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【摘要】 多边形的内角和教学是对三角形内角和知识的延伸与拓展，探索多边形内角和计算公式过程中，体现了数形结合、转化、由特殊到一般的数学思想，启发学生动手动脑去探究知识的生成，培养了学生分析问题、解决问题的能力以及创新能力，锻炼了学生的合情推理意识，提高其逻辑思维能力，为今后进一步学习相关的几何知识奠定良好的基础. 【关键词】 主动探究；合情转化；分析归纳
一、案例描述
1. 创设情境，设疑激思
师：展示生活中各种优美的图形，并提问：这些图形中，你知道哪几种图形的内角和？分别是多少度？生1：三角形内角和是180°. 生2：正方形、长方形的内角和都是360°. 师：那么不规则的四边形和其他多边形的内角和是多少度，大家想知道吗？这节课就让我们探讨多边形的内角和. （板书课题）
（设计意图：通过多媒体展示比较熟悉的图形，让学生形象直观地体会到数学图形在生活中处处可见，培养学生联系生活实际探讨数学问题的方法，同时激发学生学习的兴趣.）
2. 探索新知，延伸思考
① 画一个任意四边形，求其内角和. （学生独立思考，分组讨论，得出解决办法. ）
方法一：用量角器量出四边形的每个内角，然后把这些角加起来，得出内角和是360°. 方法二：连接四边形的一条对角线，把四边形转化成两个三角形，得出内角和是360°.
结论：任意一个四边形的内角和是360°.
师：比较方法一、二，哪种更好？你能类比求四边形内角和的方法求出五边形的内角和吗？生：探究五边形内角和. （学生先独立思考，再分组讨论，寻求方法，最后交流归纳得出可能的方法. ）
方法一：如图①，连接AD，AC，五边形内角和为3 × 180° = 540°.方法二：如图②，连接AD，则五边形内角和为360° + 180° = 540°.方法三：如图③，在AB上任取一点F，连接FC，FD，FE，五边形内角和为4 × 180° - 180° = 540°. 方法四：如图④，在五边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，则五边形内角和为5 × 180° - 360° = 540°. 方法五：如图⑤，在BC上任取一点F，连接EF，则五边形内角和为2 × 360° - 180° = 540°.
② 师生共同小结：上面五种不同的求法，其共同特点是把五边形转化成三角形、四边形来解决.
师：同学们不妨用方法一求六边形、七边形、八边形……n边形的内角和，并填写下表.（学生分组计算，教师提问）
（设计意图：由于四边形内角和容易求得，所以采用略讲，五边形的内角和要重点探讨，为了训练学生思维的灵活性和广阔性，寻求各种不同的分割方法，使学生积极参与，尝试探索，体会转化思想. ）
探究：（1）表中三角形的个数与边数有怎样的关系？（2）多边形内角和的度数与三角形的个数有何关系？与边数有何关系？
师生共同分析归纳：
四边形内角和为：360° = 2 × 180° = （4 - 2） × 180°，
五边形内角和为：540° = 3 × 180° = （5 - 2） × 180°，
六边形内角和为：720° = 4 × 180° = （6 - 2） × 180°，
七边形内角和为：900° = 5 × 180° = （7 - 2） × 180°，
……
n边形内角和为：（n - 2） × 180°.
（设计意图：通过对表格中一组数据的填写以及（1）（2）两个问题的问答，让学生通过观察、分析、归纳、表达以及动脑、动口的经历，培养学生合情推理的能力，同时理解从特殊到一般的思维方法. ）
3. 例与练
例：课本例1.
练习：（1）计算正十五边形的每个内角的度数是多少？（2）一个多边形的内角和为1260°，那么它是几边形？（3）一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形的每个内角等于多少度？
（设计意图：利用练习巩固新知，开阔学生思维，解决问题. ）
二、教学反思
本节课的设计体现了以教师为主导，以学生为主体，以培养学生的探索思维能力为主线的特色. 创设数学情景是这种教学模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情景进行比较，选择具有较好教育功能的情景. 这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键. 教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约. 因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情景，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题. 教师还要积极引导学生对所提的问题进行分析、整理、筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入.
一、案例描述
1. 创设情境，设疑激思
师：展示生活中各种优美的图形，并提问：这些图形中，你知道哪几种图形的内角和？分别是多少度？生1：三角形内角和是180°. 生2：正方形、长方形的内角和都是360°. 师：那么不规则的四边形和其他多边形的内角和是多少度，大家想知道吗？这节课就让我们探讨多边形的内角和. （板书课题）
（设计意图：通过多媒体展示比较熟悉的图形，让学生形象直观地体会到数学图形在生活中处处可见，培养学生联系生活实际探讨数学问题的方法，同时激发学生学习的兴趣.）
2. 探索新知，延伸思考
① 画一个任意四边形，求其内角和. （学生独立思考，分组讨论，得出解决办法. ）
方法一：用量角器量出四边形的每个内角，然后把这些角加起来，得出内角和是360°. 方法二：连接四边形的一条对角线，把四边形转化成两个三角形，得出内角和是360°.
结论：任意一个四边形的内角和是360°.
师：比较方法一、二，哪种更好？你能类比求四边形内角和的方法求出五边形的内角和吗？生：探究五边形内角和. （学生先独立思考，再分组讨论，寻求方法，最后交流归纳得出可能的方法. ）
方法一：如图①，连接AD，AC，五边形内角和为3 × 180° = 540°.方法二：如图②，连接AD，则五边形内角和为360° + 180° = 540°.方法三：如图③，在AB上任取一点F，连接FC，FD，FE，五边形内角和为4 × 180° - 180° = 540°. 方法四：如图④，在五边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，则五边形内角和为5 × 180° - 360° = 540°. 方法五：如图⑤，在BC上任取一点F，连接EF，则五边形内角和为2 × 360° - 180° = 540°.
② 师生共同小结：上面五种不同的求法，其共同特点是把五边形转化成三角形、四边形来解决.
师：同学们不妨用方法一求六边形、七边形、八边形……n边形的内角和，并填写下表.（学生分组计算，教师提问）
（设计意图：由于四边形内角和容易求得，所以采用略讲，五边形的内角和要重点探讨，为了训练学生思维的灵活性和广阔性，寻求各种不同的分割方法，使学生积极参与，尝试探索，体会转化思想. ）
探究：（1）表中三角形的个数与边数有怎样的关系？（2）多边形内角和的度数与三角形的个数有何关系？与边数有何关系？
师生共同分析归纳：
四边形内角和为：360° = 2 × 180° = （4 - 2） × 180°，
五边形内角和为：540° = 3 × 180° = （5 - 2） × 180°，
六边形内角和为：720° = 4 × 180° = （6 - 2） × 180°，
七边形内角和为：900° = 5 × 180° = （7 - 2） × 180°，
……
n边形内角和为：（n - 2） × 180°.
（设计意图：通过对表格中一组数据的填写以及（1）（2）两个问题的问答，让学生通过观察、分析、归纳、表达以及动脑、动口的经历，培养学生合情推理的能力，同时理解从特殊到一般的思维方法. ）
3. 例与练
例：课本例1.
练习：（1）计算正十五边形的每个内角的度数是多少？（2）一个多边形的内角和为1260°，那么它是几边形？（3）一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形的每个内角等于多少度？
（设计意图：利用练习巩固新知，开阔学生思维，解决问题. ）
二、教学反思
本节课的设计体现了以教师为主导，以学生为主体，以培养学生的探索思维能力为主线的特色. 创设数学情景是这种教学模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情景进行比较，选择具有较好教育功能的情景. 这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键. 教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约. 因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情景，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题. 教师还要积极引导学生对所提的问题进行分析、整理、筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入.