一端有物体，物体数=间隔数；两端都没有物体，物体数=间隔数-1。
有了对这一教学内容本质的理解，在教学中，我们就应力求使学生对“排列路线”有所研究，同时对“排列要求”有所理解，力图使学生更加透彻地理解规律本质，从而促进学生对这一内容的掌握。
二、理解知识体系，弄清“教什么”
在对教学内容进行设计时，我们的认识经常是“就事论事”，仅仅考虑到这一“点”知识，这对教学内容的认识有一定局限性，往往会“见木不见林”。新课改以来，我们的小学数学教材（以苏教版为例）每册的学习内容明显增多，根据知识的难易程度及学生的认知特点，每个知识体系被分割成多块内容放置于不同的年级。因此，教师要理解知识体系、围绕知识体系开展教学就显得尤为重要。
同样，在对教材进行分析时，也要树立“整体观”，不仅要分析所教内容、所在单元教材处理，更要看这部分内容所在知识体系的教材处理，甚至全套教材对于相关内容的处理，要深入理解教材对于这部分内容及其相关内容的编写意图，这对于我们深入理解教学内容都是有好处的。
例如，《认数》（苏教版一年级上册）教学，大部分老师认为这个内容简单得不能再简单了，无需更多理解，实则不然。教师更深刻地理解自然数概念的形成与发展过程、理解自然数的表示方法（进位制与位值制）、理解“书写数”与“口语记数法”的不同、理解“数数”活动的内在含义，那么在教学某一个具体内容的时候，就可以站在知识体系的高度，进行有效的教学。
儿童对自然数概念的理解和认识与人类对自然数概念的认识走过了几乎相同的道路。数的形成主要经历以下几个阶段，一是集合阶段，那时并无数的概念，但人类可以进行大小、多少的比较；二是手算阶段，即使用“算筹”以一一对应的原则计数；三是群的计数阶段，一些物体聚焦为一定的集合，构成一群，如“筐”“堆”等；四是结绳数阶段，物体群中的一个变成了其他群比较或测定的标准或尺度（即标准数量），逐渐产生了数的概念和名称。如“手”，不仅表示五个手指，更重要的是表示“5”，后来在数学史上把这些标准群叫做“结绳数”，如1，2，5，10；五是结绳数的计数阶段，数的发展经历数千年，才形成了现在的数字。
从上述分析可以看出，一年级儿童对数的认识尚处于“手算阶段”，因此在《认数》教学中，我们尤其要重视1、5、0、10的教学。1、5、10是结绳数，是形成自然数概念的“标准数”，特别是数10，是理解位值制记数法的重点，也是第一个最能明显体现出“数位”这一概念的数，因此数10的教学要充分提供直观的教具，以利于学生理解抽象的“数位”。数0既表示没有也表示计数的“开端”，其出现远远晚于数概念的产生，抽象难于理解，教学中教师应挖掘其丰富的内涵，适当地拓展，让学生充分感悟与体验。
三、理解思想方法，弄清“怎么教”
通过数学学习，使学生对数学的思想方法有所把握，这是小学阶段数学学习的一个重要内容。数学思想是对数学对象的本质认识，是在对具体的数学概念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括出的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。
数学思想方法蕴涵于数学知识之中，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的重要载体。数学思想方法重在“悟”，需要有一个循序渐进、逐步逼近的过程。数学思想方法的教学一定要注意“过程性”，“没有过程就等于没有思想”，要让学生在过程中去逐步体会和理解。在小学阶段，有些数学思想的渗透更甚于知识本身，只有正确的认识，才不会本末倒置，进而使课堂更有效。
例如，《认识方程》（苏教版五年级下册）这一教学内容，蕴含了丰富的数学思想和方法，其核心体现在两方面：一是建模思想，方程第一次比较全面地展示了建模思想——用符号将相互等价的两件事情联系起来，方程没有经过任何运算，只是说明两件事情是等价的，这是数学建模的本质表现之一。强调用数学符号把要说的话表达出来，这是学生学习方程的根本，是学生必须真正掌握的东西。第二是化归思想，方程中化归思想可用下图描述：
由此可见，学习方程的意义在于：一是学习在从错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，过程较难，但很有价值；二是在运算中遵循最佳途径，将复杂问题简单化，这种优化思想对人的思维习惯的影响是深远的。
基于以上认识，我们在教学中要摒弃那种 “先给出形式化的方程的定义，然后解形式化的方程，最后再进行方程的应用教学”，而应该遵循方程的本质内涵，“先进行生活中的提炼，然后用数学思维表达，到形式化的过程，再到最终解决方程问题”。
教师的认识有多高，学生的发展就有多远。教师“理解数学”的目的是让学生“理解数学”，这是我们教学的根本任务。而学生“理解数学”主要通过课堂教学来完成，因此实施轻负高效的课堂是关键所在。我们应重视教学设计，因为教学设计体现了教师对数学的理解，能较好地解决学生的“理解数学”，以及从数学知识发生发展过程角度构建教学过程、设计问题来引导学习的问题，是有效教学的关键。由此可见，教师理解数学是实施有效教学的基础和前提。
何为“理解数学”？理解数学就是要理解教学内容的背景，掌握其内在含义，理解教学内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。教师只有在一定高度下理解数学，才能转化为有效的教学，从而使学生理解数学，进而实现课堂教学的轻负高效。
一、理解教学内容，弄清“是什么”
很多老师在教学中只关注于研究“怎么教”的问题，认为“是什么”的问题教材已经给出了答案，特别是小学阶段的数学内容，根本没有必要去进一步理解，这种观点有失偏颇。“要给学生一杯水，老师需要有一桶水。”为了提高对数学的理解水平，我们应注意开阔视野，要从教科书、教参、教辅等局限中跳出来，把目光扩展到更高层次，在高层次观点的指导下理解小学数学。
例如， 教学《间隔排列的规律》（苏教版四年级上册）这一内容，很多老师的教学效果不佳，学生的错误五花八门：如“两棵大树相隔50米，每隔5米插一面旗（两端都插），一共要插多少面旗？”学生根据物体数求间隔数相对较熟练，而反向思考还不够，一些学生在计算了50÷5=10（段）之后，不知是加1还是减1。再如，“在一个边长是8米的正方形花圃四边摆杜鹃花，每隔2米摆一盆，一共要摆多少盆？”很多同学先算每条边摆几盆，即8÷2=4（段），4 1=5（盆），然后再5×4=20（盆），殊不知这样的算法其实重复计算了角上的4盆，因为正方形实质上是首尾相连的情况之一。又如，“小亮家住在六楼，他从一楼走到三楼通常要用20秒，照这样算，他从一楼走到家大约需要多少秒？”很多同学的计算是20×2=40（秒），因为他们认为3楼是6楼的一半。
很明显，学生对这一教学内容理解不透，学生理解不透缘于教师的理解不够，笔者征询过一些教师对此教学内容的看法，往往止于表面，对其本质并无确切把握，导致教学低效。
那么，“找规律”这一教学内容的数学本质是什么？其实，这一内容研究的是在一定路线上的等距离问题，由于排列路线不同，排列要求不同，路线被分成的间隔数和物体数之间的关系就不同。现实生活中类似的安装路灯问题、植树问题、锯木头问题、上楼梯问题等都属于这一范畴。两种物体间隔排列中的简单规律，即通常所说的“植树问题”。它所蕴含的基本规律是：在封闭的情况下，物体数=间隔数；在不封闭的情况下通常有三种情况，两端都有物体，物体数=间隔数 1；一端有物体，物体数=间隔数；两端都没有物体，物体数=间隔数-1。
有了对这一教学内容本质的理解，在教学中，我们就应力求使学生对“排列路线”有所研究，同时对“排列要求”有所理解，力图使学生更加透彻地理解规律本质，从而促进学生对这一内容的掌握。
二、理解知识体系，弄清“教什么”
在对教学内容进行设计时，我们的认识经常是“就事论事”，仅仅考虑到这一“点”知识，这对教学内容的认识有一定局限性，往往会“见木不见林”。新课改以来，我们的小学数学教材（以苏教版为例）每册的学习内容明显增多，根据知识的难易程度及学生的认知特点，每个知识体系被分割成多块内容放置于不同的年级。因此，教师要理解知识体系、围绕知识体系开展教学就显得尤为重要。
同样，在对教材进行分析时，也要树立“整体观”，不仅要分析所教内容、所在单元教材处理，更要看这部分内容所在知识体系的教材处理，甚至全套教材对于相关内容的处理，要深入理解教材对于这部分内容及其相关内容的编写意图，这对于我们深入理解教学内容都是有好处的。
例如，《认数》（苏教版一年级上册）教学，大部分老师认为这个内容简单得不能再简单了，无需更多理解，实则不然。教师更深刻地理解自然数概念的形成与发展过程、理解自然数的表示方法（进位制与位值制）、理解“书写数”与“口语记数法”的不同、理解“数数”活动的内在含义，那么在教学某一个具体内容的时候，就可以站在知识体系的高度，进行有效的教学。
儿童对自然数概念的理解和认识与人类对自然数概念的认识走过了几乎相同的道路。数的形成主要经历以下几个阶段，一是集合阶段，那时并无数的概念，但人类可以进行大小、多少的比较；二是手算阶段，即使用“算筹”以一一对应的原则计数；三是群的计数阶段，一些物体聚焦为一定的集合，构成一群，如“筐”“堆”等；四是结绳数阶段，物体群中的一个变成了其他群比较或测定的标准或尺度（即标准数量），逐渐产生了数的概念和名称。如“手”，不仅表示五个手指，更重要的是表示“5”，后来在数学史上把这些标准群叫做“结绳数”，如1，2，5，10；五是结绳数的计数阶段，数的发展经历数千年，才形成了现在的数字。
从上述分析可以看出，一年级儿童对数的认识尚处于“手算阶段”，因此在《认数》教学中，我们尤其要重视1、5、0、10的教学。1、5、10是结绳数，是形成自然数概念的“标准数”，特别是数10，是理解位值制记数法的重点，也是第一个最能明显体现出“数位”这一概念的数，因此数10的教学要充分提供直观的教具，以利于学生理解抽象的“数位”。数0既表示没有也表示计数的“开端”，其出现远远晚于数概念的产生，抽象难于理解，教学中教师应挖掘其丰富的内涵，适当地拓展，让学生充分感悟与体验。
三、理解思想方法，弄清“怎么教”
通过数学学习，使学生对数学的思想方法有所把握，这是小学阶段数学学习的一个重要内容。数学思想是对数学对象的本质认识，是在对具体的数学概念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括出的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。
数学思想方法蕴涵于数学知识之中，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的重要载体。数学思想方法重在“悟”，需要有一个循序渐进、逐步逼近的过程。数学思想方法的教学一定要注意“过程性”，“没有过程就等于没有思想”，要让学生在过程中去逐步体会和理解。在小学阶段，有些数学思想的渗透更甚于知识本身，只有正确的认识，才不会本末倒置，进而使课堂更有效。
例如，《认识方程》（苏教版五年级下册）这一教学内容，蕴含了丰富的数学思想和方法，其核心体现在两方面：一是建模思想，方程第一次比较全面地展示了建模思想——用符号将相互等价的两件事情联系起来，方程没有经过任何运算，只是说明两件事情是等价的，这是数学建模的本质表现之一。强调用数学符号把要说的话表达出来，这是学生学习方程的根本，是学生必须真正掌握的东西。第二是化归思想，方程中化归思想可用下图描述：
由此可见，学习方程的意义在于：一是学习在从错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，过程较难，但很有价值；二是在运算中遵循最佳途径，将复杂问题简单化，这种优化思想对人的思维习惯的影响是深远的。
基于以上认识，我们在教学中要摒弃那种 “先给出形式化的方程的定义，然后解形式化的方程，最后再进行方程的应用教学”，而应该遵循方程的本质内涵，“先进行生活中的提炼，然后用数学思维表达，到形式化的过程，再到最终解决方程问题”。
教师的认识有多高，学生的发展就有多远。教师“理解数学”的目的是让学生“理解数学”，这是我们教学的根本任务。而学生“理解数学”主要通过课堂教学来完成，因此实施轻负高效的课堂是关键所在。我们应重视教学设计，因为教学设计体现了教师对数学的理解，能较好地解决学生的“理解数学”，以及从数学知识发生发展过程角度构建教学过程、设计问题来引导学习的问题，是有效教学的关键。由此可见，教师理解数学是实施有效教学的基础和前提。