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【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法。在中学数学里，它主要表现在将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。数形结合在中学教材里的应用非常广泛，在解题中可以互相转化。教师要善于把握教材内容，掌握数形结合的思想，培养学生的思维品质，提高思维能力，塑造人才素质。
【关键词】数形结合高中数学课堂教学
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形 之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
一、研究数形结合思想的必要性
数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学.数和形是数学中最基本的两大概 念，也是整个数学发展过程中的两大柱石，数借助形产生直观效果，形依赖数能深刻入微。数和形以一定条件互相转化，数量关系借用图形的性质，使许多抽象的概念直观化，形象化， 简单化； 而图形问题在运用了数量关系的公式法则后，使较艰深的问题归结为较容易处理的 数量关系式的研究. 数形结合是根据数的结构特征，通过唤起表象或通过再造想象，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转化成代数 信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论. 数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一，其解法跨越了数学各分科知 识的界限.数形结合是沟通数形之间的联系，并通过这种联系所产生的感知或认知的作用， 形成和谐完美的数学概念，寻找问题解决途径的一种有效方法.数形结合是直观与抽象，感 知与思维的结合. 数形结合思想采用了代数方法和几何方法最好的方面：几何图形形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的程序化，可操作性强，数形结合的思想方法是学好中学数学的重 要思想方法。因此，研究数形结合思想是相当必要的。
二、数形结合思想
1.数形结合思想的分类
作为一种重要的思想方法，数形结合思想的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，即将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。第二种情形是“以形助数”，即借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化，给人以直觉的启示.通过这两种方法可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，进而实现优化解题的目的。
2.与数形结合思想相关的内容
数形结合思想作为一种重要的解题思想应用极其广泛，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上对应点的关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素或者是几何背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）题中出现的等式或者是代数式具有明显的几何意义，如斜率等。至于数形结合思想具体的应用技巧将会在以下具体的例子中体现。
3.利用数形结合思想解决问题的注意事项
要想更好的运用数形结合的思想使问题得以简化，需要注意以下几点：（1）要彻底的明白数学中的一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，既能够分析出题目中的条件和结论的几何意义，又能分析出其代数意义。（2）恰当的设参，合理的用参，由数思形，以形想数，做到合理恰当的转化。（3）正确确定参数的取值范围，不要与题中的取值范围混淆。
三、数形结合方法的实质
数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。
1.以“形”助“数”
“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。（1）数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。 （2）数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。（3）数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。（4）解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。
2.以“数”解“形”
“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。 对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。
几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。
对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论就不辨自明。
四、数形结合在中学教材中的应用
数形结合的思想，其中学教材中的应用主要有以下两点：
1.“形”中觅“数”，在中学教材中的很多数学问题，已知图形已经作出或容易作出，要解决这类问题，主要是寻找恰当表达问题的数量关系式，即将几何问题代数化，以数助形，使问题获解.
2.“数”中觅“形”，在中学教材中的很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征.由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，将代数问题化为几何问题，使问题获解。
但是这两点又不是彼此独立的，而是互相联系的，比如在中学教材解析几何中，虽然研究的是用代数方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表示式具有明显的几何意义，因此对于某些代数问题，在确定合适的坐标系后，也可获得几何解释，从而能借助几何加以解决.因此，运用代数方法研究几何问题或应用几何方法研究代数问题，是数形结合思想在两个方面的应用。
五、加强数形结合，培养和提高学生的解题能力
引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值。建立科学的数学观念。从而发展数学，运用数学的重要保证也是现代数学思想与传统数学思想的根本区别之一，可以说数学的发现，发明主要是方法上的创新，数学的发展觉不仅仅上是材料、事实、知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有发现和发明，因此从宏观意义上来说，在我们的数学和数学学习中，要再现数学的发现过程，揭示数学思维活动的一般规律和方法。
中学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的内容他们会感到枯燥乏味，难于理解，若能为学生创设直观情境，不仅有助于问题的解决，也有助于学生兴趣的激发。数形结合也是一种重要的解题方法，要引导学生利用数形结合法解题，以开发智力、培养能力。
数形结合是通过对题目的分析，构造出相应的图象或图形，通过对图形或图象的分析，再用几何的方法来求解的方法。灵活掌握这种方法，可以较好地把所学的知识结合起来，提高解题的能力。数形结合的思想方法，应用非常广泛，可以将代数问题转化为平面几何、立体几何以及解析几何中的问题来解决，这也是数形结合思想的实质。当然这要求我们平时要注意总结一些常用的图象、图形和它们的表示，从而在具体的题目中得到应用，实现从代数到几何转化，进一步提高解题的能力。
如何在一个题目中运用数形结合的思想，是解决与图形、图象有关问题的关键。有些题目可直接利用代数方法得出，但利用图形计算更为简单；有些图形已知或容易作出，可以通过图形或图象直接求出；但有些问题，图形、几何意义并非明显，而采用代数方法也难以解决时，此时可通过考虑适当的几何量，如：距离、角度、斜率、截距等，构造出图形或图象，由几何的方法解决。
总之，数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面分析可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
参考文献：
[1] 杨明，浅谈数学思想方法在解题中的应用，河北：河北理科教学研究 2008，03，39-40.
[2]张祥福. “形”之有效，数学论文 [ J ] ，2003，6；2
[3] 李洪岩. 数形结合在代数题解中的妙用，数学论文 [ J ] ，2003.06.06；2
【关键词】数形结合高中数学课堂教学
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形 之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
一、研究数形结合思想的必要性
数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学.数和形是数学中最基本的两大概 念，也是整个数学发展过程中的两大柱石，数借助形产生直观效果，形依赖数能深刻入微。数和形以一定条件互相转化，数量关系借用图形的性质，使许多抽象的概念直观化，形象化， 简单化； 而图形问题在运用了数量关系的公式法则后，使较艰深的问题归结为较容易处理的 数量关系式的研究. 数形结合是根据数的结构特征，通过唤起表象或通过再造想象，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转化成代数 信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论. 数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一，其解法跨越了数学各分科知 识的界限.数形结合是沟通数形之间的联系，并通过这种联系所产生的感知或认知的作用， 形成和谐完美的数学概念，寻找问题解决途径的一种有效方法.数形结合是直观与抽象，感 知与思维的结合. 数形结合思想采用了代数方法和几何方法最好的方面：几何图形形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的程序化，可操作性强，数形结合的思想方法是学好中学数学的重 要思想方法。因此，研究数形结合思想是相当必要的。
二、数形结合思想
1.数形结合思想的分类
作为一种重要的思想方法，数形结合思想的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，即将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。第二种情形是“以形助数”，即借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化，给人以直觉的启示.通过这两种方法可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，进而实现优化解题的目的。
2.与数形结合思想相关的内容
数形结合思想作为一种重要的解题思想应用极其广泛，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上对应点的关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素或者是几何背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）题中出现的等式或者是代数式具有明显的几何意义，如斜率等。至于数形结合思想具体的应用技巧将会在以下具体的例子中体现。
3.利用数形结合思想解决问题的注意事项
要想更好的运用数形结合的思想使问题得以简化，需要注意以下几点：（1）要彻底的明白数学中的一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，既能够分析出题目中的条件和结论的几何意义，又能分析出其代数意义。（2）恰当的设参，合理的用参，由数思形，以形想数，做到合理恰当的转化。（3）正确确定参数的取值范围，不要与题中的取值范围混淆。
三、数形结合方法的实质
数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。
1.以“形”助“数”
“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。（1）数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。 （2）数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。（3）数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。（4）解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。
2.以“数”解“形”
“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。 对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。
几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。
对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论就不辨自明。
四、数形结合在中学教材中的应用
数形结合的思想，其中学教材中的应用主要有以下两点：
1.“形”中觅“数”，在中学教材中的很多数学问题，已知图形已经作出或容易作出，要解决这类问题，主要是寻找恰当表达问题的数量关系式，即将几何问题代数化，以数助形，使问题获解.
2.“数”中觅“形”，在中学教材中的很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征.由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，将代数问题化为几何问题，使问题获解。
但是这两点又不是彼此独立的，而是互相联系的，比如在中学教材解析几何中，虽然研究的是用代数方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表示式具有明显的几何意义，因此对于某些代数问题，在确定合适的坐标系后，也可获得几何解释，从而能借助几何加以解决.因此，运用代数方法研究几何问题或应用几何方法研究代数问题，是数形结合思想在两个方面的应用。
五、加强数形结合，培养和提高学生的解题能力
引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值。建立科学的数学观念。从而发展数学，运用数学的重要保证也是现代数学思想与传统数学思想的根本区别之一，可以说数学的发现，发明主要是方法上的创新，数学的发展觉不仅仅上是材料、事实、知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有发现和发明，因此从宏观意义上来说，在我们的数学和数学学习中，要再现数学的发现过程，揭示数学思维活动的一般规律和方法。
中学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的内容他们会感到枯燥乏味，难于理解，若能为学生创设直观情境，不仅有助于问题的解决，也有助于学生兴趣的激发。数形结合也是一种重要的解题方法，要引导学生利用数形结合法解题，以开发智力、培养能力。
数形结合是通过对题目的分析，构造出相应的图象或图形，通过对图形或图象的分析，再用几何的方法来求解的方法。灵活掌握这种方法，可以较好地把所学的知识结合起来，提高解题的能力。数形结合的思想方法，应用非常广泛，可以将代数问题转化为平面几何、立体几何以及解析几何中的问题来解决，这也是数形结合思想的实质。当然这要求我们平时要注意总结一些常用的图象、图形和它们的表示，从而在具体的题目中得到应用，实现从代数到几何转化，进一步提高解题的能力。
如何在一个题目中运用数形结合的思想，是解决与图形、图象有关问题的关键。有些题目可直接利用代数方法得出，但利用图形计算更为简单；有些图形已知或容易作出，可以通过图形或图象直接求出；但有些问题，图形、几何意义并非明显，而采用代数方法也难以解决时，此时可通过考虑适当的几何量，如：距离、角度、斜率、截距等，构造出图形或图象，由几何的方法解决。
总之，数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面分析可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
参考文献：
[1] 杨明，浅谈数学思想方法在解题中的应用，河北：河北理科教学研究 2008，03，39-40.
[2]张祥福. “形”之有效，数学论文 [ J ] ，2003，6；2
[3] 李洪岩. 数形结合在代数题解中的妙用，数学论文 [ J ] ，2003.06.06；2