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立体几何是高中数学的重要内容之一，也是江苏新课标高考的必考内容.时值高考复习一轮之际，面对立体几何，我们该如何抓住重点，实施有效复习？希望本文对大家有所帮助.
一、抓住复习重点
从历年高考试题可以看出，高考立体几何的填空题主要涉及有关空间几何体的计算问题，同学们复习时应抓住如下重点：
1.简单多面体包含棱柱、棱锥、棱台的概念，侧面积、体积的计算，简单旋转体包含圆柱、圆锥、圆台、球的概念，表面积、体积的计算.
2.以柱体、锥体和特殊简单多面体为载体的立体几何综合型问题研究既要运用线面关系的判定定理、性质定理，又要运用其基本性质.
3.简单几何体面积与体积的计算.
侧面积和体积的计算首先要熟记公式，能用函数的观点去理解柱、锥、台、球的面积公式和体积公式，理解其变化规律.
立体几何解答题作为考查空间想象能力的唯一考题，是一道必考题，且一般难度适中.每一位考生应该引起足够重视，必须从战略高度看待，作为“自己必吃的菜”对待，明确复习职责，排除各种干扰，尽全力“啃下”这个“阵地”.为此，建议大家做到以下两点：
1.复习时应该注重常规模型和常见考点解题思路寻找的反思与总结.通过近5年高考立体几何解答题的统计与分析可以看出，三棱柱和四棱锥是高考常见的载体模型，有关垂直和平行的证明是最热门的考点，在复习中，我们应该进行系统整理，熟练掌握这些重点、热点问题解题思路和方法，并注重反思和总结，形成突破问题的基本思路链和策略链，达到模型化解题.
2.注重基础知识（如公理、定理、性质、公式等）的记忆.立体几何中有许多的公理、定理、性质、公式等，只有熟记了这些知识，在解题时才能灵活运用，找到切实可行的解题思路.例如，线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定定理与性质定理是解决有关垂直问题的基础；线线平行、线面平行、面面平行三者之间的判定定理与性质定理是解决有关平行问题的基础.
二、把握命题趋势
虽然2010年立体几何试题在命题思路和方法上有些出人意外，考查了点到直线的距离问题，备受争议，但近两年来总体上还是保持了稳定，所以复习备考工作有章可循，有法可依.特别是立体几何试题难度中等偏易，大题分步设问，层次分明，使得不同层次的学生都可得到一定的分数，相信2013年仍会坚持这一原则.
从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本.我们在复习备考中，一定要依纲靠本，控制好题目的难度，不做偏题、怪题.
2013年的命题方向：一是“定性”的分析（包括平行，垂直关系），二是简单的定量计算（角，距离，面积，体积）以及可能的简单探索题.
三、熟悉基本题型
题型1 判断命题的真假
给出几个有关立体几何直线与平面位置关系的命题，要求判断其真伪，这类问题一般在小题中出现，难度不大.
例1 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确的命题的个数是 .
答案：1个；
解析：注意①中b可能在α内；③中a可能在α内；④中b∥α，或bα均有α⊥β，
故只有一个正确命题.
评注：线线、线面、面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的简单演示法、特例法，是解决问题的法宝.
题型2 计算几何体的体积
计算旋转体、椎体、柱体或其组合体的体积，一般以小题形式出现，或出现在解答题中，难度中等或中等偏上.
例2 如图BD是边长为3的ABCD为正方形的对角线，△BCD将绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于
答案：18π；
解析：△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体是圆柱去掉一个圆锥，V=π×32×3-13π×32×3=18π
评注：对于规则的几何体的体积计算，可直接利用体积公式；对于不规则几何体的体积问题，通常通过“割”与“补”的方法，将其转化为几个规则几何体的体积的和与差.
题型3 与球有关的问题
与球有关的问题包括与球有关的体积、表面积等问题，一般以小题形式出现，难度不大.
例3 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是 .
答案：8；
解析：设球的半径为R，则4πR2=12π，从而R=3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23=8.
评注：记住球体的有关性质和球体的体积公式、表面积公式，以及正方体的内接球和外接球的直径与正方体边长之间的关系，可以轻松破解此类问题.
题型4 空间平行关系问题
空间平行关系包括线线平行、线面平行和面面平行，一般出现在解答题中，以证明题为主，难度中等.
例4 如图，三棱锥PABC中，PA=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，
点F在PA上，且AF=2FP.求证：CM∥平面BEF；
思路分析：当平面BEF内与CM平行的直线不易找到时，可考虑通过面面平行来证线面平行.
证明：取AF的中点G，连接CG，GM，
∵E为PC的中点，AF=2FP，∴EF∥CG.
∵CG平面BEF，EF平面BEF，∴CG∥平面BEF.
同理可证：GM∥平面BEF.
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF..
∵CM平面CMG，∴CM∥平面BEF
评注：（1）平行关系是立体几何中的重点，也是高考中常考热点，在解决线面，面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”. （2）证明线面平行可以使用线面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性质定理.在证明过程中，画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤，构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识，主要是两条直线平行的判定定理，可以从以下两种情况进行考虑.
①用线面平行的判定定理来证：构造一个三角形.或一个平行四边形，使其一边在所证的平面内，利用相关的定理、性质证明两直线平行.
②用面面平行的性质定理来证：构造一个平面图形，往往是三角形，使三角形的一边为所证的直线，证明这个三角形另两边与所证的平面平行.
题型5 空间垂直关系问题
空间垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直，一般出现在解答题中，以证明题为主，难度中等.
例5 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE，
（1）求证：A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；
（3）求证：DE⊥平面BB1C1C.
思路分析：（1）利用面面垂直的性质；（2）先依据线面垂直的判定证明BC1⊥平面A1B1C，再依据线面垂直的性质推出线线垂直.
证明：（1）∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，
即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BB1C1C.
（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，
又由（1）可知A1B1⊥平面BB1C1C，而BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1，
又∵A1B1∩B1C=B1，且A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，∴BC1⊥平面A1B1C，而A1C平面A1B1C，∴BC1⊥A1C.
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，
∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，
而由（1）知，A1B1⊥平面BB1C1C.∴DE⊥平面BB1C1C.
评注：（1）垂直关系是立体几何中的必考点，无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件下手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所需证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.
（2）解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：
线线平行（垂直）判定性质线面平行（垂直）判定性质面面平行（垂直）.
题型6 立体几何综合（探究）问题
本题型以解答题形式考查立体几何知识的综合应用能力，难度中档或中档偏上.
例6 如图：一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，G，H分别
是AE，BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC.
（1）求证：GH∥平面ACD；
（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=32，试求该几何体的体积V.
思路分析：证明线面平行转化为线线平行，要证明面面垂直，要转化为线面垂直，最终转化为线线垂直问题，要注意转化的思想方法；对于不规则几何体的体积求解可通过分割与补形的方法解答.
解析：（1）证明：据已知连结OH，GO，易知GO∥BE∥CD，即直线GO∥平面ACD，同理可证OH∥平面ACD，又GO∩OH=O，故平面ACD∥平面GHO，又GH平面GHO，故GH∥平面ACD.
（2）证明：∵DC ⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DC⊥BC，
∵AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC且DC∩AC=C，∴BC⊥平面ADC.
∵四边形DCBE为平行四边形，∴DE∥BC.∴DE⊥平面ADC，
又∵DE平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE.
（3）所求简单组合体的体积：V=VEABC+VEADC.
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=EBAB=32.
∴BE=3，AC=AB2-BC2=3.
∴VEADC=13S△ADC·DE=16AC·DC·DE=12，VEABC=13S△ABC·EB=16AC·BC·EB=12
∴该简单几何体的体积V=1.
评注：在高考中，立体几何解答题属于高考六个解答题中较容易得分的题目，避免失分的关键是看清题意，推理缜密，切不可跳步，做到书写规范.尤其是图中看似成立的关系不可拿来就用，应该先加以严格论证.
（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）
一、抓住复习重点
从历年高考试题可以看出，高考立体几何的填空题主要涉及有关空间几何体的计算问题，同学们复习时应抓住如下重点：
1.简单多面体包含棱柱、棱锥、棱台的概念，侧面积、体积的计算，简单旋转体包含圆柱、圆锥、圆台、球的概念，表面积、体积的计算.
2.以柱体、锥体和特殊简单多面体为载体的立体几何综合型问题研究既要运用线面关系的判定定理、性质定理，又要运用其基本性质.
3.简单几何体面积与体积的计算.
侧面积和体积的计算首先要熟记公式，能用函数的观点去理解柱、锥、台、球的面积公式和体积公式，理解其变化规律.
立体几何解答题作为考查空间想象能力的唯一考题，是一道必考题，且一般难度适中.每一位考生应该引起足够重视，必须从战略高度看待，作为“自己必吃的菜”对待，明确复习职责，排除各种干扰，尽全力“啃下”这个“阵地”.为此，建议大家做到以下两点：
1.复习时应该注重常规模型和常见考点解题思路寻找的反思与总结.通过近5年高考立体几何解答题的统计与分析可以看出，三棱柱和四棱锥是高考常见的载体模型，有关垂直和平行的证明是最热门的考点，在复习中，我们应该进行系统整理，熟练掌握这些重点、热点问题解题思路和方法，并注重反思和总结，形成突破问题的基本思路链和策略链，达到模型化解题.
2.注重基础知识（如公理、定理、性质、公式等）的记忆.立体几何中有许多的公理、定理、性质、公式等，只有熟记了这些知识，在解题时才能灵活运用，找到切实可行的解题思路.例如，线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定定理与性质定理是解决有关垂直问题的基础；线线平行、线面平行、面面平行三者之间的判定定理与性质定理是解决有关平行问题的基础.
二、把握命题趋势
虽然2010年立体几何试题在命题思路和方法上有些出人意外，考查了点到直线的距离问题，备受争议，但近两年来总体上还是保持了稳定，所以复习备考工作有章可循，有法可依.特别是立体几何试题难度中等偏易，大题分步设问，层次分明，使得不同层次的学生都可得到一定的分数，相信2013年仍会坚持这一原则.
从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本.我们在复习备考中，一定要依纲靠本，控制好题目的难度，不做偏题、怪题.
2013年的命题方向：一是“定性”的分析（包括平行，垂直关系），二是简单的定量计算（角，距离，面积，体积）以及可能的简单探索题.
三、熟悉基本题型
题型1 判断命题的真假
给出几个有关立体几何直线与平面位置关系的命题，要求判断其真伪，这类问题一般在小题中出现，难度不大.
例1 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确的命题的个数是 .
答案：1个；
解析：注意①中b可能在α内；③中a可能在α内；④中b∥α，或bα均有α⊥β，
故只有一个正确命题.
评注：线线、线面、面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的简单演示法、特例法，是解决问题的法宝.
题型2 计算几何体的体积
计算旋转体、椎体、柱体或其组合体的体积，一般以小题形式出现，或出现在解答题中，难度中等或中等偏上.
例2 如图BD是边长为3的ABCD为正方形的对角线，△BCD将绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于
答案：18π；
解析：△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体是圆柱去掉一个圆锥，V=π×32×3-13π×32×3=18π
评注：对于规则的几何体的体积计算，可直接利用体积公式；对于不规则几何体的体积问题，通常通过“割”与“补”的方法，将其转化为几个规则几何体的体积的和与差.
题型3 与球有关的问题
与球有关的问题包括与球有关的体积、表面积等问题，一般以小题形式出现，难度不大.
例3 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是 .
答案：8；
解析：设球的半径为R，则4πR2=12π，从而R=3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23=8.
评注：记住球体的有关性质和球体的体积公式、表面积公式，以及正方体的内接球和外接球的直径与正方体边长之间的关系，可以轻松破解此类问题.
题型4 空间平行关系问题
空间平行关系包括线线平行、线面平行和面面平行，一般出现在解答题中，以证明题为主，难度中等.
例4 如图，三棱锥PABC中，PA=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，
点F在PA上，且AF=2FP.求证：CM∥平面BEF；
思路分析：当平面BEF内与CM平行的直线不易找到时，可考虑通过面面平行来证线面平行.
证明：取AF的中点G，连接CG，GM，
∵E为PC的中点，AF=2FP，∴EF∥CG.
∵CG平面BEF，EF平面BEF，∴CG∥平面BEF.
同理可证：GM∥平面BEF.
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF..
∵CM平面CMG，∴CM∥平面BEF
评注：（1）平行关系是立体几何中的重点，也是高考中常考热点，在解决线面，面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”. （2）证明线面平行可以使用线面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性质定理.在证明过程中，画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤，构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识，主要是两条直线平行的判定定理，可以从以下两种情况进行考虑.
①用线面平行的判定定理来证：构造一个三角形.或一个平行四边形，使其一边在所证的平面内，利用相关的定理、性质证明两直线平行.
②用面面平行的性质定理来证：构造一个平面图形，往往是三角形，使三角形的一边为所证的直线，证明这个三角形另两边与所证的平面平行.
题型5 空间垂直关系问题
空间垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直，一般出现在解答题中，以证明题为主，难度中等.
例5 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE，
（1）求证：A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；
（3）求证：DE⊥平面BB1C1C.
思路分析：（1）利用面面垂直的性质；（2）先依据线面垂直的判定证明BC1⊥平面A1B1C，再依据线面垂直的性质推出线线垂直.
证明：（1）∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，
即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BB1C1C.
（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，
又由（1）可知A1B1⊥平面BB1C1C，而BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1，
又∵A1B1∩B1C=B1，且A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，∴BC1⊥平面A1B1C，而A1C平面A1B1C，∴BC1⊥A1C.
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，
∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，
而由（1）知，A1B1⊥平面BB1C1C.∴DE⊥平面BB1C1C.
评注：（1）垂直关系是立体几何中的必考点，无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件下手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所需证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.
（2）解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：
线线平行（垂直）判定性质线面平行（垂直）判定性质面面平行（垂直）.
题型6 立体几何综合（探究）问题
本题型以解答题形式考查立体几何知识的综合应用能力，难度中档或中档偏上.
例6 如图：一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，G，H分别
是AE，BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC.
（1）求证：GH∥平面ACD；
（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=32，试求该几何体的体积V.
思路分析：证明线面平行转化为线线平行，要证明面面垂直，要转化为线面垂直，最终转化为线线垂直问题，要注意转化的思想方法；对于不规则几何体的体积求解可通过分割与补形的方法解答.
解析：（1）证明：据已知连结OH，GO，易知GO∥BE∥CD，即直线GO∥平面ACD，同理可证OH∥平面ACD，又GO∩OH=O，故平面ACD∥平面GHO，又GH平面GHO，故GH∥平面ACD.
（2）证明：∵DC ⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DC⊥BC，
∵AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC且DC∩AC=C，∴BC⊥平面ADC.
∵四边形DCBE为平行四边形，∴DE∥BC.∴DE⊥平面ADC，
又∵DE平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE.
（3）所求简单组合体的体积：V=VEABC+VEADC.
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=EBAB=32.
∴BE=3，AC=AB2-BC2=3.
∴VEADC=13S△ADC·DE=16AC·DC·DE=12，VEABC=13S△ABC·EB=16AC·BC·EB=12
∴该简单几何体的体积V=1.
评注：在高考中，立体几何解答题属于高考六个解答题中较容易得分的题目，避免失分的关键是看清题意，推理缜密，切不可跳步，做到书写规范.尤其是图中看似成立的关系不可拿来就用，应该先加以严格论证.
（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）