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新课程标准下的初中数学课堂应当是灵动、和谐的，这当中肯定少不了智慧教师的妙语连珠，更少不了在教师引领下的学子数学思维的大放异彩.当然，想要培养出“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”的学生，教师对数学课堂教学“过程”的设置必得尤为重视，只有精心打造这个“过程”，才能创造“以生为本”的课堂，从而给学生提供相对民主的学习氛围，促使他们展开富有智慧的讨论，并发扬独立思考的精神，最终让数学核心素养得以落实.那么，到底如何开展一堂“以生为本”的数学课呢？
在人教版八年级上册《数学》第十二章第2节“全等三角形的判定（第5课时）”的教学过程中，大部分学生对于教师阐述的“边边角”不适用于三角形全等的判定始终耿耿于怀.尽管教师已经利用几何画板给学生进行了形象生动的动态展示，但对于乐学善思的学生而言，这些显然是不够的.有一部分学生依旧主张要再给“边边角”一个机会，他们始终坚信在某些特殊情况下，“边边角”是可以派上用场的.所以在教完本章节教学内容后，笔者又追加开设了一堂课，用来和学生探讨“边边角”是否真的不能验证两个三角形全等.在这节课中，笔者要给足学生思考的空间和交流的时间，让学生畅所欲言，打造“以生为本”课堂，提升学生数学核心素养.
一、温故知新，开启思索之门
教学片段1：
教师：如图1，到今天为止，对于判定两个三角形全等，我们都有哪些方法？
学生1：有边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、斜边直角边（HL）.
教师：斜边直角边（HL）对于任意两个三角形的全等判定都适用吗？
学生2：不是，斜边直角边（HL）仅限于证明两个直角三角形全等，其余四条判定定理则适用于判定任意形状的两个三角形全等.
教师：思路很棒.不知同学们是否还记得当初我们在探究如何判定两个三角形全等的条件时是从何入手的？
学生3：起初我们考虑固定一组对应边或一组对应角相等，发现可以画出的三角形形状无法固定;接着又固定了两组对应边相等、两组对应角相等或一组对应边和一组对应角同时相等，发现由此确定的三角形形状也不唯一;最后把固定元素拓宽到三组，明确了其中几种组合可以唯一确定三角形的形状.
教师：那请同学们再回忆一下，我们当时在固定了三组元素后又是怎样筛选出最后的判定定理的？
学生4：首先，我们考虑固定三组对应边或三组对应角，结果发现固定三组对应边可以唯一确定三角形的形状，但是仅固定三组对应角的话却无法唯一确定三角形的形状，比如常见的等边三角形就有大有小.接下来我们就开始考虑固定两组对应边和一组对应角，当然又细化为两种情况：一种是固定的两组对应边和两边之间的夹角，发现可以唯一确定三角形的形状;但是当固定的一角处于与其中一边相对的位置关系时，三角形的形状就不能再被唯一确定了.然后，我们再考虑固定两组对应角和一组对应边，发现无论是固定的两组对应角和两角之间的夹边，还是固定两组对应角和与其中一角处于相对的位置关系的一组对应边时，都可以唯一确定三角形的形状.
教学说明：学习新知识后，阶段性小结是必不可少的，特别是几何概念和定理的发现、验证的过程更值得及时进行系统性小结，从而提升学生的数学核心素养.教师在带领学生进行阶段性复习时除了进行常规的知识整合归纳外，更应当注重学生在消化新知识后对这些知识产生的猜想和争议.面对这些争议中比较有价值的个体，教師如果能够把握契机，便能扭转一堂复习课常规平淡的局势，从而化“平庸”为“经典”.本节课正是因为教师找准了切入点，学生在现有的认识基础上，体验了一堂“以生为本”的复习课，从而提升了自身的数学核心素养.所以，“温故”这个环节，恰好可以引燃我们这堂复习课的“爆点”.
二、循序渐进，深度思考，举一反三，获取新知
教学片段2：
教师：刚才有同学说，在固定两组对应边和一组对应角的情况中当固定的一角处于与两边其中的一边相对的位置关系时，三角形形状就不能再被唯一确定了，正如图2所示：我们把AC的长度和∠A的度数固定后，假设AD这条射线是三角形第三边所在的直线，再以点C为圆心，以固定长度的线段为半径画弧，发现会和射线AD有两个交点D和B，连接CD和CB，就构成了△ACD和△ABC.所以，此举无法唯一确定三角形的形状.这是之前我就给大家展示过的，大家都认同吗？还是同学们有新的想法？
学生5：我觉得如果用来画弧的半径恰好和点C到射线AD的距离相等，那不就和射线AD只有一个交点了！
教师：这位同学说得很有道理.的确，如你所说，半径的取值决定着到底能否唯一确定三角形的形状.那请同学们现在自己动手试一试，如果你们多取几种半径的长度，看看还会发生什么情况？
学生6：哇！我发现我画的图可以唯一确定三角形的形状.不过我这个半径取的值就刚好等于点C到射线AD的距离，这样画弧就和射线AD只有一个交点，并且确定出来的△ABC还是一个直角三角形，如图3.
学生7：我这边的情况也差不多，也可以唯一确定三角形的形状，但△ABC不是直角三角形.我取的半径比固定长度的边AC长，所以当我画弧时发现只能和射线AD有一个交点B，如图4.
教学说明：面对新知识时，学生的认知是需要被科学地牵引的.智慧的教师总能够巧妙地设置问题的层次，使得学生循序渐进地思考，从而抽丝剥茧，直指核心.在本环节中，学生想顺利回答问题显然是不容易的，所以教师的导学提问法便派上了大用场.教师的提问为学生的思考指明了方向，让学生独立思考也好，小组合作讨论也罢，都能够有的放矢.比起教师在课堂上对知识“单刀直入”地讲述展示，由浅入深的引导式提问更能促使学生主动思考问题，并且随着问题设置难度的层层递进，思考的深度也随之加深，从而使学生对于知识之间的关联和迁移有更加明确的认知.如此层层深入递进，使得原本较为复杂的知识脉络逐渐清晰起来，为下一环节的深度学习奠定了坚实的基础. 三、挑战激发求知欲，挖掘铸就深度学
教学片段3：
教师：通过刚才的实践，大家发现了什么呢？
学生8：看来这个“边边角”也不是完全不能用啊！图2中，在固定∠A<90°的前提条件下，如果∠A的对边BC<AC，那“边边角”肯定是行不通的;但如果∠A的对边BC≥AC，那么“边边角”还是可以确定唯一的△ABC.
学生9：那如果图2中的∠A=90°或者∠A>90°，刚才学生8的说法还能成立吗？
教师：同学们还等什么呢？刚才那么难的情况你们都能分析得如此透彻，这个问题对你们来说肯定也没什么挑战性.加油，等你们给我结论.
学生10：哇！我发现如果固定∠A=90°的话，岂不就是我们之前学的“斜边直角边（HL）”，不过只有当BC>AC画弧时才能和射线AD有交点，也才能唯一确定Rt△ABC.如果BC≤AC，画弧时就无法与射线AD有交点，更别说确定三角形了，如图5.
学生11：是的，我发现固定∠A>90°时，也是只有当BC>AC画弧时才能和射线AD有交点，也才能唯一确定△ABC.如果BC≤AC，画弧时就无法与射线AD有交点，更别说确定三角形了，如图6.
教学说明：随着整堂课的推进，本节课的难点也浮出水面.面对较大的难度跨度，学生更需要教师的有效引导方可顺利突破难点.而富有挑战性的问题，对于学生学习动力的激发、学习能力的提升、学习毅力的锻炼都有重要的意义.一堂充满生命力的课一定是富有挑战性的，当课堂前段积累了一定基础认知，课堂后段的挑战性对于持续调动学生主动思考，促使学生积极参与探究就变得尤为重要.但是在设置富有挑战性教学活动的同时，教师又不能脱离学生已有的基础，所以尤为考验教师的教学设计水平.适当的变式提问可以让学生感受到教师对自己的信任，从而增强自信心和学习动力，更加自主地投身于对数学新知的深度思考和全力探索中.
四、整合归纳知识，优化拓展思维
在学习新知识后，能对当堂所学知识进行一个复述、归纳，甚至是辩驳，无疑都是学生在本堂课学有所思的体现.在引导学生整合归纳知识的过程中，教师如果能够适当增加问题的难度，对于学生进行深度思考是有巨大的促进作用的，尤其是对于新旧知识体系的链接，还有经验方法的积累和数学核心素养的培养，都是直指核心.
教学片段4：
导学1：同学们真的非常不错，通过自己的动手实践，可以把教科书中的疑难问题都剖析得如此透彻，值得表扬.那么在本课的最后，请你们总结一下在哪些情况下“边边角”可以确定一个三角形的形状？
导学2：“边边角”在哪些情况下又可以用来判定两个三角形全等呢？
教学说明：学生在前段学习的过程中通过大胆猜想、实际操作、合作讨论，最终探究出了新的结论.这不仅是学习几何的基本方法，也是对数学学科知识进行深入钻研的必经之路.导学1的设置把整个问题又提升了一个认知高度，显然想把这个问题归纳表述清楚，是需要学生再次利用相对充足的时间反复斟酌的.在这个过程当中，教师万万不可替代学生直接给出结论，那样做提出的问题就变得没有诚意了，但可以在学生表述时追问、辩驳，让学生不断深入思考，直指核心.而导学2的设置，更是本节课的画龙点睛之笔，可以让学生通过小组合作的形式对整堂课作出总结：如果是两个钝角三角形，则可利用“边边角”判定其全等;如果是两个直角三角形，“边边角”实际上就是前面所学“斜边直角边（HL）”的变式;如果是两个锐角三角形，那么“边边角”的使用要尤为谨慎，必须在满足一定条件下方可使用.这样一来，学生真正成了整堂课的主人，充分发挥了主观能动性，积极进行了高阶思维活动.整个教学过程貌似“慢”一些，但正是在这段“慢时光”中，智慧的火花才得以迸发.
其实，初中数学教育归根结底就是培养学生的数学核心素养，无论是传授数学知识还是开展实践活动，都是为了让学生深切地感受数学之美.所以那些以“学生体验”为主的课堂往往深得学生喜爱，更能促使学生在亲历验证猜想的“慢时光”中获得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的成就感.长此以往，学生学习数学的自信心就更强了.一旦发觉数学的“妙不可言”，学生就会发挥主观能动性，在探究数学的道路上披荆斩棘，一路高歌，数學核心素养的培养自然水到渠成.所以，如何全力打造“以生为本”的课堂值得所有教师潜心钻研思索，相信在这段潜心探究的“慢时光”中，获益的不只有学生，教师自身的专业技能和教学水平也会飞速提升.
◇责任编辑 邱 艳◇
在人教版八年级上册《数学》第十二章第2节“全等三角形的判定（第5课时）”的教学过程中，大部分学生对于教师阐述的“边边角”不适用于三角形全等的判定始终耿耿于怀.尽管教师已经利用几何画板给学生进行了形象生动的动态展示，但对于乐学善思的学生而言，这些显然是不够的.有一部分学生依旧主张要再给“边边角”一个机会，他们始终坚信在某些特殊情况下，“边边角”是可以派上用场的.所以在教完本章节教学内容后，笔者又追加开设了一堂课，用来和学生探讨“边边角”是否真的不能验证两个三角形全等.在这节课中，笔者要给足学生思考的空间和交流的时间，让学生畅所欲言，打造“以生为本”课堂，提升学生数学核心素养.
一、温故知新，开启思索之门
教学片段1：
教师：如图1，到今天为止，对于判定两个三角形全等，我们都有哪些方法？
学生1：有边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、斜边直角边（HL）.
教师：斜边直角边（HL）对于任意两个三角形的全等判定都适用吗？
学生2：不是，斜边直角边（HL）仅限于证明两个直角三角形全等，其余四条判定定理则适用于判定任意形状的两个三角形全等.
教师：思路很棒.不知同学们是否还记得当初我们在探究如何判定两个三角形全等的条件时是从何入手的？
学生3：起初我们考虑固定一组对应边或一组对应角相等，发现可以画出的三角形形状无法固定;接着又固定了两组对应边相等、两组对应角相等或一组对应边和一组对应角同时相等，发现由此确定的三角形形状也不唯一;最后把固定元素拓宽到三组，明确了其中几种组合可以唯一确定三角形的形状.
教师：那请同学们再回忆一下，我们当时在固定了三组元素后又是怎样筛选出最后的判定定理的？
学生4：首先，我们考虑固定三组对应边或三组对应角，结果发现固定三组对应边可以唯一确定三角形的形状，但是仅固定三组对应角的话却无法唯一确定三角形的形状，比如常见的等边三角形就有大有小.接下来我们就开始考虑固定两组对应边和一组对应角，当然又细化为两种情况：一种是固定的两组对应边和两边之间的夹角，发现可以唯一确定三角形的形状;但是当固定的一角处于与其中一边相对的位置关系时，三角形的形状就不能再被唯一确定了.然后，我们再考虑固定两组对应角和一组对应边，发现无论是固定的两组对应角和两角之间的夹边，还是固定两组对应角和与其中一角处于相对的位置关系的一组对应边时，都可以唯一确定三角形的形状.
教学说明：学习新知识后，阶段性小结是必不可少的，特别是几何概念和定理的发现、验证的过程更值得及时进行系统性小结，从而提升学生的数学核心素养.教师在带领学生进行阶段性复习时除了进行常规的知识整合归纳外，更应当注重学生在消化新知识后对这些知识产生的猜想和争议.面对这些争议中比较有价值的个体，教師如果能够把握契机，便能扭转一堂复习课常规平淡的局势，从而化“平庸”为“经典”.本节课正是因为教师找准了切入点，学生在现有的认识基础上，体验了一堂“以生为本”的复习课，从而提升了自身的数学核心素养.所以，“温故”这个环节，恰好可以引燃我们这堂复习课的“爆点”.
二、循序渐进，深度思考，举一反三，获取新知
教学片段2：
教师：刚才有同学说，在固定两组对应边和一组对应角的情况中当固定的一角处于与两边其中的一边相对的位置关系时，三角形形状就不能再被唯一确定了，正如图2所示：我们把AC的长度和∠A的度数固定后，假设AD这条射线是三角形第三边所在的直线，再以点C为圆心，以固定长度的线段为半径画弧，发现会和射线AD有两个交点D和B，连接CD和CB，就构成了△ACD和△ABC.所以，此举无法唯一确定三角形的形状.这是之前我就给大家展示过的，大家都认同吗？还是同学们有新的想法？
学生5：我觉得如果用来画弧的半径恰好和点C到射线AD的距离相等，那不就和射线AD只有一个交点了！
教师：这位同学说得很有道理.的确，如你所说，半径的取值决定着到底能否唯一确定三角形的形状.那请同学们现在自己动手试一试，如果你们多取几种半径的长度，看看还会发生什么情况？
学生6：哇！我发现我画的图可以唯一确定三角形的形状.不过我这个半径取的值就刚好等于点C到射线AD的距离，这样画弧就和射线AD只有一个交点，并且确定出来的△ABC还是一个直角三角形，如图3.
学生7：我这边的情况也差不多，也可以唯一确定三角形的形状，但△ABC不是直角三角形.我取的半径比固定长度的边AC长，所以当我画弧时发现只能和射线AD有一个交点B，如图4.
教学说明：面对新知识时，学生的认知是需要被科学地牵引的.智慧的教师总能够巧妙地设置问题的层次，使得学生循序渐进地思考，从而抽丝剥茧，直指核心.在本环节中，学生想顺利回答问题显然是不容易的，所以教师的导学提问法便派上了大用场.教师的提问为学生的思考指明了方向，让学生独立思考也好，小组合作讨论也罢，都能够有的放矢.比起教师在课堂上对知识“单刀直入”地讲述展示，由浅入深的引导式提问更能促使学生主动思考问题，并且随着问题设置难度的层层递进，思考的深度也随之加深，从而使学生对于知识之间的关联和迁移有更加明确的认知.如此层层深入递进，使得原本较为复杂的知识脉络逐渐清晰起来，为下一环节的深度学习奠定了坚实的基础. 三、挑战激发求知欲，挖掘铸就深度学
教学片段3：
教师：通过刚才的实践，大家发现了什么呢？
学生8：看来这个“边边角”也不是完全不能用啊！图2中，在固定∠A<90°的前提条件下，如果∠A的对边BC<AC，那“边边角”肯定是行不通的;但如果∠A的对边BC≥AC，那么“边边角”还是可以确定唯一的△ABC.
学生9：那如果图2中的∠A=90°或者∠A>90°，刚才学生8的说法还能成立吗？
教师：同学们还等什么呢？刚才那么难的情况你们都能分析得如此透彻，这个问题对你们来说肯定也没什么挑战性.加油，等你们给我结论.
学生10：哇！我发现如果固定∠A=90°的话，岂不就是我们之前学的“斜边直角边（HL）”，不过只有当BC>AC画弧时才能和射线AD有交点，也才能唯一确定Rt△ABC.如果BC≤AC，画弧时就无法与射线AD有交点，更别说确定三角形了，如图5.
学生11：是的，我发现固定∠A>90°时，也是只有当BC>AC画弧时才能和射线AD有交点，也才能唯一确定△ABC.如果BC≤AC，画弧时就无法与射线AD有交点，更别说确定三角形了，如图6.
教学说明：随着整堂课的推进，本节课的难点也浮出水面.面对较大的难度跨度，学生更需要教师的有效引导方可顺利突破难点.而富有挑战性的问题，对于学生学习动力的激发、学习能力的提升、学习毅力的锻炼都有重要的意义.一堂充满生命力的课一定是富有挑战性的，当课堂前段积累了一定基础认知，课堂后段的挑战性对于持续调动学生主动思考，促使学生积极参与探究就变得尤为重要.但是在设置富有挑战性教学活动的同时，教师又不能脱离学生已有的基础，所以尤为考验教师的教学设计水平.适当的变式提问可以让学生感受到教师对自己的信任，从而增强自信心和学习动力，更加自主地投身于对数学新知的深度思考和全力探索中.
四、整合归纳知识，优化拓展思维
在学习新知识后，能对当堂所学知识进行一个复述、归纳，甚至是辩驳，无疑都是学生在本堂课学有所思的体现.在引导学生整合归纳知识的过程中，教师如果能够适当增加问题的难度，对于学生进行深度思考是有巨大的促进作用的，尤其是对于新旧知识体系的链接，还有经验方法的积累和数学核心素养的培养，都是直指核心.
教学片段4：
导学1：同学们真的非常不错，通过自己的动手实践，可以把教科书中的疑难问题都剖析得如此透彻，值得表扬.那么在本课的最后，请你们总结一下在哪些情况下“边边角”可以确定一个三角形的形状？
导学2：“边边角”在哪些情况下又可以用来判定两个三角形全等呢？
教学说明：学生在前段学习的过程中通过大胆猜想、实际操作、合作讨论，最终探究出了新的结论.这不仅是学习几何的基本方法，也是对数学学科知识进行深入钻研的必经之路.导学1的设置把整个问题又提升了一个认知高度，显然想把这个问题归纳表述清楚，是需要学生再次利用相对充足的时间反复斟酌的.在这个过程当中，教师万万不可替代学生直接给出结论，那样做提出的问题就变得没有诚意了，但可以在学生表述时追问、辩驳，让学生不断深入思考，直指核心.而导学2的设置，更是本节课的画龙点睛之笔，可以让学生通过小组合作的形式对整堂课作出总结：如果是两个钝角三角形，则可利用“边边角”判定其全等;如果是两个直角三角形，“边边角”实际上就是前面所学“斜边直角边（HL）”的变式;如果是两个锐角三角形，那么“边边角”的使用要尤为谨慎，必须在满足一定条件下方可使用.这样一来，学生真正成了整堂课的主人，充分发挥了主观能动性，积极进行了高阶思维活动.整个教学过程貌似“慢”一些，但正是在这段“慢时光”中，智慧的火花才得以迸发.
其实，初中数学教育归根结底就是培养学生的数学核心素养，无论是传授数学知识还是开展实践活动，都是为了让学生深切地感受数学之美.所以那些以“学生体验”为主的课堂往往深得学生喜爱，更能促使学生在亲历验证猜想的“慢时光”中获得“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的成就感.长此以往，学生学习数学的自信心就更强了.一旦发觉数学的“妙不可言”，学生就会发挥主观能动性，在探究数学的道路上披荆斩棘，一路高歌，数學核心素养的培养自然水到渠成.所以，如何全力打造“以生为本”的课堂值得所有教师潜心钻研思索，相信在这段潜心探究的“慢时光”中，获益的不只有学生，教师自身的专业技能和教学水平也会飞速提升.
◇责任编辑 邱 艳◇