论文部分内容阅读
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“学习数学唯一正确方法是实行‘再创造’，就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种‘再创造’的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”高中数学课程标准也指出：高中数学学习应提倡自主探索、交流合作等学习方式，使学生的学习过程成为教师指导下的“再创造”。下面就“二项式定理”（第一课时）的教学为例，谈谈自己的教学实践和体会。
1. 设置情境，引入新课
T：问题1：若今天是星期一，再过82天后的那一天是星期几？怎么算？
S：星期二，将问题转化为求“82被7除后的余数”是多少。算法一：82=64=9×7 1；算法二：82=（7 1）2=72 2×7 1 。
T：问题2：若今天是星期一，再过8100天后那一天是星期几？怎么算？
S：将问题转化为求“8100=（7 1）100被7除后的余数”是多少？
T：更一般就是研究（a b）n（n∈N*） 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
简析：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机，激发学生的学习兴趣。
2.针对问题，探究规律
2.1 从特殊到一般,归纳探究,凸现难点
T：如何着手研究它的规律呢？
S：采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法研究。
T：请同学们动手试一试（学生自主探索，之后合作交流探究成果）
S：(a b)=a b
(a b)2=a2 2ab b2
(a b)3=(a b)2(a b)=a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4=(a b)3(a b)=a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)5=(a b)4(a b)=a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
……
①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的指数和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项。
T：展开式中各项的系数有什么规律？
S：（教师启发列成下表）
T：请你找出以上数据上下行之间的规律。
S：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。
T、S：初步归纳出下式：
(a b)n=( )an ( )an-1b ( )an-2b2 ( )an-3b3 K ( )bn（※）
Ｓ：练习：展开
教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索。激发学生探究的热情，激发他们作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。
简析：，利用学生已有的知识经验，同化和顺应当前学习的新知识，并迁移到陌生的问题情境中。这样的学习是学生在此基础上的一个主动建构的“再创造”过程，而不是被动死记的心理过程。
T：如何展开(a b)100以及(a b)n(n∈N*) 呢？
简析：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
2.2 引领反思，类比再探，突破难点
TS：为了寻找规律，我们改变思考角度，回归分析乘法的原始过程：
(a b)4=(a b)(a b)(a b)(a b)
=( )a4 ( )a3b ( )a2b2 ( )a1b3 ( )b4
分析其中a3b1的系数，数一数有多少个a3b1？
启发类比：4个袋中有红球 、白球 各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？
S：在4个括号（袋子）中
(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4即 C04种
(2)若只有一个括号取b，共有C14种取法得到a3b
(3)若只有两个括号取b，共有C24种取法得到a2b2
(4)若只有三个括号取b，共有C34种取法得到a1b3
(5)若每个括号都取b，共有C44种取法得b4
因此(a b)4=C04 a4 C14a3b C24a2b2 C34a1b3 C44b4。
简析：搭建“认知桥梁”，激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，突破学习难点。
T：请同学们归纳、猜想(a b)n=?
S：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
（a b）n=C0nan C1nan-1b1 C2nan-2b2 L Crnan-rbr LCnnbn(n∈N*)
T：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 的二项展开式。并指出：上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。
简析：水到渠成，猜想结论。指出学无止境。
2.3 合作交流,深化认识,突出重点
T：观察二项式定理，回答：
问题1：二项式定理的项数、指数、系数的特点是什么？
问题2：二项展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？
由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。
简析：通过让学生自己总结，师生交流，生生交流，发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。
3.简单应用，巩固新知
(2)①求(1 2x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求(x-1-x)9的展开式中含x3项的系数。
简析：（1）是二项式定理的直接应用，其余是通项公式的简单运用。利用学生中可能出现的错误，不失时机地强调项、项的系数、项的二项式系数概念的不同。
4. 变式训练，熟练技能
(1)求(a b c)7的展开式中
①各项的次数；②a2b4c的系数
(2)C0n C1n A Crn K Cnn=? 为什么？
C1n C2n A Crn K Cnn=?
(3)解决起始问题：8n=(7 1)n=C0n7n C1n7n-1 A Cn-1n7 Cnn，
前面是7的倍数，因此余数为Cnn，故应该为星期二。
说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。
简析：变式训练，熟练技能，深化探究成果；解决起始问题，达到前后呼应。
5. 交流心得，提高认识
引导学生从三个方面总结：
T：①这节课我们学习了哪些知识？②使用什么方法发现了二项式定理？③在发现、理解、应用二项式定理时应注意什么问题？
S：①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。
②二项式定理的表达式以及展开式的通项，
③使用了观察、归纳、猜想的方法发现了二项式定理，
④要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，
⑤将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值
简析：总结过程引导学生完成，培养学生的归纳、概括能力。
6. 任务后延，拓展探究
作业：1.必做题：课本110页习题10.4的1、2；
2.选做题：展开(a b c)n (n∈N*)；
3.拓展延伸：查阅书籍或登陆数学网站,了解杨辉三角的有关数学史料、探究其性质、应用。
简析：分层布置作业，既有统一要求，又能使部分学生充分施展他们的数学才华。
教学中的几点体会：
1.学生只有通过自主探索学习，才会有深刻的感悟，在合作交流中有话可说，从而相互启发、相互借鉴、相互补充，迸发出绚丽多彩的创造火花。
2.学生是学习的主人，学生能想的要让学生想，学生能做的要让学生做，学生能说的要让学生说，教师要让学生充分“参与”当主角，积极营造一个自主学习，勇于探索，合作交流的学习氛围。教师要努力实现“数学学习的组织者、引导者与合作者的角色转变。”
3.学生的学习活动必须有足够的探索与交流的时间和空间。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003
[2]严士健，张奠宙，王尚志主编.普通高中数学课程标准(实验)解读[M].南京:江苏教育出版社,2004.3
[3]（荷兰）弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬编译.上海:上海教育出版社,1995
[4]杨作义.寓合作交流于数学课堂教学之中.中学教研(数学)[J],2006(1)
(责任编辑：张华伟)
1. 设置情境，引入新课
T：问题1：若今天是星期一，再过82天后的那一天是星期几？怎么算？
S：星期二，将问题转化为求“82被7除后的余数”是多少。算法一：82=64=9×7 1；算法二：82=（7 1）2=72 2×7 1 。
T：问题2：若今天是星期一，再过8100天后那一天是星期几？怎么算？
S：将问题转化为求“8100=（7 1）100被7除后的余数”是多少？
T：更一般就是研究（a b）n（n∈N*） 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
简析：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机，激发学生的学习兴趣。
2.针对问题，探究规律
2.1 从特殊到一般,归纳探究,凸现难点
T：如何着手研究它的规律呢？
S：采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法研究。
T：请同学们动手试一试（学生自主探索，之后合作交流探究成果）
S：(a b)=a b
(a b)2=a2 2ab b2
(a b)3=(a b)2(a b)=a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4=(a b)3(a b)=a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
(a b)5=(a b)4(a b)=a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
……
①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的指数和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项。
T：展开式中各项的系数有什么规律？
S：（教师启发列成下表）
T：请你找出以上数据上下行之间的规律。
S：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。
T、S：初步归纳出下式：
(a b)n=( )an ( )an-1b ( )an-2b2 ( )an-3b3 K ( )bn（※）
Ｓ：练习：展开
教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索。激发学生探究的热情，激发他们作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。
简析：，利用学生已有的知识经验，同化和顺应当前学习的新知识，并迁移到陌生的问题情境中。这样的学习是学生在此基础上的一个主动建构的“再创造”过程，而不是被动死记的心理过程。
T：如何展开(a b)100以及(a b)n(n∈N*) 呢？
简析：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
2.2 引领反思，类比再探，突破难点
TS：为了寻找规律，我们改变思考角度，回归分析乘法的原始过程：
(a b)4=(a b)(a b)(a b)(a b)
=( )a4 ( )a3b ( )a2b2 ( )a1b3 ( )b4
分析其中a3b1的系数，数一数有多少个a3b1？
启发类比：4个袋中有红球 、白球 各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？
S：在4个括号（袋子）中
(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4即 C04种
(2)若只有一个括号取b，共有C14种取法得到a3b
(3)若只有两个括号取b，共有C24种取法得到a2b2
(4)若只有三个括号取b，共有C34种取法得到a1b3
(5)若每个括号都取b，共有C44种取法得b4
因此(a b)4=C04 a4 C14a3b C24a2b2 C34a1b3 C44b4。
简析：搭建“认知桥梁”，激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，突破学习难点。
T：请同学们归纳、猜想(a b)n=?
S：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
（a b）n=C0nan C1nan-1b1 C2nan-2b2 L Crnan-rbr LCnnbn(n∈N*)
T：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 的二项展开式。并指出：上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。
简析：水到渠成，猜想结论。指出学无止境。
2.3 合作交流,深化认识,突出重点
T：观察二项式定理，回答：
问题1：二项式定理的项数、指数、系数的特点是什么？
问题2：二项展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？
由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。
简析：通过让学生自己总结，师生交流，生生交流，发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。
3.简单应用，巩固新知
(2)①求(1 2x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求(x-1-x)9的展开式中含x3项的系数。
简析：（1）是二项式定理的直接应用，其余是通项公式的简单运用。利用学生中可能出现的错误，不失时机地强调项、项的系数、项的二项式系数概念的不同。
4. 变式训练，熟练技能
(1)求(a b c)7的展开式中
①各项的次数；②a2b4c的系数
(2)C0n C1n A Crn K Cnn=? 为什么？
C1n C2n A Crn K Cnn=?
(3)解决起始问题：8n=(7 1)n=C0n7n C1n7n-1 A Cn-1n7 Cnn，
前面是7的倍数，因此余数为Cnn，故应该为星期二。
说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。
简析：变式训练，熟练技能，深化探究成果；解决起始问题，达到前后呼应。
5. 交流心得，提高认识
引导学生从三个方面总结：
T：①这节课我们学习了哪些知识？②使用什么方法发现了二项式定理？③在发现、理解、应用二项式定理时应注意什么问题？
S：①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。
②二项式定理的表达式以及展开式的通项，
③使用了观察、归纳、猜想的方法发现了二项式定理，
④要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，
⑤将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值
简析：总结过程引导学生完成，培养学生的归纳、概括能力。
6. 任务后延，拓展探究
作业：1.必做题：课本110页习题10.4的1、2；
2.选做题：展开(a b c)n (n∈N*)；
3.拓展延伸：查阅书籍或登陆数学网站,了解杨辉三角的有关数学史料、探究其性质、应用。
简析：分层布置作业，既有统一要求，又能使部分学生充分施展他们的数学才华。
教学中的几点体会：
1.学生只有通过自主探索学习，才会有深刻的感悟，在合作交流中有话可说，从而相互启发、相互借鉴、相互补充，迸发出绚丽多彩的创造火花。
2.学生是学习的主人，学生能想的要让学生想，学生能做的要让学生做，学生能说的要让学生说，教师要让学生充分“参与”当主角，积极营造一个自主学习，勇于探索，合作交流的学习氛围。教师要努力实现“数学学习的组织者、引导者与合作者的角色转变。”
3.学生的学习活动必须有足够的探索与交流的时间和空间。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003
[2]严士健，张奠宙，王尚志主编.普通高中数学课程标准(实验)解读[M].南京:江苏教育出版社,2004.3
[3]（荷兰）弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬编译.上海:上海教育出版社,1995
[4]杨作义.寓合作交流于数学课堂教学之中.中学教研(数学)[J],2006(1)
(责任编辑：张华伟)