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美籍匈牙利数学家乔治·波利亚的《怎样解题》一书系统阐述了解题的思维过程,并将其归纳为四个解题步骤,但是它不仅仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法。教师要在整个解题过程中渗透波利亚解题思想,经过“两次使用”,降低难度,帮助学生在潜移默化中学会使用波利亚解题思想,从而不断地提高中学生的解题能力。
在数学学习过程中,许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差,考虑不周造成思路受阻等问题。那么,怎样才能有一个好的解题思路呢?
为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,美籍匈牙利数学家乔治·波利亚专门研究了解题的思维过程,并把研究所得写成了《怎样解题》一书,其核心是一张怎样解题表,把解题的全过程分成了“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”四个步骤,把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头,使我们对整个思维过程看得见、摸得着,将思路打开,达到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的结果,以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识以及看法:
笔者认为,波利亚的解题表不仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含的丰富的数学思维与思想方法值得我们特别关注,并由此注意将其融入日常的数学教学之中。
1.化归与转化思想
通过适当的转化过程,把待解决的问题归结为一类已经解决或能够轻易解决的问题,从而求得解答,这就是化归。
在波利亚的《怎样解题》一书中有这样的一段描述:“你能重新叙述这道题目吗?你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目吗?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目?”这些提问引导我们使用各种方法去变更题目,把原有题目转化为新题目,而化归后的新题目将展现出运用知识的新的可能性。反之,若不进行这种转化,我们可能根本无从下手,就只能望题兴叹了。
2.类比与猜想的思想
类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性也相同或相似的思想方法,它是一种从特殊到特殊的方法。猜想是对研究的对象或问题,经过观察、实验、比较、类比、归纳联想等一系列思维活动,依据已有事实和知识做出的推测和判断。
“你以前见过它吗?或者见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗?”通过观察,把原题与以前类似的题目进行类比,进而猜想出原题的可能的解题方案。它是一种富于创造性的方法。波利亚启示我们的30多个问句就是告诉我们,把问题转化为另一个等价的问题,把原问题转化为一个已解决的问题,去考虑一个可能相关的问题,先解决一个更特殊的问题,或更一般的问题,或更类似的问题,等等,而那些启发思路的问句,也往往与问题转化有关。
3.一般与特殊的思想方法
也就是从特殊化与一般化两个方面认识与处理数学问题的一种想法。“你能否想到一道更为特殊化的题目?你能否解出这道题目的一部分吗?只保留条件的一部分而丢掉其他部分?”这就是一个把一般题目特殊化的过程,我们先解决比较极端的问题,从极端或特别情况入手,尝试解决这道变得较易的题目,从而再推导到一般情况。在解题的第四步回顾过程中,“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?”这又是把该题目适用的结果推而广之的过程,让它适用于更一般化的题目。
4.知识的迁移
迁移是指一种学习对另一种学习的影响,迁移有正负之分,凡是一种学习对另一种学习起促进作用就是正迁移,而一种学习对另一种学习起干扰或者抑制作用都称为负迁移。而我们在解决问题过程中,一定要注意知识的正迁移的作用。“你知道一道与它有关的题目吗?这里有一道题目和你的题目有关而且你以前解过,你能利用它吗?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?”在解题过程中,我们经常有意识地利用这种问句和提示,潜移默化地提高我们解决数学问题的迁移能力,在知识的迁移中寻找合适的解题方案,做到举一反三。
以上所述的思想方法,是我们在数学学习中需要不断汲取的养分,也是培养学生数学素养必不可少的成分。徐利治先生曾指出,为了搞好中学教育,加大力度传播波利亚思想是必需的,我们想要培养一大批波利亚型的数学家,要按照波利亚思想改革数学教材和教学方法。但是,从中学数学的教学现状来看,离领会或渗透波利亚的思想还存在很大的差距,对波利亚的数学教育思想也缺乏足够的认识。
我们知道,波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种很好的思维方法,告诉了我们一个寻找解题思路的过程,使我们可以顺藤摸瓜地解答较难的题目,因此,若能把它用到中学数学的教学中去,则会使学生受益匪浅,从而使教学效率大为提高。但是,究竟应该怎么应用它呢?我们若采用把它直接介绍给中学生的方法可以吗?即告诉他们,波利亚解题思想就是四个步骤,30多个建议与问题,这样做合适吗?
只要我们略加思考或尝试就会发现,这种做法既不现实又不可取,也许学生会把它们死记硬背下来,但是,他们的认知水平却无法体会到波利亚解题思想的真正含义,因此,他们即使把步骤、建议和问句背的滚瓜烂熟却依然不会解题。波利亚的解题思想,只有在我们做了大量的题目之后,才可能自主理解它想告诉我们的东西。而中学生正处在简单模仿的学习阶段,他们大部分人的自主探索能力还不是很强,难以达到自主理解的程度。
笔者认为,波利亚解题表在中学数学教学应用时,至少应分为两步走:首先,教师应该透彻地学习和领会波利亚的解题思想,并在做习题的过程中深入的去理解,在提高自己解题能力的同时养成符合波利亚解题的思维习惯,把该解题思想的精髓植入脑海中。其次才是老师帮助学生的过程了。初次接触波利亚解题思想时,笔者便感觉到它的完美和价值,它既然能告诉我们一个解题的一般途径,实在是太好了。于是,便立刻想把它传授给学生。笔者在数学课堂上讲解一道习题时,刚把题意弄清,便问学生:“你们以前见过相似的题目吗?你们看到题目想到了什么?”结果学生纷纷摇头,一片迷惘,自己也陷入了窘境。
事后经过自我反思,笔者意识到:由于中学生的知识体系是凌乱的,对于他们而言,直接应用波利亚解题思想过于困难了。因此考虑给出一种可行的方法:教师应该在学生理解和接受波利亚解题思想的过程中给予适当的帮助,也就是波利亚思想的“两次使用”:教师先进行第一次使用,即他在解题过程中先体会波利亚的解题思想,然后降低难度,帮助学生再进行第二次使用体会。教师要能够做到在整个解题过程中不断地渗透波利亚的解题思想,以便帮助学生在潜移默化中学会使用它,从而不断地提高中学生的解题能力。
笔者相信在不久的将来,波利亚解题思想将会成为照亮我们数学学习的一盏明灯。
在数学学习过程中,许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差,考虑不周造成思路受阻等问题。那么,怎样才能有一个好的解题思路呢?
为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,美籍匈牙利数学家乔治·波利亚专门研究了解题的思维过程,并把研究所得写成了《怎样解题》一书,其核心是一张怎样解题表,把解题的全过程分成了“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”四个步骤,把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头,使我们对整个思维过程看得见、摸得着,将思路打开,达到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的结果,以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识以及看法:
笔者认为,波利亚的解题表不仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含的丰富的数学思维与思想方法值得我们特别关注,并由此注意将其融入日常的数学教学之中。
1.化归与转化思想
通过适当的转化过程,把待解决的问题归结为一类已经解决或能够轻易解决的问题,从而求得解答,这就是化归。
在波利亚的《怎样解题》一书中有这样的一段描述:“你能重新叙述这道题目吗?你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目吗?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目?”这些提问引导我们使用各种方法去变更题目,把原有题目转化为新题目,而化归后的新题目将展现出运用知识的新的可能性。反之,若不进行这种转化,我们可能根本无从下手,就只能望题兴叹了。
2.类比与猜想的思想
类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性也相同或相似的思想方法,它是一种从特殊到特殊的方法。猜想是对研究的对象或问题,经过观察、实验、比较、类比、归纳联想等一系列思维活动,依据已有事实和知识做出的推测和判断。
“你以前见过它吗?或者见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗?”通过观察,把原题与以前类似的题目进行类比,进而猜想出原题的可能的解题方案。它是一种富于创造性的方法。波利亚启示我们的30多个问句就是告诉我们,把问题转化为另一个等价的问题,把原问题转化为一个已解决的问题,去考虑一个可能相关的问题,先解决一个更特殊的问题,或更一般的问题,或更类似的问题,等等,而那些启发思路的问句,也往往与问题转化有关。
3.一般与特殊的思想方法
也就是从特殊化与一般化两个方面认识与处理数学问题的一种想法。“你能否想到一道更为特殊化的题目?你能否解出这道题目的一部分吗?只保留条件的一部分而丢掉其他部分?”这就是一个把一般题目特殊化的过程,我们先解决比较极端的问题,从极端或特别情况入手,尝试解决这道变得较易的题目,从而再推导到一般情况。在解题的第四步回顾过程中,“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?”这又是把该题目适用的结果推而广之的过程,让它适用于更一般化的题目。
4.知识的迁移
迁移是指一种学习对另一种学习的影响,迁移有正负之分,凡是一种学习对另一种学习起促进作用就是正迁移,而一种学习对另一种学习起干扰或者抑制作用都称为负迁移。而我们在解决问题过程中,一定要注意知识的正迁移的作用。“你知道一道与它有关的题目吗?这里有一道题目和你的题目有关而且你以前解过,你能利用它吗?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?”在解题过程中,我们经常有意识地利用这种问句和提示,潜移默化地提高我们解决数学问题的迁移能力,在知识的迁移中寻找合适的解题方案,做到举一反三。
以上所述的思想方法,是我们在数学学习中需要不断汲取的养分,也是培养学生数学素养必不可少的成分。徐利治先生曾指出,为了搞好中学教育,加大力度传播波利亚思想是必需的,我们想要培养一大批波利亚型的数学家,要按照波利亚思想改革数学教材和教学方法。但是,从中学数学的教学现状来看,离领会或渗透波利亚的思想还存在很大的差距,对波利亚的数学教育思想也缺乏足够的认识。
我们知道,波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种很好的思维方法,告诉了我们一个寻找解题思路的过程,使我们可以顺藤摸瓜地解答较难的题目,因此,若能把它用到中学数学的教学中去,则会使学生受益匪浅,从而使教学效率大为提高。但是,究竟应该怎么应用它呢?我们若采用把它直接介绍给中学生的方法可以吗?即告诉他们,波利亚解题思想就是四个步骤,30多个建议与问题,这样做合适吗?
只要我们略加思考或尝试就会发现,这种做法既不现实又不可取,也许学生会把它们死记硬背下来,但是,他们的认知水平却无法体会到波利亚解题思想的真正含义,因此,他们即使把步骤、建议和问句背的滚瓜烂熟却依然不会解题。波利亚的解题思想,只有在我们做了大量的题目之后,才可能自主理解它想告诉我们的东西。而中学生正处在简单模仿的学习阶段,他们大部分人的自主探索能力还不是很强,难以达到自主理解的程度。
笔者认为,波利亚解题表在中学数学教学应用时,至少应分为两步走:首先,教师应该透彻地学习和领会波利亚的解题思想,并在做习题的过程中深入的去理解,在提高自己解题能力的同时养成符合波利亚解题的思维习惯,把该解题思想的精髓植入脑海中。其次才是老师帮助学生的过程了。初次接触波利亚解题思想时,笔者便感觉到它的完美和价值,它既然能告诉我们一个解题的一般途径,实在是太好了。于是,便立刻想把它传授给学生。笔者在数学课堂上讲解一道习题时,刚把题意弄清,便问学生:“你们以前见过相似的题目吗?你们看到题目想到了什么?”结果学生纷纷摇头,一片迷惘,自己也陷入了窘境。
事后经过自我反思,笔者意识到:由于中学生的知识体系是凌乱的,对于他们而言,直接应用波利亚解题思想过于困难了。因此考虑给出一种可行的方法:教师应该在学生理解和接受波利亚解题思想的过程中给予适当的帮助,也就是波利亚思想的“两次使用”:教师先进行第一次使用,即他在解题过程中先体会波利亚的解题思想,然后降低难度,帮助学生再进行第二次使用体会。教师要能够做到在整个解题过程中不断地渗透波利亚的解题思想,以便帮助学生在潜移默化中学会使用它,从而不断地提高中学生的解题能力。
笔者相信在不久的将来,波利亚解题思想将会成为照亮我们数学学习的一盏明灯。