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【摘要】数学概念是学生进行推理和判断的依据，也是形成数学定理、法则、公式的基础.现代数学教育心理学认为，概念形成和概念同化是初中学生获得概念的主要方式.本文基于概念形成的心理过程，以数轴概念的教学为例，通过一系列报数活动抽象出数轴这一基本概念，然后通过教学活动强化概念，最后应用数轴的概念解决数学问题.
【关键词】初中数学;概念形成;数轴
概念的教学在初中数学教学中占有重要地位.作为思维的基本单位，数学概念能够反映事物在数量关系和空间形式方面的本质属性.数学定理、法则、公式的建立及数学方法和数学思想的形成，也都建立在数学概念的基础之上.扎实有效的概念学习是学生进行数学推理、数学判断的前提和依据，学生数学能力的发展也取决于他对数学概念的获得.笔者将结合数学教育心理学中对“数学概念形成教学模式”的研究，以“数轴”（北师大版教材七年级上册）的教学设计为例，对初中数学概念的教学方法进行探究.
数学教育心理学认为，概念形成的心理过程主要包括以下四个阶段：
基于概念形成的心理过程，设计如下教学过程帮助学生获得“数轴”这一概念：
一、概念引入： “报数”活动
学生对于概念的理解需要一个过程.在概念的教学中，教师要舍得花时间创设情境，使概念的发生与形成能和学生的认知规律协调一致.
在数轴概念的引入中，我组织了“报数”活动，通过学生熟悉的活动引导学生分析事物的本质属性.
【第一轮】学生起立，教师指定基准点，从基准点开始向右依次报数：
基准点左边的学生以同样方式报数.
要求：①所报数字能体现出自己的位置;②与右边同学相异：
这轮报数活动与体育课上传统的报数方式有所不同，为了体现出与右边学生所报数字的不同，左边学生可以借助表示相反意义的负数进行报数.
【第二轮】教师指定基准点，变换报数方向，即从基准点开始向左依次报数：
在第一轮报数的基础上，学生能较好地进行报数活动.
【第三轮】教师指定基准点，变换报数间隔，即从基准点开始向右依次报偶数：
基于前两轮报数活动，学生参与本轮报数活动时毫不犹豫，活动顺利进行.
【第四轮】无条件报数：
对于本轮报数活动，教师不制定任何要求，要求学生直接报数.但此时学生困惑不已，本轮报数活动无法完成……
数学概念往往具有较强的抽象性，这就导致学生在理解概念的时候有些被动吃力.传统的概念教学模式是直接把概念告诉学生，比如数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，而没有让学生在生活中体验实实在在的数轴，这就割断了数学和生活的联系，进而导致学生机械地去记忆概念，舍弃了概念的本质.数学源于生活，北师大版教材由温度计引入数轴，形象且直观，但与小学知识有过多重复，因此不能帮助学生深刻体会数轴的“三要素”，只能算形似.而“报数”活动是学生熟悉的活动，其强度适当、富有变化性和新颖性，以此引入数轴有利于学生进行数学思考.
概念的形成需要学生从具体例子出发，归纳一类事物的共同本质属性.把数学概念的获得与数学活动结合在一起，为学生创造生活情境，有利于学生将抽象的数学概念形成具象的认知.
二、概念形成：认识数轴
数学概念的获得是提升数学素养的基础.为了帮助学生对概念有正确且深刻的理解，教师需要引导学生剖析概念内涵，挖掘概念本质，拓展概念外延.
在数轴的教学过程中，经过三轮有条件报数，在第四轮无条件报数时，学生主动提出困惑：“本次报数活动无法完成.”“没办法报数，缺少条件啊！” 这些困惑的产生源于学生在学习过程中产生的认知冲突，也正是这种冲突促使学生进行主动思考.教师顺势提出问题：“在第四轮报数活动中缺少哪些条件呢？”引导学生进行回忆和思考.学生经过思考，发现第四轮报数活动中存在的问题主要为没有告知：①基准点.②报数方向.③报数间隔.而这些恰恰对应着数轴的“三要素”：原点、正方向、单位长度.通过这样的教学，学生在教师引导下顺理成章地抽象出数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴.在活动中引发学生的共鸣，让学生感受数轴的“三要素”缺一不可，这能更好地体现北师大版教材“螺旋上升”的设计理念，也能让学生对数轴的认识从感性阶段上升到理性阶段.把具体事物抽象为数学概念，这是概念形成的关键阶段.
为了检测概念形成的效果，笔者设计一组问题，将抽象的概念回归到具体的数学问题，帮助学生在实际问题中理解数轴“三要素”.
练习1判断以下数轴的画法是否正确？并说明理由.
义务教育数学课程标准指出，学生应敢于发表自己的想法、敢于质疑、敢于创新，进而形成严谨求实的科学态度.正是在这种不断思考、不断探究的过程中，学生对数轴的概念形成了初步认识.
三、概念深化：“复述”数轴
心理学认为，记忆和遗忘是有规律的.获得数学概念后，需要对其进行及时巩固，以保证所获得的概念能够长时间保存.因此在教学过程中，教师可以要求学生在获得数学概念后通过朗读、背诵、辨析等方式对其进行巩固.在“数轴”这节课的教学过程中，笔者要求学生在初步形成概念后，进行“操作性复述”.这里的复述不是死记硬背，而是让学生在复述概念的过程中，把握概念的重点和本质特征.
练习2在练习本上独立画出一条数轴，并与小组成员相互检查.
现代学习方式的基本特征之一是体验性，在学生认识了数轴的基础上，教师可以要求学生独立画出一条数轴，让学生在自己动手的过程中深刻感受数轴.巡视课堂后，教师采取以小组为单位的评价方式，在小组发现问题、解决问题的基础上，针对学生集中出现的问题展开分析.在生生对话、师生对话的过程中，实现 “正确画出数轴”的教学目标.这样的设计不仅能培养学生的动手能力与合作精神，还能使学生在小组交流的过程中提高发现问题、解決问题的能力. “复述”之后，教师可以向学生展示不同形态的数轴，如纵向的数轴，生活中的数轴，历史时间轴等，同时教师借机向学生提出问题：“在生活中，你还见过怎样的数轴？”在概念强化的过程中，教师要引导学生积极思考、踊跃交流，这样一方面能通过大量的实例拓展数学概念，达到活化思维的效果，另一方面能把抽象的数学概念具体化、生活化.
四、概念运用：借助数轴实现数形结合
概念教学必须体现概念的应用价值.利用数轴解决代数问题的前提是数形结合，因此必须要让学生建立有理数和数轴上点之间的对应关系.
练习3（1）写出数轴上各点所表示的数.
A表示，B表示，C表示.
（2）在数轴上分别画出表示2，-1，-32的点.
在教学过程中，教师可以先要求学生指出数轴上的点所表示的数，这是由“形”到“数”的思维过程;再要求学生把给定的数用数轴上的点表示，这是由“数”到“形”的思維过程.通过点与数的对应关系，可以使学生加深对数轴的认识.
为了帮助学生深刻体会数与数轴上点的对应关系，在学生完成练习后，教师继续向学生提出问题：①任意一个整数都可以用数轴上的一个点表示吗？②任意一个分数都可以用数轴上的一个点表示吗？学生独立思考后，进一步感受到：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.基于这一结论，抽象的代数问题基本上都可以通过数轴直观解决.例如，以某排学生中的某一个为基准点建立数轴，先请代表1的学生举手，然后请所代表数字比1大的学生举手.变换数字再进行几次，这样学生可以形象地感知到：在数轴上，比一个数大的数都在它的右边.
通过活动设计，学生可以深刻理解利用数轴比较有理数大小的方法，并经历从几何的角度解决代数问题的过程.
练习4利用数轴比较下列每组数的大小，并用“<”将其连接.
（1）-2和 6;（2）0和-1.8;
（3）-32和-4;（4）-34，-13和32.
需要指出的是，本文所列举的概念的形成过程以学生的直接经验为基础，它不要求学生的认知结构中具备较多的概念，只需要有概念例证方面的直接经验.从学生角度来看，这种学习方式适合基础相对薄弱的学生;从概念角度来看，这种学习方式适合在数学概念体系中起着基础作用的抽象概念的学习.
【参考文献】
[1]何小亚.数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2011.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]吕小兵.重视概念生成强化数学能力：例谈初中数学概念教学[J].数学教学通讯，2014（04）：33-34.
【关键词】初中数学;概念形成;数轴
概念的教学在初中数学教学中占有重要地位.作为思维的基本单位，数学概念能够反映事物在数量关系和空间形式方面的本质属性.数学定理、法则、公式的建立及数学方法和数学思想的形成，也都建立在数学概念的基础之上.扎实有效的概念学习是学生进行数学推理、数学判断的前提和依据，学生数学能力的发展也取决于他对数学概念的获得.笔者将结合数学教育心理学中对“数学概念形成教学模式”的研究，以“数轴”（北师大版教材七年级上册）的教学设计为例，对初中数学概念的教学方法进行探究.
数学教育心理学认为，概念形成的心理过程主要包括以下四个阶段：
基于概念形成的心理过程，设计如下教学过程帮助学生获得“数轴”这一概念：
一、概念引入： “报数”活动
学生对于概念的理解需要一个过程.在概念的教学中，教师要舍得花时间创设情境，使概念的发生与形成能和学生的认知规律协调一致.
在数轴概念的引入中，我组织了“报数”活动，通过学生熟悉的活动引导学生分析事物的本质属性.
【第一轮】学生起立，教师指定基准点，从基准点开始向右依次报数：
基准点左边的学生以同样方式报数.
要求：①所报数字能体现出自己的位置;②与右边同学相异：
这轮报数活动与体育课上传统的报数方式有所不同，为了体现出与右边学生所报数字的不同，左边学生可以借助表示相反意义的负数进行报数.
【第二轮】教师指定基准点，变换报数方向，即从基准点开始向左依次报数：
在第一轮报数的基础上，学生能较好地进行报数活动.
【第三轮】教师指定基准点，变换报数间隔，即从基准点开始向右依次报偶数：
基于前两轮报数活动，学生参与本轮报数活动时毫不犹豫，活动顺利进行.
【第四轮】无条件报数：
对于本轮报数活动，教师不制定任何要求，要求学生直接报数.但此时学生困惑不已，本轮报数活动无法完成……
数学概念往往具有较强的抽象性，这就导致学生在理解概念的时候有些被动吃力.传统的概念教学模式是直接把概念告诉学生，比如数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，而没有让学生在生活中体验实实在在的数轴，这就割断了数学和生活的联系，进而导致学生机械地去记忆概念，舍弃了概念的本质.数学源于生活，北师大版教材由温度计引入数轴，形象且直观，但与小学知识有过多重复，因此不能帮助学生深刻体会数轴的“三要素”，只能算形似.而“报数”活动是学生熟悉的活动，其强度适当、富有变化性和新颖性，以此引入数轴有利于学生进行数学思考.
概念的形成需要学生从具体例子出发，归纳一类事物的共同本质属性.把数学概念的获得与数学活动结合在一起，为学生创造生活情境，有利于学生将抽象的数学概念形成具象的认知.
二、概念形成：认识数轴
数学概念的获得是提升数学素养的基础.为了帮助学生对概念有正确且深刻的理解，教师需要引导学生剖析概念内涵，挖掘概念本质，拓展概念外延.
在数轴的教学过程中，经过三轮有条件报数，在第四轮无条件报数时，学生主动提出困惑：“本次报数活动无法完成.”“没办法报数，缺少条件啊！” 这些困惑的产生源于学生在学习过程中产生的认知冲突，也正是这种冲突促使学生进行主动思考.教师顺势提出问题：“在第四轮报数活动中缺少哪些条件呢？”引导学生进行回忆和思考.学生经过思考，发现第四轮报数活动中存在的问题主要为没有告知：①基准点.②报数方向.③报数间隔.而这些恰恰对应着数轴的“三要素”：原点、正方向、单位长度.通过这样的教学，学生在教师引导下顺理成章地抽象出数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴.在活动中引发学生的共鸣，让学生感受数轴的“三要素”缺一不可，这能更好地体现北师大版教材“螺旋上升”的设计理念，也能让学生对数轴的认识从感性阶段上升到理性阶段.把具体事物抽象为数学概念，这是概念形成的关键阶段.
为了检测概念形成的效果，笔者设计一组问题，将抽象的概念回归到具体的数学问题，帮助学生在实际问题中理解数轴“三要素”.
练习1判断以下数轴的画法是否正确？并说明理由.
义务教育数学课程标准指出，学生应敢于发表自己的想法、敢于质疑、敢于创新，进而形成严谨求实的科学态度.正是在这种不断思考、不断探究的过程中，学生对数轴的概念形成了初步认识.
三、概念深化：“复述”数轴
心理学认为，记忆和遗忘是有规律的.获得数学概念后，需要对其进行及时巩固，以保证所获得的概念能够长时间保存.因此在教学过程中，教师可以要求学生在获得数学概念后通过朗读、背诵、辨析等方式对其进行巩固.在“数轴”这节课的教学过程中，笔者要求学生在初步形成概念后，进行“操作性复述”.这里的复述不是死记硬背，而是让学生在复述概念的过程中，把握概念的重点和本质特征.
练习2在练习本上独立画出一条数轴，并与小组成员相互检查.
现代学习方式的基本特征之一是体验性，在学生认识了数轴的基础上，教师可以要求学生独立画出一条数轴，让学生在自己动手的过程中深刻感受数轴.巡视课堂后，教师采取以小组为单位的评价方式，在小组发现问题、解决问题的基础上，针对学生集中出现的问题展开分析.在生生对话、师生对话的过程中，实现 “正确画出数轴”的教学目标.这样的设计不仅能培养学生的动手能力与合作精神，还能使学生在小组交流的过程中提高发现问题、解決问题的能力. “复述”之后，教师可以向学生展示不同形态的数轴，如纵向的数轴，生活中的数轴，历史时间轴等，同时教师借机向学生提出问题：“在生活中，你还见过怎样的数轴？”在概念强化的过程中，教师要引导学生积极思考、踊跃交流，这样一方面能通过大量的实例拓展数学概念，达到活化思维的效果，另一方面能把抽象的数学概念具体化、生活化.
四、概念运用：借助数轴实现数形结合
概念教学必须体现概念的应用价值.利用数轴解决代数问题的前提是数形结合，因此必须要让学生建立有理数和数轴上点之间的对应关系.
练习3（1）写出数轴上各点所表示的数.
A表示，B表示，C表示.
（2）在数轴上分别画出表示2，-1，-32的点.
在教学过程中，教师可以先要求学生指出数轴上的点所表示的数，这是由“形”到“数”的思维过程;再要求学生把给定的数用数轴上的点表示，这是由“数”到“形”的思維过程.通过点与数的对应关系，可以使学生加深对数轴的认识.
为了帮助学生深刻体会数与数轴上点的对应关系，在学生完成练习后，教师继续向学生提出问题：①任意一个整数都可以用数轴上的一个点表示吗？②任意一个分数都可以用数轴上的一个点表示吗？学生独立思考后，进一步感受到：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.基于这一结论，抽象的代数问题基本上都可以通过数轴直观解决.例如，以某排学生中的某一个为基准点建立数轴，先请代表1的学生举手，然后请所代表数字比1大的学生举手.变换数字再进行几次，这样学生可以形象地感知到：在数轴上，比一个数大的数都在它的右边.
通过活动设计，学生可以深刻理解利用数轴比较有理数大小的方法，并经历从几何的角度解决代数问题的过程.
练习4利用数轴比较下列每组数的大小，并用“<”将其连接.
（1）-2和 6;（2）0和-1.8;
（3）-32和-4;（4）-34，-13和32.
需要指出的是，本文所列举的概念的形成过程以学生的直接经验为基础，它不要求学生的认知结构中具备较多的概念，只需要有概念例证方面的直接经验.从学生角度来看，这种学习方式适合基础相对薄弱的学生;从概念角度来看，这种学习方式适合在数学概念体系中起着基础作用的抽象概念的学习.
【参考文献】
[1]何小亚.数学学与教的心理学[M].广州：华南理工大学出版社，2011.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]吕小兵.重视概念生成强化数学能力：例谈初中数学概念教学[J].数学教学通讯，2014（04）：33-34.